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1、专题一二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如.a 0（a 0）的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。例 1 下列各式 1）、；，2）厂5,3）一 x2 2,4） 一 4,5） . （ ；）：6）a,7） a2 2a 1，其中是二次根式的是 （填序号）.例2使寸X +、/x2有意义的x的取值范围是（）A.x > 0B . x 丰 2C .x>2 D . x> 0 且2.来源：学 * 科* 网 Z*X*X*K例 3 若 y
2、= , x 5 + , 5 x +2009，则 x+y=练习1使代数式.x 3有意义的x的取值范围是（）x 4A 、x>3B x> 3C、x>4D、x >3 且 x丰4练习2若x 11 x （x y），则x y的值为（）A. 1 B . 1 C .2D.3例4若 a 2 b 30，则a2 b =。例5在实数的范围内分解因式:X42-4X + 4=例6若a、b为正实数，下列等式中疋成立的疋（）A、a2 + b2 = a2+b2 ;B、'(a2+b2) 2 =a2+b2;C、(a + , b ) 2= a 2+b2;D、1 (a b) 2 =a b;【知识点2】二次
3、根式的性质：（1）二次根式的非负性，.a 0（a 0）的最小值 是0;也就是说（）是一个非负数，即二王0注：因为二次根式 八）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正 数，0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即三 0 ：），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类 似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0 ；若岛+创-°，则 a=0,b=0;若拓+沪=0，则 a=0,b=0。(2)- ')文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式I (“-】)是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公
4、式也可以反过来应用：若-r -，则'-'，如:一 z ， 'T(3)文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简丿/时，一定要弄明白被开方数的底数 a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即亠"J - '；若a是负数，则等于a的相反数-a, 2、"二中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，丄'一定有意义;3、化简& 时，先将它化成同，再根据绝对值的意义来进行化简(4)与'的异同点不同点：与乙表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方 根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方
5、根；在 ；中-， 而、；中a可以是正实数，0,负实数。但， 与厂 都是非负数，即 皿沦°,。因而它的运算的结果是有差别的，而 代山(小相同点：当被开方数都是非负数,即时，；=匸时，十无意义，而=-aa、b、c为三角形的三条边，则(a b c)2A、把(2-x)1的根号外的(x 22-x )适当变形后移入根号内，得()2 x D、 x 2 a 0若二次根式.2x 6有意义，化简|x-4 | - | 7-x |。1011121314151617已知x、y是实数，且满足 y= x6 + 6 x +1试求9x2y的值 若实数a满足a2 +a=0,则有(A a>0 B . a> 0
6、F列命题中，正确的是(A .若 a>b，则.a > bC .若 |a|=( b ) 2，贝U a=b,24n是整数，则正整数 n实数a、B 、5;)C)BD的最小值是a<0 D . a< 0-via >a，贝U a>0a2=b，贝U a是b的平方根、6;D 、7.b在数轴上的位置如图所示，那么a2的结果是什么?1厂 n r1a7 ,则aaa> 0时a2、( a)2、-一 a2，比较它们的结果,已知已知F面四个选项中正确的是(). '- a2 = ._ ( a)2 >- '一 a2 B . . a2 > ., ( a)2 &g
7、t;-、a2.a2v ._ (a)2<- . a2 D . - .a2>、a2= . (a)20 V x V 1，则：(x -)2V x22(A)( B)-xx一 1 2 1 2【提示】(x) + 4= (xH)，xx114等于(C) 2x(D) 2x(x+ -)2 4= (x 丄)2 .又0V x V 1，x x +>0， x V 0 .【答案】D.xx【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质.(A)不正确是因为用性质时没有注1意当 Ovxv 1 时，xv0.x练习3 若|1 x| X2 8x+16 = 2x 5,则x的取值范围是（）A x>1B. x<4
8、C . 1 < x < 4 D .以上都不对练习4若x 0时，则1 X|练习5 若y <3x 6 J6 3x x3，贝U 10x + 2y的平方根为 练习6 若x 3，则1 J 1 x 2等于（）A.1 ; B 、1 ; C 、3;D 、 3练习7已知x -，化简J x 2 2 x 4的结果是2中练习8若；x2 3 , 3 x22 y试求xy的值。练习9 已知 2x 1,1 2x 2a 4，求a的值。练习10若x y y2 4y 4 0,求xy的值专题二 二次根式的乘除【知识点1】二次根式的乘法法则：.a .b . ab（a 0,b 0）。得出：二次根式 相乘，把被开方数相乘
