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1、等边三角形(基础) 【学习目标】 1. 掌握等边三角形的性质和判定 2. 掌握含 30角的直角三角形的一个主要性质. 3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算. 【要点梳理】 要点一、等边三角形 等边三角形定义： 三边都相等的三角形叫等边三角形 . 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形. 也就是说等腰三角形包 括等边三角形. 要点二、等边三角形的性质 等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60 . 要点三、等边三角形的判定 等边三角形的判定： (1) 三条边都相等的三角形是等边三角形； (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形；
2、 (3) 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形. 要点四、含 30的直角三角形 含 30的直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果有一个锐角是 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中” ，是证明直角三角形中一边等于 另一边(斜边)的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系 【典型例题】 类型一、等边三角形 1、如图.在等边厶 ABC 中，/ ABC 与/ ACB 的平分线相交于点 0,且 0D/ AB, 0E/ AC. (1) 试判定 0DE 勺形状，并说明你的理由； (2) 线段 BD DE、EC 三者有什么关系？写出你的判断
3、过程. 【思路点拨】(1)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到 ODE 是等边三角形；(2) 根据角平分线的性质及平行线的性质可得到/ DBO=Z DOB 根据等角对等边可得到 DB= DO 同理可证明 EC= E0因为 DE= 0D= 0E 所以 BD= DE= EC 【答案与解析】 解：(1 ) 0DE 是等边三角形， 其理由是： ABC 是等边三角形， / ABC=Z ACB= 60 , TOD/ AB, OE/ AC, / ODE=Z ABC= 60 ,/ OED=Z ACB= 60 ODE 是等边三角形； (2)答：BD= DE= EC 其理由是：T OB 平分/ ABC 且/
4、ABC= 60, / ABO=/ OBD= 30, TOD/ AB, / BOD=/ ABO= 30 , / DBO=/ DOB DB= DQ 同理，EC= EQ T DE= OD= OE BD= DE= EC. 【总结升华】本题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解和应用 举一反三： 【变式】等边 ABC P 为 BC 上一点，含 30 、60的直角三角板 60角的顶点落在点 P 上,使三角板绕 P 点旋转.如图，当 P 为 BC 的三等分点，且 PE AB 时，判断 EPF 的形状 【答案】 解： T PE AB, / B= 60 , 1 1 因此直角三角形 PEB 中，BE= - B
5、N BC= PC, 2 3 / BPE= 30 , T/ EPF= 60 , FP 丄 BC, T/ B=/ C= 60 , BE= PC, / PEB=/ FPC= 90 BEP CPF, PE= PF , T/ EPF= 60 , EPF 是等边三角形. 2、已知：如图， ABC 中，AB= AC, / ABC= 60 , , AD= CE 求/ BPD 的度 【答案与解析】 证明：在 ABC 中， AB= AC, / ABC= 60 / ABC为等边三角形（有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形） AC= BC, / A=Z ECB= 60 . 在ADC和CEB中 AC =CB（已证）
6、 Q/、 *NA = NECB（已证） / E .AD = CE （已知） ADC 也 CEB （SAS . 1= . 2 （全等三角形对应角相等） / DPB=._ 2 + 一 3 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和） DPB= 1+ 3 = ACB / DPB= 60 . 【总结升华】 这道题利用等边三角形每个角都是 60的性质，并借助全等三角形，和三角 形的外角性质使问题得以解决 3、（ 1）如图，点 0 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三 角形 OAB 和等边三角形 OCD 连接 AC 和 BD,相交于点 E,连接 BC,求/ AE
7、B 的大 小； （2）如图， OAB 固定不动，保持 OCD 勺形状和大小不变，将 OCD 绕着点 0 旋 转（厶 OABD OCD 不能重叠），求/ AEB 的大小. 【思路点拨】（1）由于AO CDn OAB 都是等边三角形，可得 OD= OC= OB= OA 进而求出/ BDA 与/ CAD 的大小及关系，则可求解/ AEB （ 2）旋转后， BOD 与 AOC 仍然保持全等，/ ACO=Z BDO / AED=Z ACOZ DCOM CDB=Z BDOF 60 +/ CDB= 60 +/ CDO= 120 , 从而得到/ AEB的值. 【答案与解析】 证明：(1)V O 是 AD 的中
8、点， AO= DO 又等边 AOB 和等边 COD AO= DO= CO= BQ / DOC=Z BOC=Z AOB= 60 / CAO=Z ACO=Z BDO=Z DBO= 30 / AEB=Z BDO + Z CAO= 60 (2)vZ BOD=Z DOOZ BOC / AOC=Z AOBZ BOC / BOD=Z AOC 在厶 BODW AOC 中, BO =AO I BOD = AOC DO 二 CO BOD AOC( SAS / ACO=Z BDO / AED=Z ACO-Z DCQ-Z CDB =Z BDOF 60 +Z CDB= 60 +Z CDO= 60 + 60 = 120
9、Z AEB= 180 Z AED= 60 . 【总结升华】 这道题利用等边三角形每个角都是 60的性质，并借助全等三角形，和三角 形的外角性质使问题加以解决 举一反三： 【变式】如图，已知 ABC 和 CDE 都是等边三角形，AD BE 交于点 F,求Z AFB 的度数 A 【答案】 解： ABCn CDE 都是等边三角形， AC= BC, CE= CD, 又 TZ AC+Z BCD=Z ECDZ BCD 即 Z ACD=Z BCE ACDA BCE Z CAD=Z CBE 设 AD 与 BC 相交于 P 点，在厶 ACPD BFP 中，有一对对顶角， Z AFB=Z ACB= 60 . 类型
10、二、含 30的直角三角形 4、如图所示,Z A= 60 , CE!AB 于 E , BD 丄 AC 于 D, BD 与 CE 相交于点 H , HD= 1 , HE= 2,试求 BD 和 CE 的长. A 【答案与解析】 解： BD 丄 AC 于 D,/ A= 60, / ABD= 90 60= 30, 在 Rt BEH 中，/ HEB= 90,/ EBH= 30. BH= 2EH= 4. 同理可得，CH= 2HD= 2, BD= BH+ HD= 4+ 1 = 5. CE= C 出 HE= 2+ 2 = 4. 【总结升华】 已知条件中出现 60角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半” ，进而把三角形中角与角的 关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题. 举一反三： 【高清课堂：389303 等边三角形：例 5】 【变式】如图， ABC 中，/ ACB= 90 , / ABC= 60 , AB 的中垂线交 BC 的延长线于 D, 交AC 于 E,已知 DE= 2.则 AC 的长为 _ . I. 【答案】3; 提示：连接 AD,证厶 ABD 为等边三角形，则 DE= AE= 2, CE= 1，所以 AC= 3.