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1、XX师X学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作 者院系数学与统计学院专业数学与应用数学年 级2011级学 号指导教师郭亚梅论文成绩日 期2015年月 日.word.zl.学生诚信承诺书本人X重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进展的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 XX师X学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何奉献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意作者签名:日期:导师签名:日期:院长签名:日期:论文使用授权说明本人完全了解XX师X学院有关保存、
2、使用学位论文的规定，即：学校有权保存送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或局部内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.作者签名:导师签名:日期:向量组线性相关性的判定方法XX师X学院 数学与统计学院 XX XX 455002摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的根底上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理 论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的 值及结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的假 设干方法.关键词：向
3、量组线性相关线性无关判定方法1引言线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法.1.1 n维向量的定义一维、二维、三维向量，推广到 n维向量定义：n个有次序的数a1,a2，,an所组成白数组（a1a，an）或（a1a，an）T分别称为n维 行向量或列向量.这n个数称为向量的n个分量 第i个数aj称为第i个分量 显然，行向量 即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母 ，等表示分量全为实数的 向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量 1.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运
4、算规那么进展运算特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律.全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间或线性空间.例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间.3 .向量组线性相关性的定义3.1 向量组有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组例如一个m n矩阵对应一个m维列向量组也对应一个n维行向量组包ain)(a2i a22 a2n)(ami am2amn)aE玉a12a1na21a22而仁二 a21F 4 Ha22a2nFit
5、, ,F q F, PIPam1am2 i1amnam1am2amn3.2 向量组的线性相关性的定义3.2.1 线性组合与线性表示设A:司包,am是一向量组表达式k1a1k2a2kmam称为向量组A的一个线性组合 其中匕k2,km是一组实数称为这个线性组合的系数如果向量b是向量组A的线性组合b1al2a2mam那么称向量b能由向量组A线性表示例如，任一 n维向量，都可以由n维基向量线性表示.例 1. 设向量组 61,0, 1 T,b21,1,1 T,b33,1, 1 T ,b4531 T，试判断 b4 是否可由匕口2口3线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式TT k1k2 3k3,k 2
6、k3, k1 k2k3解 设一组数 k1k2,k3,使 b4k1blk2b2k3b3,即有5,3,1k1k2 3k35,k2 k3 3,k1 k2 k3 1.该方程组的一个解为k1 2,k2 3K 0.于是b4 2bl 3b2,即b,由”上2凤 线性表示.定理1向量b能由向量组A:a1,a2,am线性表示的充分必要条件是矩阵 A (4色,am)与矩阵B (4启2,am,b)的秩相等即R(A) R(B)3.2.2 向量组线性相关的定义定义1向量组A: a1,a2,am(m 2)线性相关在向量组A中至少有一个向量能由其余m 1个向量线性表示.定义2给定向量组A:2包,am , m个数 1k2,km
7、,构造Ka k2a2 kmam 0, *如果存在不全为零的数ki,k2,km,使*式成立，称向量组A是线性相关的 否那么称它 线性无关.这两个定义是等价的.证明如下：如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m 1个向量线性表示即有1, 2,'，m 1,使 am1a12a2" " " m 1am 1,于是iai2a2 m 1am 1 ( 1)am 。.因为1不全为0所以向量组A线性相关反过来，如果向量组A线性相关，那么有卜向k2a2 'am 0,)(k2 a2kmam),其中k1,k2,km不全为0不妨设k10于是a1(九 即a1能由a2，,a
8、m线性表示 例2判断向量组1 (2, 1,3,1), 2 (4, 2,5,4), 3 (2, 1,4, 1)是否线性相关.解：可取1, 2, 3为未知数，建立以下方程式1 12 2330,看它是否有1, 2, 3的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为以 下方程组2 14 2 2 30,12230,3 15 2 4 3 0,14 230.前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故 1, 2, 3线性相关.特别的一组解，可取为(1, 2, 3) (3, 1, 1),即 3 123 0 或 3 3 12.定
9、理2向量组a1,a2,am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A (a1,a2,am)的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充分必要条件是 R(A) m这是因为向量组A: a1,a2,am线性相关“为 x?a2xmam 0即Ax 0有非零解R(A) m.向量组a1,a2,am线性无关R(a1,a2,am)m.例3证明n维单位坐标向量组e,(1,0，,0)T,e2 (0,1，,0)T,en(0,0，,1)T线性无关.证明 我们直接利用定义证明.如果存在一组数"k2,kn,使得Ke k?e2 knen 0,根据向量线性运算的定义可以得到(ki(,心)丁(0,0，,0)从而kik2kn0.
10、所以ee,en是线性无关的.另证 我们利用定理，设向量组e,e2,en构成的矩阵为I e,e2,en), I是n阶单位矩阵. 显然有R(I) n,即R(I)等于向量组中向量的个数，所以由定理 2知向量组I是线性无关的. 例4向量a, (1,1,1)T,a2 (0,2,5)T,a3 (2,4,7)T讨论向量组 日牝a 及向量组ai,a2的线性 相关性.解 对矩阵(8启2启3)施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵(8启2启3)及(a1,a2)的秩，再利用定理 2就可以得出结论.易知R(a1,a2,a3)2 3,向量组8包包线性相关；1为皿)2,向量组为包线性无关.4 .向量组线性
11、相关性的性质1含零向量的向量组必线性相关线性无关的向量组中一定不含零向量.2一个向量线性相关0.一个向量线性无关0.(3)两个非零向量1, 2线性相关1 k 2.两个向量1, 2线性无关它们不成比例.(4)向量组有一局部线性相关，那么全体线性相关.向量组全体线性无关，那么每一局部线性无关.假设向量组A: a1,a2,am线性相关那么向量组B:日仇,am,am 1也线性相关反之假设向量组B线性无关那么向量组A也线性无关结论可表达为一个向量组假设有线性相关的局部组那么该向量组线性相关一个向量组假设线性无关那么它的任何局部组都线性无关性质4说明：这是因为 记 A (a1,a2，,am)B (a1,a
12、2，,am,am 1) 有 R(B)R(A) 1.假设向量组A线性相关那么有R(A)m ,从而R(B) R(A) 1 m 1.因此向量组B线性相关 (5)个数大于维数时，必线性相关.个数等于维数时，看行列式.m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数 m时一定线性相关特别地n 1个n维向量一定线性相关这是因为m个n维向量a1,a2，,am构成矩阵An m (a1,a2，,am),有R(A)n.假设n m那么R(A) n m,故m个向量a1,a2，,am线性相关(6)设向量组人：现包，,am线性无关而向量组B:a包,am, b线性相关那么向量b必能由向量组A线性表示且表示式是唯一的这是因为记
13、 A (a1,a2，,am)B (a1,a2，,am,b)有 m R(A) R(B) m 1,即有R(B) R(A) m.因此方程组有唯一解(a1,a2，,am)x b 即向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一5 .向量组线性相关性的判定方法5.1 定义法给定向量组A: &岛e3,am,如果存在不全为零的数KR,国,km,使得 k冏 k2a2kmam 0成立，那么称向量组A是线性相关的.否那么，如果不存在不全为 零的数Kkk,1,使得Ka k2a2 'am 0成立，也就是说，只有当Kkh,，km全 部为0时，k1al k2a2kmam 0才成立，那么称向量组 A是线性无关的.
