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1、第二宇宙速度的推导在地面上发射一个航天器，使之能脱离地球的引力场所需要的最小发射速度，称为第二宇宙速度。一个航天器在它的燃料烧完后脱离地球的过程中，该系统符合机械能守恒的条件。由此即可推得第二宇宙速度V2。要计算第二宇宙速度，必须求出在地球引力场中，移动物体时克服引力所做的功。很显然，物体上升的越高，需要做的功也就越多。 但同一物体在不同高度处所受地球引力并 不相等，随着物体高度的增加，地球引力将逐渐减弱。当物体与地球的距离趋于无穷大时， 地球对它的引力也就趋于零，这时物体就脱离了地球的引力场。因此，物体由地球表面上升到无限远处克服地球引力所做的功为一定值。这一数值可用下面的方法进行推算。如图
2、所示，设物体m从地球E的引力场中从Po处移动到Pn处。因各处的引力不等，我们可把PoPn的一段距离分成许多极小的等分 X。PO、Pl、P2、Pn和地球中心的距离 分别为ro、ri、2、rn；先求出每一等分中的平均引力，然后求出通过每一等分时物体 克服地球引力所做的功，这些功的总和，就是物体从Po移动到Pn克服地球引力所做的功。如果物体依靠消耗自身的动能来完成它所需做的功，那么它从Po移动到Pn克服地球引力所做的功，就等于它动能的减少。根据万有引力定律，如果用 G表示万有引力恒量， M表示地球的质量。物体在 Po 处所受的引力为Fo G 啤；物体在P1处所受的引力为 Fi G啤。rori因为Po
3、和P1相距极近，物体在 Po、P1间所受万有引力的平均值可以近似地等于两处引力的比例中项，即:FimMrori同理，物体在Pi、P2间所受的平均引力为 F2 G ；物体在Pn-1、Pn间所受的平均引力为Fn物体从Po移动到P1的过程中克服万有引力所做的功为:Wi = （ Po、Pi间物体受到的平均引力）X（ Po、Pi间的距离）roGmM丄丄；ro ri物体从Pi移动到P2时克服万有引力所做的功为:W2 GmM 丄-；ri D同理，物体从Pn -i移动到Pn时克服万有引力做的功为:WnGmM把以上各式相加，得到物体从Po移动到Pn整个过程中克服万有引力所做的功为:W = Wi + W2 +Wn
4、 = GmM -ro应该指出，物体从Po处移动到Pn处克服万有引力所做的功， 在数值上就等于物体在Po和Pn的位置有关，而Po和Pn两处物体与地球组成的系统的重力势能之差，它的值只与 与物体移动的路径无关。1 2如果物体在Po处的速度为V,它的动能就为mv，物体之所以能克服万有引力做2功，正是因为它具有这些动能。由机械能守恒定律可知， 如果只考虑克服地球引力做功，物体所具有的动能应满足下列条件：111mv2 GmM 2ro 环I1 1即物体应具有的速度为：v 2GM。r0 rn在以上的推导过程中，我们没有考虑物体在运动过程中克服空气阻力做功，也没有考虑太阳及其它天体引力的影响。在实际情况下，要使物体从P0移动到Pn，所需的动能应更大些。由以上推导得出的速度表达式可知，使物体从地球表面 r= R处出发而脱离地球， 即到达rn = 8处，物体所具有的速度即为第二宇宙速度，所以第二宇宙速度为:V22GM 12GMR2gR11.2 km/s。