最新(人教版)高中数学必修五教案全集名师优秀教案.doc

《最新(人教版)高中数学必修五教案全集名师优秀教案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新(人教版)高中数学必修五教案全集名师优秀教案.doc（80页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、(人教版)高中数学必修五教案全集通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数

2、。 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：abc，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关,ABCsinsinsin系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 教学用具：直尺、投影仪、计算器 如图11-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点,，C转动。 A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ ，显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否 ，3 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ (图11-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在RtABC中

3、，设,aBC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，A,sincbc，又, A BC,sinsin1,ccabc则 b c,ABCsinsinsinc abc从而在直角三角形ABC中， C a ,ABCsinsinsinB (图11-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图11-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据,ab任意角三角函数的定义，有CD=,则， aBbAsinsin,ABsinsinC cb同理可得， b ,CBsinsina abc从而 A ,ABCs

4、insinsinc B 4 (图11-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 （证法二）：过点A作jAC,， C 由向量的加法可得 ABACCB,， 则 jABjACCB,，() A B ?jABjACjCB,，,j 00 jABAjCBCcos900cos90,，,，ac?,，即 cAaCsinsin,sinsinACbc同理，过点C作jBC,，可得 sinsinBCabc从而 ,ABCsinsinsin类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学,生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理 在一个三角形中，各

5、边和它所对角的正弦的比相等，即 abc,ABCsinsinsin（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，； akA,sinbkB,sinckC,sin5 abcabcbac（2）等价于， ,ABCABCBACsinsinsinsinsinsinsinsinsin从而知正弦定理的基本作用为： bAsin?已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； a,sinB?已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，a如。 ABsinsin,b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作。 例1在00中，已知，cm，解三角形

6、。 A,32.0B,81.8,ABCa,42.9解：根据三角形内角和定理， 0CAB,，180() 000 ,，180(32.081.8) 0 ； ,66.2根据正弦定理， 0aBsin42.9sin81.8； bcm,80.1()0sinAsin32.0根据正弦定理， 0aCsin42.9sin66.2 ccm,74.1().0sinAsin32.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 0例2在中，已知cm，cm，解三角形（角A,40,ABCa,20b,280度精确到，边长精确到1cm）。 16 解：根据正弦定理， 0bAsin28sin40 sin0.8999.B,a200000因

7、为，所以，或 0180B,64B,116.B0? 当时， B,6400000 CAB,，,，,180()180(4064)76， 0aCsin20sin76 ccm,30().0sinAsin400? 当时， B,11600000 CAB,，,，,180()180(40116)24， 0aCsin20sin24 ccm,13().0sinAsin40评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 第5页练习第1（1）、2（1）题。 例3已知abc，0,60a,3ABC中，A，,求 ,，ABC，sinsinsinabc分析：可通过设一参数k(k0)使, k,ABCsinsin

8、sinabcabc，证明出 ,ABCABC，sinsinsinsinsinsinabc解：设 kk,(o)ABCsinsinsin则有， akA,sinbkB,sinckC,sinabc，kAkBkCsinsinsin，从而= kABC，sinsinsinABC，sinsinsin3aabc，又，所以=2 ,2k,0AABC，sinsinsinsinsin60评述：在ABC中，等式,abcabc， ,kk,0，ABCABC，sinsinsinsinsinsin恒成立。 7 已知ABC中，求 ,sin:sin:sin1:2:3ABC,abc:（答案：1：2：3） （由学生归纳总结） abcabc

9、，（1）定理的表示形式：； ,kk,0，ABCABC，sinsinsinsinsinsin或， (0)k,akA,sinbkB,sinckC,sin（2）正弦定理的应用范围： ?已知两角和任一边，求其它两边及一角； ?已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 ?课后思考题：（见例3）在abcABC中，这个kk,(o)ABCsinsinsink与ABC有什么关系？ ,?课时作业：第10页习题1.1A组第1（1）、2（1）题。 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两

10、类基本的解三角形问题， 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运8 算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具：直尺、投影仪、计算器 如图11-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, ,

11、已知a,b和C，求边c b ，A c B图11-4) 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 9 A 如图11-5，设CAb,cab,CBa,，ABc,，那么，则 b c 2cccabab,，,，, 2aabbab C a 22,，, 2ababB 从而 222cababC,，,2cos (图11-5) 222同理可证 abcbcA,，,2cos 222bacacB,，,2cos 于是得到以下定理 ：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦

12、的积的两倍。即 222abcbcA,，,2cos222bacacB,，,2cos222cababC,，,2cos思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 222bca，,cosA,2bc222acb，,cosB,2ac222bac，,cosC,2ba从而知余弦定理及其推论的基本作用为： ?已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 10 ?已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个

13、定理之间的关系？ （由学生总结）若0222ABC中，C=，则，这时 90cab,，,cos0C,由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例1在0ABC中，已知，求b及A a,23c,，62B,60,222?解：? bacacB,，,2cos220=(23)(62)223(62)，,，cos 452=12(62)43(31)，,， = 8? b,22.求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： A222222bca，,，,(22)(62)(23)1?解法一：?cosA, 22bc222(62)，0 ? A,60.a230解法二：?sin AB,sinsin45,b22又?62

14、， 2.41.43.8,，,23 21.83.6,，,00?ac，即90, 0A0? A,60.评述：解法二应注意确定A的取值范围。 11 例2在ABC中，已知，解三角形 ,acm,134.6bcm,87.8ccm,161.7（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解） 解：由余弦定理的推论得： 222cosbca，, A,2bc22287.8161.7134.6，, ,287.8161.7，,0.5543,0,； A,5620222cab，,cos B,2ca222134.6161.787.8，, ,2134.6161.7，,0.8398,0,； B,32530000,CAB,，,，180

15、()180(56203253) 0 , ,9047.第8页练习第1（1）、2（1）题。 2220在abcbc,，ABC中，若，求角A（答案：A=120） ,（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：?已知三边求三角；?已知两边及它们的夹角，求第三边。 ?课后阅读：课本第9页探究与发现 ?课时作业：第11页习题1.1A组第3（1），4（1）题。 12 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余

16、弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。 教学用具：教学多媒体设备 13 0思考：在ABC中，已知，解三角形。 A,133,acm,22bcm,25（由学生阅读课本第9页解答

17、过程） 从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 在ABC中，已知，讨论三角形解的情况 abA,bAsin分析：先由可进一步求出B； sinB,a0则CAB,，180() aCsin从而 c,A1当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。 ab,2当A为锐角时， 如果a?，那么只有一解； b如果，那么可以分下面三种情况来讨论： ab,（1）若，则有两解； abA,sin（2）若，则只有一解； abA,sin（3）若，则无解。 abA,sin（以上解答过程详见课本第910页） 评述：注意

18、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 bAabsin,14 0（1）在ABC中，已知，试判断此三角形的解，,A45,a,80b,100的情况。 10（2）在ABC中，若，则符合题意的b的值有_，,C40,a,1c,2个。 0（3）在axcm,ABC中，如果利用正弦定理解三，,B45,bcm,2角形有两解，求x的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3）222,x） 在ABC中，已知，判断ABC的类型。 ,a,7b,5c,3分析：由余弦定理可知 222abcA,，,是直角ABC是直角三角形222 abcA,，,是钝角AB

19、C是钝角三角形222abcA,，,是锐角,ABC是锐角三角形（注意：A是锐角,ABC是锐角三角形） 222222解：753,，abc,，即， ?。 ,ABC是钝角三角形（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。 ,sin:sin:sin1:2:3ABC,（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。 ,aAbBcoscos,（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形） ,ABC是钝角三角形,3abc，0在A,60ABC中，面积为，求的值 ,b,12ABC，sinsinsin111分析：可利用三角形面积定理以及sinsinsinSabCacBbcA,222正弦定理abcabc， ,ABCABC

20、，sinsinsinsinsinsin15 13解：由得， sinSbcA,c,222222则3，即， abcbcA,，,2cosa,3abc，a从而 ,2ABC，Asinsinsinsin（1）在ABC中，若，且此三角形的面积，求角S,2203,a,55b,16C 222abc，,（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，S,4求角C 000（答案：（1）60或120；（2）45） （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。 （课时作业）（1）在0B,30ABC中，已知，试判断

21、此三角形的解的,b,4c,10情况。 （2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。 （3）在0A,60ABC中，判断ABC的形状。 ,bc，,2,a,1（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760xx,的根， 求这个三角形的面积。 16 (a)知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 (b)过程与方法 ：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的

22、内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 (c)情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解根据题意建立数学模型，画出示意图 让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是17 我们学过的定理，因此系统掌握前一节

23、内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。 直角板、投影仪（多媒体教室） 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由

24、于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 3 18 （1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 (2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1

25、m) ，51:75:启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较,适当？ 启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。 解：根据正弦定理，得 ACAB = sin，ACBsin，ABCACsin，ACBAB = sin，ABC55sin，ACB = sin，ABC19 55sin75: = sin(180:,51:,75:)55sin75: = sin54:? 65.