14、例5设向量组a12e3线性无关，判断向量组4a1 a2, b2 a2 a3,0 a3 a1的线性相关 性. 解设一组数匕*2*3,使kg k2b2 k3b3 0,那么有kga?)k2(a2 a3)k3(a3 a1)0,(kik3)a1 (kik2)a2(k2k3)a30.因为向量组ai,a2,a3线性无关，所以ki k30,k1 k20,k2 k3 0.该方程组的系数行列式 D 2 0,故方程组只有零解ki k2 k3 0,所以向量组h也上线 性无关.例6判断向量组匕1,0, 1 T,b21,1,1 T,b33,1, 1 T,b4531 T的线性相关性.解 设一组数 ki,k2, k3,k4,
15、使k1blk2b2 k3b3 k4b40,比拟上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组k1 k2 3k3 5k4 0,k2k3 3k40,k1 k2 k3 k4 0.该方程组的一个非零解为k1 2,k2 3,k3 0,k41,故向量组卜力2也由4线性相关.5.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定定理3向量组A：a,a2,a3,am线性相关的充要条件是向量组 A中至少有一个向量可以由 其余m 1个向量线性表示.定理4 向量组a1,a2,am线性无关，而入色,am, 线性相关可由a1,a2,am线性表示且表达方式唯一.定理5假设向量组,am有一局部向量组线性相关 向量组司0,am线性相关.与
16、此等价的一个说法为：向量组 劣e2,am线性无关 向量组&12,am的任一局部向量组 线性无关.例71, 2, 3线性无关，2, 3, 4线性相关，问：14能否由1，2, 3线性表示？2 1能否由2, 3, 4线性表示？解 1由1, 2, 3线性无关2, 3线性无关，又由2, 3, 4线性相关4能由2, 3线性表示且表达方式唯一，所以存在数k2,k3使得 4 k2 2k3 34 0 1 k22k3 3，故 4 能由 1, 2, 3 线性表示.2反证法.假设1能由2, 3, 4表示，那么存在数1, 2, 3 ,使得 11 22 33 4,又由14能由2, 3线性表示，所以1能由2, 3线
17、性表示，所以1, 2, 3线性相关，与矛盾，故1不能由2, 3, 4线性表示.5.3 利用向量组的秩进展判定向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.设向量组为1, 2，m,其秩记为R( 1, 2，m),由极大无关组的定义和秩的定义可得：假设向量组的秩等于向量的个数，那么该向量组是线性无关的；假设向量组的秩小于向量的个数，那 么该向量组是线性相关的.例8判断向量组 1 (2,2, 1,1,4)T, 2 (2, 1,2,0,3)T, 3 ( 1,2,2, 4,2)T的线性相关性.解构造3 5矩阵并作初等行变换可见rankA 3,故1，2, 3线性无关.5.4 利用反证法进展判定在有些
18、题目中，直接证明结论有时候比拟困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与 条件或定义、定理、公理相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，那么结论成立例9设向量组1, 2，m中任一向量i不是它前面i 1个向量的线性组合，且i 0,证明向量组1, 2，m线性无关.证明反证法假设向量组1, 2，m线性相关，那么存在不全为零的数1*2,匕使得：k1 1 k2 2 km m 。，由此可知 0 ,由上式可得即m可以由它前面m 1个向量线性表示，这与题设矛盾，因此 km 0,于是(1)式转化为 k1 1 k2 2 km 1 m 1 0 .类似于上面的证明可得km1 km2k2 0,式转化为k-0.但1 0,所以
19、匕0这 与"k2,。不全为零的假设相矛盾，因此向量组线性无关.例10设A为n阶矩阵，为n维列向量，假设A 0 ,但A2 0.证明：向量组,A线性无关.证明：用反证法.假设向量组，A线性相关，由于A 0,从而 0,那么A可由 线性表出，设 为A k (k 0)否那么 0,于是A2 A(A ) A(k ) kA k2 0 ,这与A2 0矛 盾，因此向量组,A线性无关.例11设1, 2，n是一组n维向量，单位坐标向量1, 2,，n可被它们线性表出，证明：1, 2，n线性无关.证明：法1 反证法假设1, 2，n线性相关，那么至少有一 i可由其他j线性表示 不妨设n可由1, 2，n 1线性表示
