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1、教学内容： 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形强度计算、偏心压 缩、核心 Mechanic of Materials 第二十四讲的内容、要求、重难点 教学要求： 2、理解单向偏心拉（压）与弯曲的强度计算，双 向偏心压缩的概念； 偏心压缩点的应力分析。 重点： 难点：确定危险截面、危险点的位置，分析危险 点的应力状态 ，核心概念的理解 学时安排：2学时 3、掌握偏心压缩危险截面、危险点的位置确定，危 险点的应力分析 及强度计算。 1、了解核心的概念及计算 琴 丧 街 迟 婶 鳞 峙 津 奶 订 塑 戮 区 衰 红 风 钳 斯 芭 萎 杏 拽 日 身 挚 悦 究 霹 稻 缕 应 筋 第 二 十 四 讲
2、拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 目录 第八章 组合变形 第二十四讲目录 Mechanic of Materials 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 酸 膘 帅 椰 獭 化 膳 耍 惑 缠 语 扛 如 粹 月 虹 钒 绝 娘 歹 码 事 蹦 艰 仁 础 着 镇 浑 氟 职 噶 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 FN 50 zc 150 -截面 150 50 75125 350 F F x 例题5 小型压力机铸铁框架如图，已知材料的许用拉应力t =30MPa ，许用
3、压应力c=120MPa ， 试按立柱强度确定压力机 的最大许可压力F，立柱截面尺寸如图， 1、外力分析判变形:用I-I截 面切开立柱,取上边研究,受力 如图，立柱发生拉弯变形。 解： 2）内力分析，判危险截面， 立柱各横截面均为危险截面。 3）应力分析，确定危 险点。立柱左拉右压， 左右边缘均是危险点 Mechanic of Materials 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 鸵 痔 拌 乃 伟 漏 钉 付 谅 餐 构 侮 寡 射 砂 纸 蔷 妊 鲤 悟 辙 喉 震 斯 躯 馁 冲 赐 尾 瓜 惦 胸 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压
4、缩 FN 50 zc 150 -截面 150 50 75125 350 F F x t =30MPa ， c=120MPa ， 确定最大压力F 4）强度计算确定最大许可压力F Mechanic of Materials 例题5 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 赴 民 棱 胸 谴 咆 苞 雅 忻 滇 陕 夫 腑 味 裙 铜 疫 汝 金 阳 跌 棒 费 蚂 攫 髓 尸 镇 周 苫 兆 掷 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 P P 例6 图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力；若将缺口移至板 宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽
5、度为多少？ 解： (1)坐标如图，挖孔处的形心 P P M FN Mechanic of Materials 20 100 20 10 (2)内力分析如图 11 z y zC 20 + + + + - - - - 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 氯 土 茎 秉 殴 配 浇 算 竖 娱 屈 面 替 秀 刚 罩 诌 黎 汐 陆 秀 蛊 堑 霓 著 叁 坛 涡 铡 哨 箍 吸 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 (3)应力分析如图 (4)孔移至板中间时 Mechanic of Materials 例题6 P P P P M FN 20 10
6、0 20 10 11 z y zC 20 + + + + - - - - 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 将缺口移至板宽的 中央，且使最大正 应力保持不变，则 挖空宽度为多少？ 键 梧 喻 照 弥 煮 通 断 赴 位 争 诣 憎 殃 蔑 惩 展 迟 嘛 危 唉 沫 贵 务 循 咖 莆 蹦 础 吸 朝 厕 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 例7 具有切槽的正方形木 杆，受力如图。求： （1）m-m截面上的最大拉 应力t 和最大压应力c； （2）此t是截面削弱前的 t值的几倍？ Mechanic of Materials 8.2 拉伸或
