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1、蚂蚁爬行的最短路径正方体如图，一只蚂蚁从正方体的 B点处，它爬行的最短4.底面A点处沿着表面爬行到点上面的路线是(A. A? P? B)-I B . A? Q? BC. A? R? BD. A?S? BQ解：根据两点之间线段最短可知选故选A .2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点最短距离是为解：如图将正方体展开，根据 短路线.两点之间，线段最短”知，线段 AB即为最解:将正方体展开，连接 根 M、D1 , 据两点之间线段最短，2, BC的中点为M,一只蚂蚁从 A点爬行到M点的最短距离MD=MC+CD=1+2=3 ,MD 1 = V'MD"
2、; DD7 J32 22 用5.方体的一个顶点，正方体的棱长为如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正2,蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是()C 选 故 O 41 r/F9.如图所示一棱长为 3cm的正方体，把所有的面均分成3 X3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,则它从下底面点 A沿表面爬行至侧面的 B点，最少要用 ”秒钟>1VIri/田<-II上 .二IA I解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.(1) 展开前面右面由勾股定理得 AB=J : "、；-二 U cm ;(2) 展开底面右面
3、由勾股定理得 AB=? '=5cm ;所以最短路径长为 5cm ,用时最少：5吃=2.5秒.10. (2009?恩施州)如图，长方体的长为 一长方体只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点15, 宽为10,的最短距离是 o解：将长方体展开，连接 A、B,根据两点之间线段最短高为20,点B离点C的距离为5, A爬到点B,需要爬行AB=：=25.11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点Ci处（三4/氏条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短点线长为 Di解：正面和上面沿 AiBi展开如图，连接 ACi, ABCi是直角三角形,二 ACi= . AB2 BG242 i
4、 2 2 . 42 32 52cm和4cm ,高为5cm .若一只蚂蚁从i8. （ 20ii?荆州）如图，长方体的底面边长分别为P点开始经上4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径K为用上pa=2X ( 4+2) =i2 , QA=5? PQ=i3.故答案为：i3.i9.如图，一块长方体传宽AN=5cm ,长ND=iOcm , CD上的点 B距地面的高 BD=8cm ,地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少?解：如图1在传的侧面展开图 2上，连接AB ,则AB的长即为A处到B处的最短路程.解：在RtA ABD中，因为 AD=AN+ND=5+10=15, BD=8 ,所
5、以 AB2=AD 2+BD2=152+82=289=17 2.所以 AB=17cm .故蚂蚁爬行的最短路径为17cm .49、如图，长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别 12cm ,8cm,30cm.(1)在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程 是多少?此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少？A12?如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚊世行的最矩路径为 米。解:由题意得,路径一：AB= :' ' ； = Btt;路径二：AB= ?匚''! : =5;路径三：AB
6、= : ' , 4E;? 门 >5,?5米为最短路径.13.如图，直四棱柱侧棱长为 A 4cm ,底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求：(1 )蚂蚁经过的最短路程；(2 )蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.解：(1) AB的长就为最短路线然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为/; |" (cm);若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为:"-(cm).或，I-1'-(cm)所以蚂蚁经过的最短路程是家吟cm. 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm ,最长路程是 30
7、cm .15.如图，长方体的长、宽、高分别为6cm, 8cm, 4cm .一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B ?则蚂蚁爬行的最短路径的长是 o解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面,则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm,则所走的最短线段是 i'"=6号cm;第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个卡方形的长和宽分别是10cm和8cm ,所以走的最短线段是 ！ R= ?；cm;第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm,所以走的最短线段是i - - =2:cm ；三种情况比较而言，第二种
8、情况最短.51?圆柱形坡璃容器，高18cm，底面周长为蜘蛛60cm,在外侧距下底1cm点S处有一蜘蛛，与相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处充饥 1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路线的长度A处有一只蚂蚁，想到点16.的长、宽、高分别为这个台阶上两个相对的端点，点如图是一个三级台阶，它的每一级20cm、3cm、2cm . A 和 B 是B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿一 一， r S着台阶面爬行到点 B的最短路程为 cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20cm,宽为(2+3) X3cm, 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短
