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1、2016-2017学年高中数学新课标人教A版必修5同步学案：2.5（第3课时） 等比数列的习题课 Word版含答案2.4第二课时 等比数列的习题课 一、课前准备 1.课时目标:搞清等比数列的通项公式及前项和的公式的应用，能用等比数列的性质解决问n题，利用等差与等比数列解决实际问题，掌握等比数列的通项的求法，遇到数列问题，首先求通项，根据通项研究数列问题. 2.基础预探 (1)等比数列的前项和为那么有成同样的，在等SSS,SSSSS,_.nnnn23nnnnn232TT23nn比数列前项的积为，那么有也成 TTT,_.,nTnnn23nTTnn2(2)在等比数列中能用性质解题首先利用等比数列的性
2、质解题，比如mnpq，,，那么满足;当时，利用等比数列的性质可以简化解题步骤. aaaa,_.mn,mnpq(3)解等比数列应用问题，一般把实际问题抽象为应用问题。转化为数学模型求解，一般可、四个环节. 以经历下面的_(4)是等比数列的求和可以按等比数列求和公式求解注意对公比进行讨论应分_ 不是等比数列的可以转化为等比数列求和. 二、基础知识习题化 ,ABCtanA,441. 在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差, 1tanB9是以为第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( ) 3A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 等腰直角三角形 D 以上都不对 nS2.已知数列na的前
3、项和为，且，则数列a Saaaa,2(0,1)为常数，且nnnnA.等比数列 B.从第二项起是等比数列 C.是等差数列 D.从第二项起是等差数列 a3.若1,3a成等差数列，1,4b的等比数列，则的值() b11,1A. B. C. D. 224.已知等比数列a中， n(1)若a?a?a,8，则a?a?a?a?a, ( 34523456(2)若a，a,324，a，a,36，则a，a, ( 123456(3)若S,2，S,6，则a，a，a，a, . 4817181920三、学法指导: a? 等比数列搞清等比数列的通项公式，一般有三个数成等比可以设三个数分别为，,aaqq求出等比数列的首项与公比.
4、 ? 能利用等比数列的特性解题的一定先考虑等比数列的特性利用特性解题，这样比较简单，有多个变量在解方程时注意变量归一再求解. ? 等比数列求和公式在公比不能确定是否为1时，注意进行讨论，在就是确定首项与公比与项数. ? 等差数列与等比数列结合问题，首先考虑特性再解题. 四、典例导析变式训练 等差与等比数列的综合问题 题型一 519,1ab已知数列中，aa,，数列是公差为的等差数列，其中,12nn636a1a,nn,ccaa，数列是公比为的等比数列，其中，求数列的log,ba,，1nnnn21，nn,323,通项公式及它的前项和. n思路导析:a是关于的未知函数.由已知条件，事先无法估计a解析式
5、的结构形式，因此nnnbc不可能用待定系数法求a，但是利用数列的等差数列和数列是等比数列，则可列出,nnnaaaaa关于与的两个等式，视它们为关于、的方程组，消去即可求得. n，1nnn，1n，1aa519,nn解:， ？,aabaca,log,12211，nnnn,63632,191519151,. ？,，,，,bclog2,121,2363636263,1,1bc数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列， ？,nn3,a,na1,nlog211,an,，,，,，,，,，,bn211,，n21，a,nn，1n，1,3,32,1n,即 ？,11n,1,a1a11c,，,n,n,n,2a,
6、a,，,n，1n，133n，1,2,23,233,32消去得，为数列的通项公式. a,aa,nnn，1nn23111111, Saaa,，,，,，？32nn12,22nn222333,1111,11,nn31312233,. ,，,，,，,，32312nnnn11232311,23规律总结:求通项公式就是一个关于的未知函数.在事先无法估计此函数的结构形式时，只n要能列出关于这个未知函数的方程或方程组即可求解. 变式训练1 已知是公差不为零的等差数列,成等比数列. aaaaa,1,且n1139an(?)求数列a的通项; (?)求数列的前n项和S 2nn题型二 错位相减求和 x，2已知数列的前项和
7、为，对一切正整数，点都在函数 aS(n,S)nnf(x),2,4nnn的图像上。 (1)求数列a的通项公式; n(2)设b,a,logabT，求数列的前n项和。 nn2nnnSb思路导析:有数列的求出数列的通项，再求数列的前前n项和. nnn，2解:(1)由已知得: s,24nnnn，,，,2121当 nass,2,(24)(24)2nnn,131n，当 nasa,？,1,244,2满足上式，11nn，1ann，121n(2) ban,，log2log(1)2nn222341nn，？,，,，,，,，,Tnn2232422(1)2？ n34512nn，？,，,，,，,，,22232422(1)2