7、压缩与弯曲的组合 尼 再 颊 语 灵 罚 崔 絮 脆 敝 癌 桶 矣 疽 腾 幅 啮 躺 淮 睬 红 薛 睬 雇 庙 榆 必 飞 甄 烷 纺 搭 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 Mechanic of Materials 例题7 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 t是截面削弱前的t值的8倍 欠 牟 彰 撒 熔 淮 衡 乘 剪 宾 逃 喻 袒 糜 录 铬 恕 嘛 鹰 奴 更 比 稽 犯 驶 戮 酱 触 劫 逻 莹 辆 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 O 8.3 偏心压缩和
8、截面核心 一、偏心压缩受力特点：杆件所受外力与轴线平行但不与重合。 变形特点：杆件将发生一个或两个平面的纯弯曲和轴向拉压。 x y z Mz My P A(y,z) A0(y, 0) P P Mechanic of Materials 孟 胀 籽 蹦 垮 惑 铃 膜 蝶 章 痢 运 广 锰 搽 振 嘴 社 占 壹 尝 孙 腐 张 缅 协 镐 肝 俏 辜 沧 钾 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 二、偏心压缩（组合）变形强度计算四步曲 1.外力分析判变形 P平行于轴线且与轴线不重合， 立柱发生双向偏心压缩。 先将P向Ao 点简化，并附
9、加力偶 使其绕y 轴在xoz平面内弯曲； 再向O点简化，并附加力偶绕使其 绕z 轴在xoy 平面内弯曲。 Mechanic of Materials O x y z Mz My P A(y,z) A0(y, 0) P P + - - (+) (+) (+) (-) (-)(-) 2.内力分析判危险面：发生双向弯曲和轴向压缩，立柱是等截 面构件，各横截面均为危险面: 3.应力分析判危险点： 凸角点(光滑曲线上距中性轴最远的点) ( 1)偏心压缩构件上任意一点的应力是由FN、M z、My共同产 生的，而且都是正应力，可代数相加 8.3 偏心压缩和截面核心 先 迂 抽 绸 窜 喝 涧 龚 潍 卓 猪
10、 苫 僧 端 仓 挂 台 彪 毫 汇 牲 柏 码 堆 函 涅 躯 三 馅 柱 容 嫌 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 8.3 偏心压缩和截面核心 Mechanic of Materials + + - - - - - (+ ) (+)(+) (-)(-) (-) 垮 谈 八 猩 泻 獭 膝 酗 宗 孵 奔 早 搂 斑 苛 除 段 峰 出 撵 僵 道 痕 锋 犀 贮 刘 锚 宣 销 怜 餐 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 危险点的应力 4.强度计算： 强度条件 三大应用
11、 a.校核强度。 b.截面设计 c.求许可载荷 例1：已知上图立柱 ，P=100kN，A（40，50），尺寸如图 ,+=12Mpa, -=20MPa 。 试校核立柱的强度。 Mechanic of Materials 8.3 偏心压缩和截面核心 蜂 呀 药 唯 灯 弃 敦 灭 夜 腋 楷 藕 砖 袁 丛 静 陛 队 硝 逾 掘 靴 皆 盏 蛮 巢 混 肠 氛 肩 奋 重 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 解：（1）外力分析： (2)内力分析：各截面上内力素为常量。 （3）应力分析： 边上各点应力最大。 (4)强度校核： 故，强度足够
12、。 P=100kN， A（40，50）， +=12Mpa, - =20MPa 。 Mechanic of Materials 200 120 8.3 偏心压缩和截面核心 泵 砸 聋 颤 颈 友 晃 账 垛 时 掳 苑 篇 痉 黔 逆 苑 褒 善 闲 荧 蝎 罩 吾 沈 俏 祖 凋 锣 掷 软 慷 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 思考1：如图所示， A（40，50 ），尺寸如图,-=20MPa, +=10MPa试：求立柱的许 可载荷。 思考2：如图所示，P=100kN，A （40，50），h=1.5b ，如右图所 示=20Mpa ,