26、7(m) 答:A、B两点间的距离为65.7米 变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30:，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：a km 2例2、（动画演示辅助点和辅助线）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。 解：测量

27、者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=， ,，20 ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦,，,定理得 AC = asin(,，,)asin(,，,) = sin180:,(,，,，,)sin(,，,，,)asin,asin, BC = = sin180:,(,，,，,)sin(,，,，,)计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点,间的距离 AB = 22 AC，BC,2AC，BCcos,分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。 变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得:BCA=6

28、0，:ACD=30，CDB=45，BDA =60 ，略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206 评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。 课本第14页练习第1、2题 解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 21 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述

29、所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 1、 课本第22页第1、2、3题 2、 思考题：某人在M汽车站的北偏西20:的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北:偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？ 解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC,中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得 222AC，BC,AB23cosC=, 2AC,BC3143222则sinC =1- cosC =, 23122 123sinC =, 31:所以 s

30、inMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC ，353= 62在MAC中，由正弦定理得 ,31ACsin，MAC353 MC =，=35 62sin，AMC32从而有MB= MC-BC=15 答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。 (a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 (b)过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸

31、索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的23 特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点，。 (c)情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验

32、的习惯。 直角板、投影仪 师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在 ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们,abc如何用已知边和角表示？ 生：h=bsinC=csinB ah=csinA=asinC bh=asinB=bsinaA c24 1师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公21式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，a2大家能推出其它的几个公式吗？ 11生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 22师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些

33、条件也可求出三角形的面积呢？ 生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 例1、在2ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm） ,:（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; :（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：（1）应用S=1acsinB，得 21:2 S=，14

34、.823.5sin148.5?90.9(cm) 2(2)根据正弦定理， c b = sinBsinCbsinC c = sinB112sinCsinAS = bcsinA = b 22sinB:A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 25 :sin65.8sin51.5122， S = 3.16?4.0(cm) :2sin62.7(3)根据余弦定理的推论，得 222，,cabcosB = 2ca22238.7，41.4,27.3 = 2，38.7，41.4?0.7697 22sinB = 1,cosB1,0.7697?0.6384 1应用S=acsinB，

35、得 212S ?，41.438.70.6384?511.4(cm) 2例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？ 师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？ 生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， cosB=222，,cab 2ca222127，68,88 =?0.7532 2，127，682sinB

36、=1,0.7532,0.6578 1应用S=acsinB 212 S ?，681270.6578?2840.38(m) 22答：这个区域的面积是2840.38m。 26 例3、在ABC中，求证： ,2222a，bA，Bsinsin（1） ;,22cCsin222（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC） abc分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设 abc = = = k sinAsinBsinC显然 k,0，所以 222222a，bksinA，ksinB 左边=, 222cksinC22s

37、inA，sinB =右边 2sinC（2）根据余弦定理的推论， 222222222，,，,bcac，a,babc 右边=2(bc+ca+ab) 2bc2ca2ab222222222 =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) 222=a+b+c=左边 :变式练习1：已知在3ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面,，积S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 答案：a=6,S=933;a=12,S=18 变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状， 27 （1） acosA = bcosB sinA，sinB（2） sinC = cosA，cos

38、B提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” （1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。 生1：（余弦定理）得 222222a，,bcac，a,b，=b 2bc2ca222442222？(a,b),a,b(a，b)(a,b)c= 22222？ a,b或c,a，b？根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形 生2：（正弦定理）得 sinAcosA=sinBcosB, ？sin2A=sin2B, ？2A=2B, ？A=B ？根据边的关系易得是等腰三角形 师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？ 生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了

39、另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180:，:A+B=90 (2)（解略）直角三角形 28 课本第21页练习第1、2题 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。 5 1、课本第23页练习第12、14、15题 2、如图，在四边形ABCD中，:ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=3，求： （1） AB的长 （2） 四边形ABCD的面积 略解（1）因为:BCD=75，ACB=45，所以 ，: A

40、CD=30 ，又因为BDC=45，所以 ，: DAC=180-（75+ 45+ 30）=30， ，所以 AD=DC=3 : 在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以 ,，29 :6，23sin75BDDC = ，BD = = :2sin75sin60sin60222:在，ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5, ,所以得 AB= 53，231:（3） S，= ADBDsin75= ,ABD423，3同理， S= ,BCD46，33所以四边形ABCD的面积S= 4本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本

41、章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 30 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，

42、小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 加强与前后各章教学内容的联系，注意

43、复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着31 密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角

44、度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 课程标准和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法

45、在解决问题中的威力。 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的32 平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.” 学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能