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1、第二十四章圆建模点分析临淄区遄台中学 延伟红新课标在各学段中，都安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。各部分都有以数学建模的形式来学习和把握的内容。鉴于初中学生的知识储备不足，社会经验不多等等原因，笔者试着在这四个部分学习中，从教材中提取素材，适时地进行数学建模的教学活动和思想方法地渗透，建立数学模型，解决实际问题。其过程浓缩成“问题的提出，模型的建立，模型的应用”三大步骤，可以适当进行建模准备。在义务教育阶段教学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。以下是笔者针对义务教育教科书数
2、学九年级上册第二十四章圆这一单元的数学建模教学的分析。首先列举本章中的相关建模点，然后对其提出了自己的一些建议，最后出具几个典例作以示范。一.建模点1. 圆外角、圆周角、圆内角三者关系。2. 探究四点共圆的条件。3. 实验与探究圆和圆的位置关系。4. 滚圆问题之模型构建5. 与中心角相关的面积之模型构建。6. 实验与探究设计跑道。二.建议1.对于“圆外角、圆周角、圆内角三者关系”这个建模点的建议：首先要引领学生探究模型，即这三种角的大小关系CDE（如图1）。另外模型的应用很关键，在以下几个方面可以应用，如足球运动员射门问题，船入浅滩问题等等。还可以引入一道数学竞赛题。题目是这样的：已知平面上有
3、2n+3（n1）个点，其中没有三个点共线，也没有四个点共圆。能不能通过它们之中的某三个点作一个圆，使得其余的2n个点一半在圆内，一半在圆外？首先肯定这样的圆是一定可以作出来的。如图2，在2n+3个点中一定可以找到A，B两点，使得其余2n+1个点都在直线AB的同一侧。线段AB对其余2n+1个点张开的角必然各不相同，（否则若有两角相等，则这两点必然在以AB为弦的同一个圆弧上，这样就出现了四个点在同一个圆周上，导致四个点共圆，就不符合题目条件了）。将这2n+1个角的顶点按角的大小排列起来：Q1Q2QnQn+1Qn+2Q2nQ2n+1。过A，B，Qn+1三点作圆，由于Q1，Q2，Qn对AB的张角小于A
4、Qn+1B，所以点Q1，Q2，Qn必在圆外；而Qn+2，Qn+3，Q2n+1对AB的张角大于AQn+1B，所以它们必在圆内。这样圆内、圆外各有n个点。这个有趣的数学竞赛题，就可以用圆外角、圆周角、圆内角三者关系的模型解决了。2.对于“探究四点共圆的条件”这个建模点的建议：主要是四点共圆条件的探究，即模型的建立过程。学生在发现问题的阶段可能会受到任意一个三角形的三个顶点做一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般地探究问题，通过画图、观察、测量，分析平行四边形、矩形、菱形，获得四边形的四个顶点共圆与四边形的边长无关；通过对等腰梯形探
5、究，获得四边形的四个顶点共圆与内角是否是直角无关；通过对共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形的四个顶点的探究，获得四边形的四个顶点共圆与四边形是否存在一组对边平行无关，由此联想圆内接四边形对角互补，获得猜想。学生经历研究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程中和“思考”的过程中有利于数学基本活动经验地积累。最后形成模型：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆。还可以引领学生继续探究其他判定四点共圆的方法。3.对于“实验与探究圆和圆的位置关系”这个建模点的建议：在建模过程中引领学生通过观察图形、动手操作、归纳总结，得出圆和圆的位置关系的模型，模
6、型的表示形式很关键，一种形式如下：外离，d>R+r；外切，d=R+r；相交，R-r <d<R+r；内切，d=R-r；内含，0d<R-r。还可以用一个数轴的形式来表达，更加直观形象： 三.典例典例一：滚圆问题之模型构建一、问题的提出一个圆在一定的路线上从一端无滑动地滚动到另一端，这种问题就是我们要研究的滚圆问题。圆在无滑动地滚动中，它自身转动的周数如何求？以及滚圆圆心所经过的路程是多少？一直在困扰着大家。二、模型的建立要进一步探究这一问题，可以令圆在不同路线（如线段、三角形、正方形、圆等）上作这种滚动，以求建立相应的数学模型来解决问题。例1).如图，一枚直径为d的硬币沿着
7、直线滚动一周，圆心经过的路程是_d . 2).如图，把半径为r的O放在一条长度等于其周长的线段上，从一个端点无滑动地滚动到另一端点，O将转动 1 周，圆心O经过的路程是 2r ；如图所示，若O继续向前滚动回原位，则O将转动 3 周，圆心O经过的路程是6r 。3).如图，若把半径为r的O放在边长等于其周长的正三角形上，令其无滑动地滚动一周回到原位，则O将转动 4 周，圆心O经过的路程是 8r 。4).如图，若把半径r的O放在边长等于其周长的正方形上，无滑动地滚动一周回到原位，则O将转动 5 周，圆心经过的路程为 10r 。5).如图，若把半径为r的O放在它的等圆O外沿其滚动一周，则O将转动 2
8、周，圆心经过的路程为 4r 。总结以上五个例子建立数学模型：小O在一个封闭的路线上无滑动地滚动一周时，模型一： ；或者表示成模型二： 三、模型的应用 如图，若O的周长为20cm，A、B的周长都是4cm，A、B分别在O的内、外沿O滚动，试问A、B各需转动几周能回到原来的位置？为什么？ 分析本题可以从以上总结的两个方面的结论出发来求解解：O的半径为：； A、B的半径皆为：由模型二得：A的圆心A在半径为102=8的圆上滚动，它转动了 ；同理B转动由模型一得：A在半径为104=6的小O上滚动，转动了；B在半径为10的大O上滚动，转动了特别注意：小圆在封闭路线上滚动的问题，必须弄清两点：小圆在运动中遇到
9、折点就要原地自转，（在圆形路线上，它随时自转着）；另一方面是在滚动中小圆与其接触面相切。典例二：与中心角相关的面积之模型构建一、问题的提出现有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这块土地分成面积相等的四部分（若路的宽度忽略不计）如图所示可以有以下三种修筑方案，为什么这样分得的面积是相等的呢？二、模型的建立大家可以看得出以上三种分法有一个共同特点是，分得的四个图形的一个内角的顶点，是正方形的中心且它的度数等于正方形的中心角90°，这是为什么呢？是不是其它正多边形也具有这样的特点呢？下面我们看几个例子。例1如图，正三角形ABC的中心恰好为扇形DOE的圆心，且点B在扇形内，
10、要使扇形ODE绕O无论怎样转动，ABC与扇形重叠部分的面积总等于ABC的面积的三分之一，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理由。分析：BOC的面积等于ABC面积的，当扇形与ABC重叠部分为BOC时，重叠部分为ABC面积的，此时，扇形的圆心形为120°。再证扇形圆心角与BOC不重合时仍符合题意即可。答：当扇形的圆心角为120°时，ABC与扇形重叠部分的面积总等于ABC的面积的三分之一。证明：（1）当扇形的圆心角与正三角形ABC的中心角重合时，显然，ABC与扇形重叠部分的面积等于ABC面积三分之一。（2）当扇形的圆心角与正三角形ABC的中心角不重合时，如图，连结OB、OC，设OD
11、交AB于F，OE交BC于GO是正ABC的中心OC=OB，OCG=OBF COG=BOFCOGBOF即S四边形OFBG=SBOC，即ABC与扇形重叠部分的面积等于ABC的面积的三分之一。同理可证，当扇形ODE转动至其他位置时，结论仍成立。由（1）（2）可知，当扇形的圆心角为120°，ABC与扇形重叠部分的面积总等于ABC的面积的三分之一。例2.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形ABCO的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形ABCO绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，想一想，为什么？证法如例1，易得SOAB=S正方形ABCD。
12、也易证SAOE=SBOF，所以两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的。 以此类推：以下正五边形、正六边形中阴影部分的面积分别是正五边形、正六边形面积的、。因此可以得出与中心角有关的面积模型：顶点在正n边形的中心，且等于中心角度数的一个角与正n边形重叠部分的面积等于这个正n边形面积的。三、模型的应用1. 将n个边长都是1的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（）解析：由模型可得：S=×12×n=2. 如图所示，点M、N分别是正八边形相邻两边AB、BC上的点，且AM=BN，则MON的度数为_
13、. 解析：易求得四边形OMBN的面积是该正八边形面积的，由该模型的推导过程可知，MON=45°3.如图，在等腰RtABC中，ABC=90°，AC=8，O是AC边上的中点，点E，F分别在AB，BC边上运动，且保持AE=BF，求四边形OEBF的面积.解析：连接OB，易证得OBAC、OEB OFC，从而进一步求得EOF=90°。进而可以根据模型求得四边形OEBF的面积=SABC，即相应正方形面积的。典例三：设计跑道之模型构建一、问题的提出田径比赛中，在进行400m赛跑时，运动员的起跑点并不在同一条直线上，为什么会这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内层跑
14、道上的运动员较为有利原因是内层跑道的路程较短因此为了公平比赛，在外层跑道的运动员的起跑点必须前移在义务教育教科书数学九年级上册的117页，有一节实验与探究设计跑道在本节中要求大家设计一个道的400m跑道，每条跑道由两条直段的跑道和两端是半圆形的跑道组成，画出每条跑道内的起跑线，使得运动员经过400m（或200m）比赛后到达同一终点线这一问题就成了如何来设计400m（或200m）的起跑点的问题问：在400m的标准跑道上跑一圈，每一道的起跑点要比前一道提前多少米？200m赛跑呢？二、模型的建立先认识几个量：国际田联公布的田径规则对田径场地有明确的规定和严格的要求，田径场地有标准的400米半圆式田径