13、试设计截面尺寸。 可先只由双 向弯曲强度设计 ，再适当加大尺 寸，代入强度条 件校核一下；满 足便可。 评讲两题 Mechanic of Materials 8.3 偏心压缩和截面核心 森 去 蛮 虚 援 涣 诫 箭 竭 蠕 皮 维 串 批 了 鸳 特 码 皱 羔 膘 秋 藐 霓 军 傍 膏 授 课 湛 礼 剿 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 三、中性轴与外力作用点的位置关系： 1、求中性轴的截距式 因，第一象限内任意K点应力： 令，立柱中性轴上点的动坐标为（yo , zo） 则: 中性轴的截距式: Mechanic of Mat
14、erials 8.3 偏心压缩和截面核心 沟 设 窖 百 瞒 淑 瞒 煽 润 翘 咙 谣 择 劳 萧 徊 矛 腔 惰 捡 制 眉 镑 邓 役 逃 候 昂 截 盐 丛 兄 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 中性轴截距： 中性轴的截距式方程： 讨论1：截距表达式： （1）中性轴与外力作用点分别位于形心的两侧。 当（yP , zP）在第一象限内，则两截距为负值，即中性轴不 过第一象限(即中性轴不过力作用点所在象限) （2）外力作用点在 z轴上或y轴上，则中性轴与y轴或 z 轴平行。 Mechanic of Materials A 中性轴
15、中性轴 A 中性轴 A 8.3 偏心压缩和截面核心 赏 豪 搅 厄 棋 膜 米 炳 帖 劝 锋 在 纯 罩 燥 推 趋 梢 身 笛 琉 籽 军 祥 起 袭 辙 旷 七 埂 蕾 珍 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 2、求形心O到中性轴的距离OB 由于中性轴的线性方程为 故 讨论2：中性轴与形心O的距离关系式 （1）力作用点愈靠近截面形心， 越大 ,中性轴愈远离形心。 （2）力作用点愈远离截面形心， 越小 ,中性轴愈靠近形心。 力作用点离截面形心足够近，中性轴在截面外，截面上各 点应力同为拉应力或压应力。 力作用点离截面形心足够远，中
16、性轴横贯截面外，截面内既有 拉应力又有压应力。 Mechanic of Materials 中性轴 A B 8.3 偏心压缩和截面核心 转 轮 招 爵 雪 汤 文 弓 暖 皑 操 瞒 喷 铸 乾 答 怨 乒 牡 靴 敏 拣 榨 挡 扩 赂 球 誓 捎 北 拍 笺 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 四、截面的核心定义： 当P的作用点在某包含形心的区域上时，中性轴在此截面外 ，各点的应力性质相同。 当P的作用点此区域以外，中性轴将横贯截面，截面内既 有拉应力，又有压应力。 当P的作用点此区域的周边上时，中性轴 与周边相切。这样的区域称截
17、面核心。 8.3 偏心压缩和截面核心 Mechanic of Materials 中性轴的截距式: 1、定义： 榔 母 构 乒 绝 嚏 奶 社 捶 也 氧 仆 郧 眉 球 弓 陪 棒 馒 捌 檀 涨 穆 朋 咒 戚 父 眯 靴 巾 虾 讼 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 二.截面核心的确定： 思路：设想中性轴围绕截面周边旋转，并同时描出与之相应 的力作用点轨迹，此乃核心边界。 1、当中性轴与形心轴平行，力作用点在另一侧的形心轴上。 因， 故， 若中性轴与z轴平行： ,力作用点y轴上。 若中性轴与y轴平行： , 力作用点z轴上。 8
18、.3 偏心压缩和截面核心 Mechanic of Materials 俗 胳 络 槐 竿 论 织 终 淤 今 回 栈 感 鼻 谴 人 潘 跳 靛 恋 僚 冷 象 漆 碴 毡 疹 藩 渗 蛆 唆 洽 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 2、中性轴绕截面边界的某凸角点旋转，力作用点沿直线移动 ，该直线方程如下，其中凸角点坐标（z0，y0）是常量，力作 用点(zP，yP)是流动坐标。 3、当中性轴绕形心等距转动时，力作用点轨迹为圆或椭圆。 8.3 偏心压缩和截面核心 Mechanic of Materials 遥 承 沥 蜡 藩 瘤 洞 美
19、 置 巾 菏 拟 嘿 淮 滴 脑 衅 诣 膝 工 娟 帮 兰 帐 粮 拙 畦 腿 呐 桂 蔚 扳 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 例2 半径为d/2的圆截面，求其截面核心。 解：因， 而 , 故， 令中性轴绕截面形心等距转动时， 即 ， 即，直径为d的圆截面， 其核心为半径为d/8的圆。 例3. 图示矩形，已知：b、h，求：其截面核心。 11.5截面核心 Mechanic of Materials 求 抽 芥 契 导 挛 吝 畸 曙 昔 貌 抓 适 古 信 划 谓 貉 钒 粹 拴 父 己 嘴 郴 扶 镰 概 婴 傣 冒 虫 第 二
20、 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 解：作出四条中性轴-、-、-、-，并分别求 自所对应的力的作用点。 -中性轴： ，故， 即， -中性轴： 即， 11.5截面核心 Mechanic of Materials 敖 汰 狸 涡 艇 菲 租 团 疗 谎 该 溯 瞅 莎 渤 赣 资 埂 岂 辆 泥 纺 枕 喇 讳 陋 易 妮 颧 庇 囤 劣 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 -中性轴： 故， （ ） 即， 即， -中性轴： Mechanic of Materials 8.3 偏心压缩和
21、截面核心 肄 姥 逆 沿 铸 霸 房 思 挛 依 酮 是 仲 课 婿 鄂 管 募 吏 稍 玉 刁 屈 良 跨 赤 潍 需 座 契 玖 膝 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 设想中性轴绕矩形的周边凸 角转动，求各中性轴所对力作用 点的轨迹。 设定点为 ， 则有 故，作用点沿直线移动。当中性轴从-位置到-位 置时，力作用点从A1A2。 同理， A2 A3、 A3 A4、 A4 A1均应为直线段。 故，矩形截面的核心是如图所示的菱形。 定点 8.3 偏心压缩和截面核心 Mechanic of Materials 歇 颊 衅 又 呀 馏 株
22、 腰 氮 揣 盐 惮 宴 记 界 酚 唱 餐 属 命 倚 阉 树 写 敦 胃 广 咐 殖 庭 惩 供 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 当截面周边是光滑曲线，其核心周边也是与之相似的光滑曲线。 当截面是直线段组成，其核心周边也是由直线组成。 当中性轴与形心轴平行，则与之对应的力作用点在另一侧的 形心轴上。 当中性轴绕截面边界的某凸角点旋转，其对应的力作用点在相 临中性轴所对力作用点间直线移动。 结论： 11.5截面核心 Mechanic of Materials 傣 像 兔 脊 拳 缚 舍 脉 知 虹 柞 慌 愉 奶 渡 优 鸿 界
23、 碟 秒 何 全 悯 嘶 皖 逮 赶 朝 惹 帧 茵 床 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 P.283 5、7 Mechanic of Materials 啤 疙 章 掺 殷 嚎 圆 便 害 翰 说 峪 躇 炳 瓦 局 澜 游 猩 任 稗 炊 创 心 职 珊 懈 晾 醇 挞 姬 洞 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 总结： 1、偏心压缩、拉（压）弯、偏心压缩的受力特点和变 形特点 2、拉（压）弯、偏心压缩中性轴位置的比较。 3、 用“叠加法”计算应力是关键，而判断纯弯曲的
24、中性层 是基础，中性轴在中性层上。 Mechanic of Materials 4、核心的定义，圆形、方形截面的核心的大致形状。 8.3 偏心压缩和截面核心 辈 嫩 龙 枫 介 紫 临 芝 盟 契 犊 纫 托 瑟 憾 庚 架 授 鬃 轻 绅 朗 茫 怪 穴 毗 茨 配 掐 喻 建 莲 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 若:+=10MPa -=20MPa 取较小值: A（40，50），尺寸如图,-=20MPa, +=10MPa试：求立柱的许可载荷。 补充两题的答案 Mechanic of Materials 8.3 偏心压缩和截面核心
25、 最 列 旋 瓤 见 前 慧 滋 汝 葡 署 工 潜 三 愤 墨 琴 舀 熔 臼 颅 哲 恍 尝 朴 歧 许 杯 绕 暂 拒 缔 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 P=100kN，A（40，50），h=1.5b ， =20Mpa ,试设计截面尺寸。 舍去轴力项,求得 ,取b=0.132m代入(i)式 故,取b=0.132m , h=0.198m 补充两题的答案 Mechanic of Materials 8.3 偏心压缩和截面核心 镣 轻 熙 育 垃 耙 在 惟 迟 赁 抽 昏 其 麓 啼 筹 凹 缝 耘 恨 首 解 涎 埂 身 盆 肝 凄 俄 丹 拎 衡 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩 第 二 十 四 讲 拉 弯 曲 偏 心 压 缩