9、，而根号不变。将上面的公式逆向运用可得：ab .a?，.b（a 0,b0）积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。例 1 化简：(1) J64x2y3(x > 0, y > 0) =；(2)a4b2 (a > 0, b > 0) =(3)(4) (a 1)1.a 1练习1化简二次根式.（5）2 3 得（）A.53B. 5 . 3C. 5.3例2下列各式中不成立的是（)D. 30A. J（ 4）（ x2） 2x25541 1999B.402 242、66 32d.（.、6 、.2）（、6 ,2）4练习2 下列各式中化简正确的是（a. . ab2 abc.9； g&
10、lt;2y例3计算:例 4 若 b>0, x<0,化简：x3b【知识点2】二次根式的除法：(1) 一般地，对于二次根式的除法规定0).商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根即, a (a 0,b0).Vb Jb【注】分母有理化二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来 进行的。分母有理化：(1) 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。(2) 关键:把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。例5 J2+J3的有理化因式是； x- jy的有理化因式是.-Jx 1- Jx 1的有理化因式是 .例6若1 64.2的整数部分为a，小数部分为b。求a
11、 的值b练习3已知111的整数部分为a，小数部分为b，试求.111的值例7计算）十(m>0 n>0)(3) -33m2 3n2 2a2(1(a>0)【知识点3】同类二次根式：（1）被开放数不含分母；（2）被开放数中不含开得 尽方的因数或因式。例8下列二次根式中，最简二次根式是（）（A） .12（ B） . xy（C）（ D） ,4a3b2例9已知xy 0，化简二次根式xjj 的正确结果为 .10、2 , b=2. 3 , c= . 52，贝U a、b、c的大小关系是练习4如果y（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（)- _.于(y>0) b . xy( y&g
12、t;0) c .卫(y>0)yD .以上都不对练习5化简二次根式a的结果是a练习6F列二次根式中，最简二次根式是（A.321B. 32 1C.4abD. - a2b专题三二次根式的加减【知识点1】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被 开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。同类二次根式与同类项的异同：一.相同点：1. 两者都是两个代数式间的一种关系。同类项是两个单项间的关系， 字母及相同字母的指数都相同的项；同类二次根式是两个二次根式间的关 系，指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。2. 两者都能合并，而且合并法则相同。我们如果把最简二次根式的根号部分看做是同类
13、项的字母及指数部分，把根号外的因式看做是同类项的系数部分，那么同类二次根式的合并法则与同类项的合并法则相同，即“同类二次根式（或同类项）相加减，根式（字母）不变，系数相加减”。二.不同点：1. 判断准则不同。判断两个最简二次根式是否为同类二次根式，其依据是“被开方数是否 相同”，与根号外的因式无关；而同类项的判断依据是“字母因式及其指数 是否对应相同”，与系数无关。2. 合并形式不同例 1 在 'J8、y/75a、一 J9a、J125、一 J3a、3 Jo.2、-2 J 中，与 J3a 是同类.33aY8次根式的有例2若最简根式3a b 4a 3b与根式.2ab2 b3 6b2是同类二
14、次根式，求 a、b的值.练习1下列二次根式中与.2是同类二次根式的是（）.A- 12 B - 3 C 、. 2 D 18练习2若最简二次根式22与“10是同类二次根式，求 m n的值.3【知识点2】二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的 二次根式，再将被开放数相同的根式进行合并。例 3(1) 4( .486)2734 2 2已知 4x+y-4x-6y+10=0，求（x 9x +y23y ）的值.【知识点3】二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算 顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的例5计算（1）（3）x吃 y x y 丫依 y
15、3;x,y 为实数，且 y = J 4x + , 4x 1y的值.x【提示】要使 y有意义，必须满足什么条件?1 4x4x°你能求出x, y0.的值吗?1y =-2x=时,44又T-X 2y）2y x y =x y 2 x41 y =2=1 /-y_ _ 1.x1x=1原式=11x =, y = 时，421原式=2=AII,2 【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x的值，32X xy _的值 x y 2x y x y3.2、，.32 卡,y =,求託近，¥运近，【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值.【解】x =一空=(V3 V 2)2 = 5
16、+ 2腿,J3 72y = (V3 V2)2 = 5 - 2 J6 .32 2 2x + y = 10, x y= 4 6 , xy = 5 - (2 , 6 ) = 1.x3 xy2x(x y)(x y) x y 4 6= = =-6 x y(x y) xy(x y) 1 105根据解题的需要，先分别求出“x + y”、“x-y”、"xy”例7已知x =43223x y 2x y x y【点评】本题将x、y化简后, 而使求值的过程更简捷.J- a 2 (b a 0) ,a b例8先化简，再求值:2x . 9x3例9已知a、b为实数，且满足a-33 - 2，求aba-1 的值。(3) , 2x8x3 2 2xy2 (x 0, y 0)1 4x 0【解】要使y有意义，必须，即4x 10