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1、.§2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质引例1在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：而且这两种运算满足一些重要的规律,如 引例2数域P上的一元多顶式环Px中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算同样满足上述这些重要的规律，即 一.线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对在V中 都存在唯一的一个元素r与它们对应，称r为的和，记为；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为
2、的数量乘积，记为如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：加法满足下列四条规则： 在V中有一个元素0，对（具有这个性质的元素0称为V的零元素） 对都有V中的一个元素，使得;(称为的负元素） 数量乘法满足下列两条规则 : 数量乘法与加法满足下列两条规则： 注：1 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算2线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间但这里的向量不一定是有序数组3 线性空间的判定：若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合就不能构成线性空间例1引例1, 2中的 Pn, Px 均为数域 P上的线性空间例2数域
3、P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法构成数域 P上的一个线性空间，常用 Pxn表示例3 数域 P上 矩阵的全体作成的集合,按矩阵的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间，用表示例4任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间例5全体正实数R，1) 加法与数量乘法定义为：2) 加法与数量乘法定义为： 判断 是否构成实数域 R上的线性空间 .解：1）不构成实数域R上的线性空间. 不封闭，如R2) 构成实数域R上的线性空间 首先，且加法和数量乘法对R是封闭的.事实上, ,且 ab 唯一确定； ,且 ak唯一确定 其次，加法和数量
4、乘法满足下列算律 R， R，即1是零元； R，R，且即a的负元素是； R； ;构成实数域 R上的线性空间例6 令 即n阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知其中，又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素. 以 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 ，则 f(A)有负元素f(A). 由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间.二、线性空间的简单性质 1、零元素是唯一的. 证明：假设线性空间V有两个零元素，则有010102022、，的负元素是唯一的，记为-.证明：假设有两个负元素 、 ，则有 利用负元素，我们定义减法：3、证明：两边加上即得 00； 两边加上；即得k 00 ;两边加上即得两边加上即得4、如果0，那么k0或0. 证明：假若则练习：1、P273：习题31）2）4）2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零向量，则V一定含有无穷多个向量.证：设而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限多个不同的向量注：只含一个向量零向量的线性空间称为零空间.作业P273习题3：5）6）7）: