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1、铅锤高求三角形面积法 作三角形铅锤高就是解决三角形面积问题得一个好办法 -二次函数教学反思 最近教学二次函数遇到很多求三角形面积得问题,经过研究,我发现作三角形铅锤高就是解决三角形面积问题得一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到"歪歪三角形中间砍一刀',同学们很快掌握了这种方法现总结如下:如图 1,过 ABC 得三个顶点分别作出与水平线垂直得三条直线,外侧两条直线之间得距离叫 ABC 得"水平宽'( a ),中间得这条直线在 ABC 内部线段得长度叫 ABC 得"铅垂高( h )'、我们可得出一种计算三角形面积得新方法:,即三角形面积等于水平
2、宽与铅垂高乘积得一半、 例 例 1. (203 13 深圳) )如图,在直角坐标系中,点 A 得坐标为(2,0),连结 OA,将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120,得到线段 OB、(1)求点 B 得坐标;(2)求经过 A 、 O 、 B 三点得抛物线得解析式;(3)在(2)中抛物线得对称轴上就是否存在点 C,使BOC 得周长最小？若存在,求出点 C 得坐标;若不存在,请说明理由、(4)如果点 P 就是(2)中得抛物线上得动点,且在 x 轴得下方,那么PAB 就是否有最大面积？若有,求出此时 P 点得坐标及PAB 得最大面积;若没有,请说明理由、 解:(1)B(1,) (2)设抛物线得解
3、析式为 y=ax(x+a),代入点 B(1, ),得,因此 (3)如图,抛物线得对称轴就是直线 x=1,当点 C 位于对称轴与线段 AB 得交点时,BOC 得周长最小、 设直线 AB 为 y=kx+b、所以,因此直线 AB 为,当 x=1 时,因此点 C 得坐标为(1,/3)、 (4)如图,过 P 作 y 轴得平行线交 AB 于 D、 当 x=时,PAB 得面积得最大值为,此时、 例 例 2.(2021 益阳) 如图 2,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0),交 y 轴于点 B、(1)求抛物线与直线 AB 得解析式;(2)点 P 就是抛物线(在第一象限内)上得一个动点
4、,连结 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C 时,求CAB 得铅垂高 CD 及;(3)就是否存在一点 P,使 S PAB =S CAB ,若存在,求出 P 点得坐标;若不存在,请说明理由、 解:(1)设抛物线得解析式为:把 A(3,0)代入解析式求得所以设直线 AB 得解析式为:由求得 B 点得坐标为 把,代入中 解得:所以 (2)因为 C 点坐标为(,4)所以当 x时,y 1 4,y 2 2 所以 CD4-22(平方单位) (3)假设存在符合条件得点 P,设 P 点得横坐标为 x,PAB 得铅垂高为 h,则由 S PAB =S CAB 得化简得:解得,将代入中,解得 P 点坐标为 B C 铅
5、垂高 水平宽 h a 图 1 C B A O y x D B A O y x P 图-2 x C O y A B D 1 1 (3)xyABCPE OxyABCQO(2)例 例 3.(205 15 江津) )如图,抛物线与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3,0)两点,(1)求该抛物线得解析式;(2)设(1)中得抛物线交 y 轴于 C 点,在该抛物线得对称轴上就是否存在点 Q,使得QAC 得周长最小？若存在,求出 Q 点得坐标;若不存在,请说明理由、(3)在(1)中得抛物线上得第二象限上就是否存在一点 P,使 PBC 得面积最大？,若存在,求出点 P 得坐标及 PBC 得面积最大值、若没有,
6、请说明理由、 解:(1)将 A(1,0),B(3,0)代中得 抛物线解析式为: (2)存在。 理由如下:由题知 A、B 两点关于抛物线得对称轴对称 直线 BC 与得交点即为 Q 点, 此时AQC 周长最小 C 得坐标为:(0,3) 直线 BC 解析式为: Q 点坐标即为得解 Q(1,2) (3)答:存在。理由如下: 设 P 点若有最大值,则就最大, 当时,最大值 最大 当时,点 P 坐标为 同学们可以做以下练习: : 1.(2021 浙江湖州)已知如图,矩形 OABC 得长 OA=,宽 OC=1,将 AOC 沿 AC 翻折得APC。 (1)填空:PCB=_度,P 点坐标为( , ); (2)若
7、 P,A 两点在抛物线 y=x 2 +bx+c 上,求 b,c 得值,并说明点 C 在此抛物线上; (3)在(2)中得抛物线 CP 段(不包括 C,P 点)上,就是否存在一点 M, 使得四边形 MCAP 得面积最大？若存在,求出这个最大值及此时 M 点得坐标;若不存在,请说明理由。 2.(湖北省十堰市 2021)如图, 已知抛物线(a0)与轴交于点 A(1,0)与点 B (3,0),与 y 轴交于点C.(1) 求抛物线得解析式;(2) 设抛物线得对称轴与轴交于点 M ,问在对称轴上就是否存在点 P,使CMP 为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件得点P得坐标;若不存在,请说明理由.(3)
8、 如图,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积得最大值,并求此时 E 点得坐标. 图 图 3、( 2021 5 年恩施) 如图 11,在平面直角坐标系中,二次函数得图象与 x 轴交于 A 、 B 两点, A 点在原点得左 侧,B 点得坐标为(3,0),与 y 轴交于 C(0,-3)点, 点 P 就是直线 BC 下方 得抛物线上一动点、 (1)求这个二次函数 得表达式. (2)连结 PO、PC,并把 POC 沿 CO 翻折,得到四边形 POPC, 那么就是否存在点 P,使四边形 POPC 为菱形？若存在,请求出 此时点 P 得坐标;若不存在,请说明理由. (3
9、)当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 得面积最大并求出此时 P 点得坐标与四边形 ABPC 得最大面积、 解:(1)将 B 、 C 两点得坐标代入得 解得: 所以二次函数得表达式为: (2)存在点 P,使四边形 POPC 为菱形.设 P 点坐标为(x,),PP 交 CO 于 E 若四边形 POPC 就是菱形,则有 PCPO. 连结 PP 则 PE CO 于 E,OE=EC= =. = 解得=,=(不合题意,舍去) P 点得坐标为(,) (3)过点 P 作轴得平行线与 BC 交于点 Q,与 OB 交于点 F,设 P(x,),易得,直线BC 得解析式为则 Q 点得坐标为(x,x3)、 E
10、B QP OE QP OC AB S S S SCPQ BPQ ABC ABPC× + × + × = + + =D D D212121四边形 = 当时,四边形 ABPC 得面积最大 此时 P 点得坐标为,四边形 ABPC 得面积. 25.(2021 绵阳)如图,抛物线 y = ax 2 + bx + 4 与 x 轴得两个交点分别为 A(4,0)、B(2,0),与 y 轴交于点 C,顶点为 D.E(1,2)为线段 BC 得中点,BC 得垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G. (1)求抛物线得函数解析式,并写出顶点 D 得坐标; (2)在直线 EF 上求一点
11、 H,使CDH 得周长最小,并求出最小周长; (3)若点 K 在 x 轴上方得抛物线上运动,当 K 运动到什么位置时,EFK 得面积最大？并求出最大面积. 【解析】(1)由题意,得 解得,b =1. 所以抛物线得解析式为,顶点 D 得坐标为(1,). (2)设抛物线得对称轴与 x 轴交于点 M.因为 EF 垂直平分 BC,即 C 关于直线 EG 得对称点为 B,连结 BD 交于EF 于一点,则这一点为所求点 H,使 DH + CH 最小,即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =. 而 . CDH 得周长最小值为 CD + DR + CH =. 设直线 BD 得解析式为 y =
12、 k1x + b,则 解得 ,b1 = 3. 所以直线 BD 得解析式为 y =x + 3.由于 BC = 2,CE = BC2 =,RtCEGCOB, 得 CE : CO = CG : CB,所以 CG = 2、5,GO = 1、5.G(0,1、5).同理可求得直线 EF 得解析式为 y =x +. 联立直线 BD 与 EF 得方程,解得使CDH 得周长最小得点 H(,). (3)如图所示,设 K(t,),xFtxE.过 K 作 x 轴得垂线交 EF 于 N. C E D G A x y O B F 图 11 K N C E D G A x y O B F 则 KN = yKyN =(t +)=. 所以 SEFK = SKFN + SKNE =KN(t + 3)+KN(1t)= 2KN = t 2 3t + 5 =(t +) 2 +. 即当 t =时,EFK 得面积最大,最大面积为,此时 K(,).