8、Tnn？ n234nn，1n，2,T,2,2，2，2，？，2，2,(n，1)2两式相减得: n234nn，1n，2 ,4，(2，2，2，？，2，2),(n，1)2n，14,2,2n，2n，2 ,4，,(n，1)2,n,21,2n，2? T,n,2n规律总结:遇到等差与等比数列的积的求和，注意要用错位相减求和. 变式训练2 *n,设数列满足，为常数( n,N,aa,2a,a，2n1，1nn(1)若，求的值; aa,032,(2)是否存在实数，使得数列为等差数列，若存在，求数列的通项公式，若不存,aann在，请说明理由; 4n,7,1(3)设，b,，数列的前项和为，求满足的最小自然数,bSS,0n
9、nnnnnan的值( 题型三 转化为等比数列 331aaaaan,例3 数列满足: a1,(N*).1221nnn，n222(1)记d,a,a,求证:d是等比数列;(2)求数列a的通项公式. nn，1nnn思路导析:不是等差与等比数列问题进行适当转化为等比数列求通项 3311,1a,a,？a,a,解:(1) 1221222a,a1111n，2n，1a,a,a,a？,即d,d又. n，2n，1n，1nn，1n22a,a22n，1n11是以为首项，公比为d故数列的等比数列. n221nd,a,a,()(2)由(1)得: ，1nnn2？,，,，,，当时naaaaaaaa2,()().()nnnnn,
10、1122111111nnn,1211,，,()().()12()22221n,1 当综上所述:. a,2()n,1,a1,时满足上式.n12规律总结:对于型如一般是适当的变形为等比数列根据等比数列求出通项aaaba,，nnn，,11来. 变式训练3 2* 已知关于x的二次方程的两根满足 ,axaxn,，,10(N)nn，1，且 a,16,2,，6,31(1)试用表示;(2)求数列的通项公式;(3)求数列的前项和. aaaaSnnnn，1nn五、随堂练习 1. 数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项.若b=5，aa,a,ab2n5813n则=( ) bn3355n,1n,1n,1n
11、,1A(5? B(5? C(3? D(3? ()()()()5533a,na2.在等差数列中，那么数列的前项和等于() aa,4,12n,n26n，12,nn,1，n，2n，1n2,1，1，A. B. C. D. nnnn，122223.等比数列aSS:S,1:2S:S,的前n项和为，若，则( ) nn6393A(1:2 B(2:3 C(3:4 D(1:3 *xAaaa，2aaa,01，4.已知点n,(n，)(N)都在函数ya,()的图象上，则与的nn375_大小关系是. 5*2an,4nN,a5.在数列在中，aaaanbn，,，？，,其中ab,为常数， nn12n2ab,则 a,a,6a,0
12、n366. 已知为等差数列，且，。 a,n(?)求的通项公式; bb,b,8baaa,，,nn12123(?)若等比数列满足，求的前n项和公式 六 、 课后作业 11.数列满足并且，则数列的第2010项为aaaaaan()2(2)，,aa,1,nnnnnn,，,1111122( ) 1111A( B( C( D( 10020102201021002.已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，项和，则 aaaa,S为a的前nn134nnSS,32 的值为 SS,531A(2 B(3 C( D(4 51a,是等比数列，则 3.已知,_.aaa，aa，？，aa,a,25n1223nn，124224.设
13、是首项为1的正项数列，且()，则它的a(1)0nanaaa，,，,n,1,2,3,？nnnnn，11通项公式为 ( 5. 设,是一个公差为的等差数列，它的前10项和且 aS,110d(d,0)n10d,，成等比数列,求公差的值和数列a的通项公式. aaan124a,4,且a,a，4,a,6.已知在公比为实数的等比数列a中，成等差数列( 3456n,a(1)求数列的通项公式; nb(2)设b=na，求数列的前n项和( S,nnnn 参考答案 一、2.基础预探 (1)【等比数列，等比数列】 mn,aaq,(2)【】 mn(3)【设、列、解、答】 (4)【】 qq,11二、基础知识习题化 11. 答
14、案:B 解析: bbqB,9,3,tan3aadA,4,4,2,tan2,36373，都是锐角 tantan()1CAB,，,ABC,annnn,，11n，1n,2B 解:当， ,aSSaaaaaannnn,，11anaaa(1),2，所以从第二项起是等比数列，选B aSSaaaSaa,(1),2,22111aa,213.【B】 a2aabb,，,，,132,1421【解析】 b)32;(2)4;(3)32( 4. 答案:(12解析:(1)由a?a,，得a,2， a35445?a?a?a?a?a,32( a234564324a，a,1122,q,(2)， ,29()36a，aq,12,4?a，
15、a,(a，a)q,4( 5612S,a，a，a，a,2,41234,4(3),q,2， ,4,S,a，a，,，a,S，Sq812844,16?a，a，a，a,Sq,32( 171819204四、典例导析变式训练 1. 解: 由题设知公差 由成等比数列得 解得(舍去) 故的通项 , 由等比数列前n项和公式得 ,12. 解:(1)由得:，而，则( a,0,a，2,0a,2211n于是( aa,，2，1nn2所以( a,a，2,432,(2)不存在实数，使得数列为等差数列( ,an,事实上，假设存在实数，使得数列为等差数列， ,an2由于， a,a，2,2,，2a,a，4,(2,，2)，4,2,，2
