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1、0录点位精度评定Hanford2015年07月14日目录第1章 点位精度评定11.1 简介11.2期望11.3方差21.4 标准差21.5 协方差216 DRMS31.72DRMS318 CEP31.9 CEP9531.10 CEP9941 11对比41 12SEP41.13误差椭圆51 14置信椭圆51 15误差椭球61 16求解误差椭球71.17置信椭球8第1帝点位精度评定第1帝点位精度评定第1章点位精度评定1.1简介下图显示了一系列的散点。点位精度评定就是计算一些数值，用來评定这 些点的离散程度。楮度评定数值越小说明点的离散程度越小，精度越拓。*/ Z/V/1蠱VWL、lm、'1
2、i j fi丿%、场1.2期望上图的圆心和椭圆中心，是散点的真实位置。假定其坐标为（以,那么 "、就是随机变量x的期望，"、就是随机变最y的期望。期琨的数值，有可能是己知的，也可能是未知的。在未知的情况下，需要 对期望进行估值。一般情况下，期望的估值采用的是算术平均值，即：A X + x, +“I = -=第1疏点位精度评定心心+几13方差方差用來描述随机变量的离散程度，它的数值越小说明离散度越低。随机变最x的方差:E(-a)2vai(x)= n随机变量y的方差:工br广va【(y)= r 4- y + r注意：如果随机变量X的期望心使用的是估计值債= ,贝IJ方差的估值为
3、工(兀一几)O把畀改成"-1的原因在于：求出厶后，心兀，舛#第1疏点位精度评定n-1的自由度由"变成了 -11.4标准差标准差也叫中误差，它是方差的平方根，即:随机变量x的标准差:随机变最y的标准差:或1.5协方差随机变量x、之间的协方差：同样的，如果期望心和"、使用的是估计值，则S按下式计算SU-A)(x-A)1.6 DRMS离散随机变量/的均方根RMS (Root Mean Square)为:RMS,=严:点位误差里的RMS其实是距离均方根差(DRMS),即:DRMS = . /+< + 4；ii将d；=(兀- “J + (x -代入上式，可得DRMS
4、= + =V nn1.7 2DRMS双倍距离均方根2DRMS的计算公式如下:2DRMS =2x DRMS = 2 Jb + 员1.8 CEP圆概率误差CEP (Cuculai Enoi Probable)的含义：以(仏,“J为圆心,CEP为半径画一个圆，点落入圆内的概率为50%。其计算公式如下：CEP= 0.589( a+ 6)CEP953第L"点位梢度评定CEP95 （也被称之为R95）的含义：以仏，“、）为圆心，CEP95为半径画一 个圆，点落入圆内的概率为95%o其计算公式如下：CEP95 =1.2272（o + 6 ）1.9 CEP99CEP99的含义：以（/,、）为國t?,
5、 CEP99为半径画一个圆，点落入圆内 的概率为99%o其计算公式如下：CEP99 = 1.5222（ o-t + o*v）1.11对比CEP、CEP95、CEP99之间是有严格的比例关系的：DRMS、2DRMS之间 也是有严格的比例关系的：那么CEP与DRMS有什么关系呢？假定 6 = 6=6 贝ij： CEP = 0.589x2x0, DRMS = d。此时DRMS = .2xCEP o换句话说就是CEP与DRMS之间有着近似的转换公式：DRMS = 1.22EP 这儿个统计量从小到大依次为：CEP、DRMS、CEP95、2DRMS、CEP99。 以（“,、）为圆心，各个统计量为半径，点落