9、路程为xcm ,由勾股定理得：X2=202+ ( 2+3) X32=252, 解得X=25 .故答案为25.17.每一级的长、宽和高分别等于3cm 和 1cm , A 和 B如图，是一个三级台阶，它的5cm,cm是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物？青你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到 点，最短线路是所以 AB2=AC2+BC 2=169, 所以AB=13 (cm),所以蚂 蚁爬行的最短线路为答：蚂 蚁爬行的最短线路为解：将台阶展开，如下图，因为 AC=X 3+1X3=12, BC=5 ,13cm .第2题13cm .圆柱C处，求蚂21.有一圆柱体如
10、图，高 4cm,底面半径5cm , A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 蚁爬行的最短距离.解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离. C, D分别是BE, AF的中点.AF=2 n ?5=10. nAD=5 n .AC= AD2 CD2 16cm故答案为：16cm.22.有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m, 一只老鼠从距底面 1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为解：AB= ,5212213m23 .如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AAi的端点A到达Ai,若圆柱底面半径为-,所以将侧面展开为一长为 12,宽为5的矩形,根据勾股定理，对角线长为r =13 .故蚂蚁爬行的最短距离为1
11、3.24 .如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是解：因为圆底面圆的周长为2nE=12 ,高为5,解：如图所示：一 1由于圆柱体的底面周长为24cm,则AD=24K =12cm2又因为 CD=AB=9cm ,所以 AC='=15cm .故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm故答案为：15.(结果用带n和根号的式子表示)体侧面爬到P,点吃苍蝇，最短的路径是cm.AAi,25. ( 2006?荆州)有一圆柱体高为 10cm,底面圆的半径为 4cm, BBi为相对的
12、两条母线.在AA i上有一个蜘蛛 Q, QA=3cm ;在BBi上有一只苍蝇 P, PBi=2cm ,蜘蛛沿圆柱 解：QA=3 , PBi=2 ,即可把PQ放到一个直角边是 4n和5的直角三角形中, 根据勾股定理得：QP= 最短路线问题通常是以 平面内连结两点的线中，线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中，常 常遇到 带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问 题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。I .求三点距离
13、相等时，一点到两点的距离最短设计方案例1.为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的A水厂向B、C供水站供水。已知 A、B、C之间的距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。 解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。(1 )可设计AB+AC&径；(2) 可设计AD+BD+C潞径；(3) 可设计AE+EB+EC&径。通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为(3)Ho求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计例2?为了改善农民生活水平，提高生产，如图，A B是两个农场，直线 m是
14、一条小河，现准备在河画出设计方岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中 案图。条线段长的解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一 问题。rr*应用：已知三角形 ABC中，/ A= 20度，AB= AC= 20cm, M N分别为AB AC上两点，求BN+ MNA MC勺最小值。山。求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计例3.已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一点，使其与居民区之间的距离最小。解析：在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最
15、优设计方案。应用：一点到圆上的点的最大距离为9,最短距离为1,则圆的半径为多少？关于立体图形表面的最短路径问题 ，又称绕线问题”是几何中很富趣味性的一类向题 .它牵涉的知识 面广，沟 通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系 ，能训练学生的空间想象能力。而且 ，也很富有技巧性 在此讨论几个 问题，仅供参考。Io在圆柱中，可将其侧面展开求出最短路程Ho在长方体(正方体)中，求最短路程例5.在长方体盒子的 A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c.则最短路程为多少.解析：将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面
16、内即可，主要可以分为三种情形：(1) 将右侧面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为： Si(2) 将前表面展开与上表面在同一平面内，可得其路程为(3) 将上表面展开与左侧面在同一I平面内，可得其路程为然后比较Si、S2、S3的大小，即可得到最短路程.应用：一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体和蜘蛛相对的顶点6处V蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从A点爬到C点，它应沿着怎样的路线爬行，才能在最短的时间内捉住苍蝇？ 山。在圆锥中，求最短路径问题例6?在某杂技表演中，有一形似圆锥的道具，杂技演员从A点出发，在其表面绕一周又回到 A点，如果绕行所走的路程最短，画
17、出设计方案图。解析：将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案应用：如图，一直圆锥的母线长为QA=8底面圆的半径r=2 ,若一只小蚂蚁从 A点出发，绕圆锥的侧（结果保留根式）面爬行一周后又回到 A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是路程最短问题在中学教学中是个难点，本文结合中学数学中常见的几类最短路程问题，用实例从知识 的趣味性、实际生活中的应用等方面探讨了最短路线的简单应用。从中望能给学生培养空间想象能力及动手动脑探究数学问题的思想。学会转化的思想”的解决问题的方法，今后我们在数学教学与解决数学问题时，也应从这些方面去考虑，找出问题的实质，达到解决问题的目的。充分去体会数学中的有趣知识，从兴趣出发学到有用的数学。