16、,，42132若数列为等差数列，则( ,a2a,a，an21322即，即,，1,0， 2(22)2224,，,，,1,4,0，方程无实数根， 由于,因此，不存在实数，使得数列为等差数列( ,ann,1(3)由于，即， aa,，2，1nnn,2则时， a,a，(a,a)，(a,a)，？，(a,a)n12132nn,1n,1212,，21nn,， ,，,，,222222？12,4n,7*nn,N而，因此，时，?( a,2a,2b,n1nn2,31547n则， S,，？n23n2222131541147,nnS,，？， n2341nn，2222221311147,n,S,，,4？以上两式相减得:，
17、n,231nn，222222,n2,4n,1S,即( nn2n,5当时，当时， S,0S,0n,1,2,3,4nn故满足的最小自然数的值为5( S,0nn2,3. 解:(1) 的两根 ？,是方程ax,ax，1,0(n,N)nn，1a,n，1,，,a11,n 6320？,a,a,a,a，,n，1nn，1n123,an,2a,n，11121113(2)aaaa,，,常数nnnn，112233232a, n32？,a为等比数列n32121,b,a,则b是等比数列，公比为首项b,a,令 nnn113233112112n,1n,1()()？b,a,b，,， nn3233231n1,()2n12n，221
18、n2(3)S,，,()n1333321,2 五、随堂练习 a5228,1. 答案:D 解析: 得(a+7d)=( a+4d)( a+12d)所以d=2 a, q=,a,a,a11118513a35因为b=5,所以b=3 215n,1(,)3所以b= n3da2. 答案:A 解析: 设等差数列的公差为，,nana,nn,？aaddaan,？,？,48,2,2,2n，从而，则数列的前项和等,621n，1nnn，1222,123nS,，？于， ? n23n22221121nn,？,，S？， ? n231nn，2222211,1,nn，2nn1111122,?-?得，化简得，故S,2S,，,？nnn2
19、311，nnn1222222221,2选A. 33. 答案:C 解析: 因为S，S-S，S-S成等比，又所以S= S，所以 S:S,1:236396966323:4 S:S,93aa，2a4. 答案:, 375375342322解: aaaaaaaa，,，,2(12)(1)05. 答案:-1 aaa,6,0d6. 解:(?)设等差数列的公差。 因为 n36ad，,26,1ad,10,2所以 解得 ,1ad，,501,ann,，,10(1)2212所以 nqbbaaab,，,24,8 (?)设等比数列的公比为 因为 n2123q,824q所以 即=3 nbq(1),n1nbS,4(13)所以的前
20、项和公式为 nn1,q六、课后作业 1. 答案:C 1111？aaaaan，,，,解析:，是等差数列，且()22(2)nnnnn,，,1111aaaannnn，,11111则数列的通项公式a,，故第2010项为 ,1,d,1,nn2010a1最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。2. 答案:A cosSS,2232解:， ,2aaaadaadad,，,，,(2)(4)3141111SS,532、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。32,n3. 答案:
21、 (1,4)3111322121nn,解:，所以aaaq,，前项的和16()qqa,4nnn，1112821n,8(1()32,n4(1,4) S,13,14面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合1a,4. 答案: nnan22n，1解:，(1)0，,，,(1)0nanaaa，,，,nanaaannnn，nnnn，1111得，1ann1a,累乘可得 nn
22、sin25. 解:因为，成等比数列，故， aaaa,aa124214,而a是等差数列，有，, a,a，da,a，3dn21412222于是 ，即， ,a(a，3d)(a，d)a，2ad，d,a，3ad1111111化简得 a,d 1109，S10ad,，S,11010a，45d,110由条件和，得到， 101101255d,110a,d由，代入上式得， 1d,2a,a，(n,1)d,2n故 ，. n1六、教学措施：6. 解:(1)设数列的公比为q，依题意可得 ,an23，即 2(a，4),a，a2(4q，4),4q，4q5462整理得: (q，1)(q,2),0？q,R,？q,2,a,11对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；n,1 ,？数列a的通项公式a,2nnn,1n,1(2)由(1)知，? a,2bn,，2 nn增减性：若a0，当x时，y随x的增大而增大。21n, ? Sn,，122322？n135.215.27加与减（三）4 P75-80231nn, ? 2122232(1)22Snn,，,，,？nnnn231,?,?得: Snn,，,，2(12222)(1)21？nn*? Sn,，(1)21()nN,n（2）经过三点作圆要分两种情况: