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1、近世代数课程论文页脚研究群的子群的乘积的阶姓名：郭庆学号：P111713313班级：2011级数学与应用数学学院：数学与计算机科学学院西北民族大学 数学与计算机科学学院研究群的子群的乘积的阶P111713313 郭庆数学与应用数学内容摘要：通过对群的子群的乘积的探究，明白子群的乘积的 阶和子群的阶的关系。近世代数以具有代数运算“乘法”的集合作为 主要的研究对象，研究的主要是抽象代数系统的性质与结构。 而群论 是近世代数的一个重要的分支，因此群论中的许多思想方法有着重要 的意义，在很多领域中有着广泛的应用，可以帮助我们解决一些复杂 的问题，更好的理解群的概念，以及群的阶的概念。我们知道，群的 子
2、群的乘积需满足一定条件时，才可确定它是子群。那么子群的阶的 乘积和子群的乘积的阶又满足怎样的关系？这次我们将探讨。当然， 除非特殊说明，本文“乘法”还是指的群中满足的代数运算。关键字：群、子群、子群的乘积、子群的阶陪集和指数是两个重要概念，他们通过拉格朗日定理相联系，具 有十分微妙的关系。首先，我们看群的阶是如何定义的：如果一个有限群G中所包含的元素个数为n,则称n为群G的阶, 并记为|G|二n。无限群的阶称为无限，被认为是大于任意的正整数。其实群的阶就是指群中元素的个数，利用是否属于同一左陪集可 将群中元素分成若干甚至无限类， 且每一类中元素个数相同。下面我 们来看。定义：设H是群G的一个子
3、集，aLG贝卩称群G的子集aH二ax|x L H 为群G关于子群H的一个左陪集。而称Ha二xa|x (_ H为群G关于子群H的一个右陪集。显然，当G为交换群时，左陪集和右陪集相等。这是一个特殊情 况。须注意，这里说的是左陪集，也就是子集而非子群，须满足一定 条件才可将子集改为子群。这在下面还将作进一步讨论。很显然，左陪集满足如下性质。1. a CaH证明：H是子群，e H,故a=aeL aH2. aH UaH二H证明：设aH=H则由1知，a aH,所以aH。设aLH,任取axLaH,因为H为子群，所以axLH,即at H。同样, 任取 x(_H，又 a(_H，贝卩 x=ex二血 I =a(口“
4、工)匕 aH,即 HLaH3. b CaH aH=bH证明：设aH=bH由1得bbH,所以baH。设 bLaH,令 b=ax (xLH) 。xLH,由 2 得 xH=H 贝U axH=aH 即 bH=aH4. aH=bH,即a与b同在一个左陪集中 JbL H (或证明：设aH=bH贝卿'aH'bH,即H"1 bH ,则由2得川肚H。 同理，可得A、aLH。设 JbL H ,则由 2 得 HF 'bH ,即 J aH= 'bH ,即 aH=bH.5. 3 与 4 结合则可得，bLa皆 aH二bH 口 口 1 bL H （或 JaLH）即传递性。6. 若
5、aHA bHO，贝卩 aH=bH证明：设cLaH,且cLbH,则由3得cH=bH=aH这样就得到G关于H的任二左陪集要么相等，要么交集为空。从而G按照左陪集可分解为G=aHJ bHU cHU 当然，对于右陪集也有相应性质。这里不作赘述。G的左陪集和右陪集满足怎样关系呢？我们看：H是G的一个子群，令L二aH|aLG, R二Ha|aLG。则L和R之间 存在一个双射，从而左、右陪集的个数都无限或个数相等。证明：L和R之间建立映射：卩：aH如果aH=bH则由4得JbEH,即俨厂 H，从而=酬。 同理，由Ha二Hb可得卩为双向单射，这样就得卩为一个双 射。即左陪集与右陪集一一对应，个数相等。所以由G=a
6、HJ bHU cHU可立即得到G=hP U Hb U He，U指数指数是指一个群G关于它的一个子群H互异的左（或右）陪集个 数，称为H在G中的指数，记作（G: H）。下面我们来看一个非常重要的定理，即拉格朗日定理。H是有限群G的一个子群，贝卩|G|= |H| （G:日），即（G:H） =回.从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。|H |证明：令（G:H）=s，且G = a1 H a2H”asH（1）是G关于H的左陪集分解。由于易知:aih > ajh（-h H ）是左陪集ai H到aj H的一个双射，从而| ai H | = | aj H |。于是有| aiH | = | a?H |
7、=| a$H | = | H |。因此由（1）知，|G| = |H|s，即|G| = |H|（G:H）。由此定理可得一个推论，我们把它称为推论1:有限群中每个元素的阶都整除群的阶。这里要补充一下元素的阶的概念：设a为群G的一个元素，使an = c的最小正整数n叫做元素a的阶。现在来证推论1。证明：设a是有限群G的一个n阶元素，贝SH=e, a,，an'是G的一个n阶子群，故由拉格朗日定理知，n|G|。得证。 接着，我们可得到，如果|G|为素数，则由n |G|可得，| G|二n,当然，这里n也一定是素数。则可知：素数阶群必为循环群。如果K<H<G, G为有限群，由拉格朗日定理
8、可得| H| = |K|(H:K )和 |G| = |H|(G:H)，所以|G| = |K|(H:K)(G:H)，所以即(H:K)(G:H)=(G: K),这样就得到了指数间的关系。这有点类似a=b(a: b) ,b二c(b:c)，则a=c (b:c ) (a:b).其中a: b为a与b的比值。其实， 这就是数字间简单的运算。这样，我们就得到有限群G中元素被分成了若干等份，且每一份 都是他的一个陪集。即每一份的元素数相等。接下来，我们看子群的乘积的阶和子群的阶的关系，这是本文的核心定理，我们把它叫做定理 1。设H K是群G的两个有限子群，则|HK|=1LK!| H c K |证明：首先，易知
9、H K< H,由拉格朗日定理，可设1 H 1 =m再| H c K I由以上讨论可得 H=h!(HK) 一 h2(H ' K) 一一.hm(HK) ( 1),任取a H K,则a K,再任取b K,因为K为子群，则ab K, 所以(H K) K*所以有HKK h2K 一hmK ,设h hj(H c K) , i工j，则由1得h, hi(HCK)，再由左陪集要么相 等，要么无交集，所以与(1)式矛盾。所以hj(HK)，所以i 工j时，hhK，即“山，hj hjK , hiK与hjK为G关于K的左陪 集，要么相等，要么无交集，所以hiKchjK=0|HK|=m|K| ,将冷知弋入得|
10、HK|=|H|K| H C K I即 |HK|= |H|K| H c K |（得证）须说明，这里HK仍不一定是子群。而当H K为单位元时，有|HK|=|H|K|由定理1可得到一个推论，推论设p、q是两个素数且pvq,则pq阶群G最多有一个q阶子群证明：设H K都是G的q阶子群，贝卩由定理1得,|HK|=但|H A K|整除q,而q是素数，故|H A K|=1 或 q若|H A K|=1 ,则 |HK|= q2,由 q> p 可得 |HK| > |G| ,矛盾。所以,|H A K|=q，所以 H=K由此我们可得到：6阶群最多有一个3阶子群（实际是有且只有 一个3阶子群），10与15阶
11、群都最多有一个5阶子群（实际上也是 有且仅有一个5阶子群），等等。由定理1我们可以推广到三个子群甚至 n个子群的情况。下面我们看:推广一设H K、L是群G的三个有限子群，则|HKL|=|H| H K | K - L | H - L |证明：首先由上面的定理可得lHKLl=| = |H |K|hKL|L|因为 |HK - L|=|H-L|K - L|,所以 |HKL|=|H |K|L|H、K |K 一 L |H - L |得证。推广二设H I、K、L是群G的四个有限子群，则|H |l |K|L| H| H、K | I 一 K | H 一 L | I 一 L|K、L |证明：由定理一可得 |HIK
12、L|= EIK |L| = |HI |K |L|= |H |l | |K |L|得| HIK - L| | HI K | HIK ' L | I 11 HI ' K 11 HIK ' L|H |l |K|L| H I | H K | I K | H L | I 一 L | K 一 L |如此我们可以推广到n阶的情形，我们看：设Hi、H2、H3Hn是群G的n个有限子群，则| H1H2H3 Hn | =|Hi |H2 |H3 | Hn |Hi 一 H2HH1 一 出| |HnJ Hn|证明：用数学归纳法，由定理一得，n = 2时定理成立，即将定理一 中H、K改为Hi、H2即
13、可。假设当n=k时成立，即 屮出2出HJ二|Hi|H2|H3jHk|Hi - H2 |已、H3 | |HJ Hk |,则当n二k+1时,W1H2H3 Hki | =屮1汁2川3|Hk|Hk|Hi - H2 |H<- H3 r- |Hk-<- Hk | IH1H2 Hk - Hk.1 |=|Hi |H2 |H3K- | Hki |Hi -H2|H<- H3' |H' Hki|得到了这么多定理，我们会发现，通过陪集给群分类是非常重要 的方法。我自己也总结了一个定理，虽然有点太寒酸，但我自己认为 还是蛮有用的。定理（1） 在 G=aHJ bHU cHU中，如果 a”
14、H,贝卩aHA H=。证明：很显然，如果d H,则dH=H如果aHA，则dHA aH工0 ,于是dH=aH又a aH,所以a bH=H与假设矛盾。所以 aH A H二一。得证。另外，HA K< H,这也是一个值得探讨的问题，我们看：首先HA K肯定是H的子集。现在我们只需证明HA K作成群即可。任 取 a, b H 且 a, b K,那么 ab H,且 ab K。即 ab HA K。即 H AK中存在代数运算。而 H K为子群，这个代数运算在 H K中满足 结合律在HQ K中一定也满足。而单位元一定也是原群的单位元。且 每个元素都有逆元，这是显然的。所以 HQ K作成群。这也就回答了 定
15、理一中的易知。当然本文中需要深究的东西还很多，在此限于篇幅和水平只能到 此为止了。只要我们不断努力，知识是无止境的。群论是近世代数中的一个重要的分支， 也是一个难点。我们一定 要掌握好，群论的进步也关系到数学的发展， 数学上小小的进步将带 来其他学科的突破性进展。时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最 基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、 泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用， 还形成了一些新 学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联 系的其他结构如拓扑、 解析流形、 代数簇等，并在结晶学、理论物理、 量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面， 都有重要的应用。 作为推广“群”的概念的产物： 半群和幺半群理论及其近年来对计算 机科学和对算子理论的应用， 也有很大的发展。 群论的计算机方法和 程序的研究，已在迅速地发展。所以，我们一定要学好群论。2012年 11月 3日于西北民大榆中校区参考文献：张禾瑞 郝鈵新高等代数杨子胥近世代数