6、入这个圆的概率见下表：统计量概率CEP50%DRMS63% 68%CEP9595%2DRMS95%98%CEP9999%1.12 SEPSEP的含义：以为球心，SEP为半径画一个圆球，点落入球内 的概率为50%。其计算公式如下：SEP =0.51(6 + 6+ 6)1.13误差椭6第L"点位梢度评定#第L"点位梢度评定在二维平而内，点位沿着任意方向l = cosa sma'的方差按下式计算:a; + a; +cos（2a-（p）K2>ICOS6Zsin a化简后可得:#第L"点位梢度评定#第L"点位梢度评定上式中K = J（b；_E）2+4
7、云注意：atan 2(y,.v)表示原点到(x,刃的方位角。当a=(p+ nn时(畀=0,±1,±2,±3,)q取最大值丘=；:当 a =(p+ nn + y 时(“ =0,±1,±2,±3,)q 取最小值尸=+_"。这里E就是误差椭圆的长半轴，尸就是误差椭圆的短半轴，0是长半轴的 方位角。1.14置信椭圆长半轴为E、短半轴为F的椭圆被称Z为标准误差椭圆。置信椭岡是标准误差椭圆的£倍。点落入置信椭圆内的概率为将k = l代入上式可求出点落入标准误差椭圆内的概率为39.35%。也就是说 置信度39.35%的置信椭圆就
8、是标准误差椭圆。1.15误差椭球在三维空间，点位沿着任意方向/二/, I、丁的方差按下式计算： 硏=lTDlE 代：是随机变量兀y，z的方差、协方差矩阵。o （T叮二上式中的=yxzx注意方向/是单位向量，即满足厂/=1现在的问题是：b何时最大？何时最小？它的实质就是在满足厂/=1的条 件下，求出 = lrDl的极值。可根据拉格朗丨I乘数法求极值，其步骤为：构造拉格朗口函数= /7D/-/l（/r/-l）,然后求解如下方程组:竽=0dL dl:/r/ = l记竽=竽竽竽（即一个数对-个列向量求导），则 dl dlx 01、 dlz竽=2D/- 2刀。根据上式可知of収极值时咚= On（D -征
9、）/ = 0。 ellal满足（D-AE）l=O的2是矩阵D的特征值，而/是与2对应的特征向星。 厂表示需要将特征向量单位化。求出矩阵D的特征值和特征向量后，矩阵D可被对角化，即：D=PAPTA上式中A是由特征值组成的对角阵，即人= 人 oA矩阵P的第i列是4对应的单位特征向最。此时：=/TD/ = （/rP）A（/TP）T记HP,它的儿何意义为：对向量心卩 ly /：丁做正交变换，得到向 量r叩；/；.丁,此时：bm（/：）' +人（/；）' +人这里扬，姨，扬就是误差椭球的三个半轴，从大到小依次为长半轴、中 半轴、短半轴。这三个半轴的方向就是特征向量的方向，它们是相互垂直的
10、。以椭球的三个半轴分别为轴建立一个新的三维直角坐标系X'yh, 坐标系可乙到“yw的正交变换矩阵就是p o1.16求解误差椭球本节将求解矩阵D的特征值、特征向星D-AE =注意上式中：= bayy =（ry 兮b展开后可以得到一个一元三次方程：加+加+必+c = 0,其中9第1疏点位精度评定#第1疏点位精度评定yz zx可以去除这个一元三次方程的二次项，如下式所示:其中-元三次方程的三个根为:上式中心1231aiccos3#第1疏点位精度评定#第1疏点位精度评定这三个根就是矩阵D的特征值。因为D是正定的，所以这三个特征值必定 都是大于零的实数。下而是矩阵D-AE的伴随矩阵:（氐-兄）（4-可-兀（0-久）（兀-几）-尤一）%.氐-6（冬.-久）60.-氐（久-2）（兀-久）（Oyy - 2） - 或将彳代入上式，每一列就是&对应的一个特征向量，请选用长度最大的特 征向暈并将其单位化。1.17置信椭球三个半轴为施，疑，阿的椭球是标准误差椭球，置信椭閲是标准误差椭圆的k倍。co岸(_1)n+iK2" (2+ 1)(1)!点落入置信椭球内的概率为k k1k9k11kn+ 20 112 864 8448 99840将£ = 1代入上式可求出点落入标准误差椎球内的概率为19.87%o也就是说 置信度19.87%的置信椭球就是标准误差椭球。11