15、场和非标准的田径场田赛场地的分道宽（即跑道的宽）a为1.22m至1.25m大多数适宜的400m半圆式跑道被建成弯道半径r为35.00m至38.00m之间，最好的是36.50m；直段s的长由半径r决定田径跑道有计算线，即运动员的实跑线（只供计算跑道的周长之用）第一道的计算线应在跑道内突沿外沿以外30厘米处测量跑道长度国际标准跑道中r=36.5米，s=84.39米，a=1.22米，跑道的周长（即第一道的实跑线长）：2（r+0.3）+2s=2×3.1415926×36.8+2×84.39400（米）。我们需要思考以下几个问题：1圆的半径r（r在这里可以理解为第一道实跑线
16、上圆的半径）对确定超前起跑点有什么影响？2直段长s对确定超前起跑点有什么影响？3跑道的宽度（即分道宽）a对确定超前起跑点有什么影响？如右图所示，在标准400跑道上，400比赛的相邻两起跑点之间的距离如何呢？这个距离有以下几种求法： 全长的差：2(r+a)+2s-(2r+2s)=2a弧长的差：2(r+a)-2r=2a可见，圆的半径r、直段长s都对确定超前起跑点不起作用，只有跑道的宽度a是起作用的200m赛跑中相邻超前起跑点之间的距离是(r+a)-r=a所以可得以下数学模型：模型一：在国际标准400跑道上，200m比赛的相邻两起跑点之间的距离是a；400m比赛的相邻两起跑点之间的距离是2a。（a是
17、每条跑道的宽度）（注：“相邻两起跑点之间的距离”实际上指的是 “相邻两条跑道的超前起跑点之间的距离”。另外，这里的距离有可能是圆的弧长，也有可能是两点之间的线段的长，要根据跑道的实际情况而定。）如果把国际标准400m、200m赛跑确定起跑点的问题，转化成在跑道形路线上运动时，还可以总结到超前起跑点之间的距离(即左右两圈的长度差)是：如果经过一个弯道：(r+a)-r=a；经过两个弯道：2(r+a)-2r=2a；经过三个弯道：3(r+a)-3r=3a；经过n个弯道：n(r+a)-nr=na所以可以进而把模型一完善成模型二的形式：模型二：若在跑道形路线上运动，则左右两圈的长度差等于na（n代表几个弯
18、道，a代表两个运动物体的左右距离）三、模型的应用1 在200米跑比赛中，运动员要跑一条直跑道（s=85.96米）和一条半圆形跑道（直径d=72.6米）,跑道宽a=1.25米，从第2道起，每一道的起跑点要比前一道提前_米(取3.14) 由模型一可得：a=3.14×1.25=3.9252 在400米跑比赛中，运动员要跑一圈，每一道的起跑点要比前一道提前_米第8道的起跑点要比第4道的起跑点提前_米（所需数据可以从第1题中获取取3.14）第一个空，由模型一可得：2a=2×3.14×1.25=7.85；第二个空，由模型二可得：na=2×3.14×（1.2
19、5×4）=31.40田径规则规定， 4×400 米接力赛跑中，分道跑完三个弯道后，外道运动员即可向里道切入请问4×400米接力赛跑中，从第2道起，每一道的起跑点要比前一道提前多少米？（外道向里道切入时跑的多余距离忽略不计）(取3.14)由模型二可得：na=×3.14×1.25=11.775（米）4并排依次相距1米的四人，绕着跑道形广场转一圈，从左边数第一个人比第四个人大约少走几米呢？转五圈呢？第一问，由模型二可得：na=2×3.14×（1×）=18.84（米）；第二问，由模型二可得：na=（2×）
20、5;3.14×（1×）=94.20（米）或写成18.84×94.20（米）上下距离相差1米的两架飞机，在赤道上方绕着地球转一圈，上面的飞机大约多飞了多少米呢？由模型二可得：na=2×3.14×1=6.28（米）我们共同思考：各学校由于占地所限，运动场不一定都能建成国际标准跑道的尺寸我校运动场的相关数据：a=1.23米，s=50米，r =24米请考虑：这是一个多少米的运动场呢？如何确定该运动场的200m、400m项目的起跑点呢？则第一道的实跑线的长2r+2s250.8（米），我们可以大约认为这是一个250米运动场要确定该运动场的200米、400米
21、项目的起跑点，就需要算清从起点到终点共需要经历几个弯道，（如图所示把终点线确定在第1直、曲道分界线处），通过计算不难求出：200米、400米项目分别经过1.33个和3个弯道，故而易求出其相邻起跑点之间的距离是5.22米和11.78米这与同学们实地测量的数据5.1米和11.6米非常吻合！总之，一个较为复杂的实际问题设计跑道，通过用数学的知识，数学的思想方法分析总结，落实到一个简单明了的数学模型na上本次数学建模的学习，既培养学生运用数学知识方法，通过建立数学模型，解决实际问题的能力，又培养学生学数学、用数学的兴趣数学对学生的培养，不只是数学定理、数学公式、更重要的是培养学生一个正确的思想方法，而且依据自己所学的知识，不断创新，不断找出解决问题的新途径