20、.由题设，1, 2，n可由1, 2，n线性表示， 从而可由1, 2，n1线性表示，而任一 n维向量均可由1, 2，n线性表示，因而也可由1, 2，n1线性表示.由此得全体n维向量构成的向量集合Rn的秩小于n,这与Rn的秩等 于n矛盾，故1, 2，n线性无关.法2设1, 2，n的秩为r ,那么r n,而1, 2，n的秩为n.由题设，1, 2，n可由 1, 2，n线性表出，因此n r,故r n.5.5 利用齐次线性方程组的解进展判定在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线 性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进展了判定.对于各分量都给出的向量组1
21、, 2，m,假设以A 1, 2，m为系数矩阵的齐次线性方程组AX 0只有零解向量，那么此向量组 A： 1，2，m是线性相关的.例 12 证明向量组 1 (2,1,0,5)T, 2 (7, 5,4, 1)T, 3 (3, 7,4, 11)T 线性相关.证明：以1, 2, 3为系数向量的齐次线性方程组是Xi 1 X2 2 X3 3 0, 即2x1 7x2 3x3 0x1 5x2 7x3 04x2 4x3 05x1 x2 11x3 0利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯型矩阵，由行阶梯型矩阵可知,R(A) 2 3,即齐次线性方程组有非零解，所以向量组1, 2, 3线性相关.例13 ia
22、，,ain),i 1,2，,n.证明：如果a。0 ,那么1, 2，n线性无关.证明：设k1 1 k2 2kn n 0,得到线性方程组aika21k2an1kn 0ai2kia22k2an2knainkia2nk2annkn由于系数行列式的转置行列式 aij 0,故齐次线性方程组只有零解，从而 i, 2，n线性无关.5.6 利用矩阵的秩进展判定设向量组A: i, 2，m是由m个n维列向量所组成的向量组，那么向量组A的线性相 关性可由向量组A所构成白矩阵A ( i, 2，m)的秩的大小来进展判定.即(D 当R(A) m时，那么向量组A: i, 2，m是线性无关的.(2)当R(A) m时，那么向量组
23、A: i, 2，m是线性相关的.例i4设i(i,i,i)T, 2 (i,2,3)T, 3 (i,3,t)T,问当t为何值时，向量组i, 2, 3线性相关,并将3表示为i和2的线性组合.解：利用矩阵的秩有可见，当t5时，向量组i, 2, 3线性相关，并且有i 0 i0 i 2,所以30 0 0利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进展判定的出发点不同，但实质上是一样的，都 是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的 秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定例 i5 断向量组 i (2,i,3, i), 2 (3, i,2,0), 3 (i,3,4, 2)的线性相关性.解
24、：以i, 2, 3为行向量构成矩阵A,并进展初等行变换化为行阶梯形i 3420i0i0 60553i3420i0i060000那么R(A) 2 3向量的个数，故向量组线性相关例16向量组1, 2, 3, 4线性无关，那么以下线性无关的向量组是(A) 1(B) i (C) i (D) i2,23,32,23,32，23 ,34,414 ,414 ,411.分析 对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法:1定义法 先设k1 1 k2 2ks s 0,然后对其作恒等变形，即用某个矩阵同乘该式，或对该式拆项重新组合等，终究用什么方法应当从条件去寻求信息.通过一次或屡次包等变形
25、来分析k1,k2,ks能够不全为零还是必须全是0,从而得知1, 2，, s是线性相关还是线性无关.2利用矩阵的秩.要论证1, 2，, s线性相关或线性无关，可将其构造成矩阵A，利用rankA s或rankA s来说明.3利用有关结论，特别是等价向量组有一样秩的结论4反证法.2)(3) ( 34)( 41)0，(A)线性相关.(12) ( 23)(4)1) 0，(C)(12) (23)( 34)1) 0，(D)线性相关.由排除法可知应选(B).法2对(B)，设匕(12)k2(3)k3( 34)k4 ( 41)0，拆项重组为(k1k4) 1(k1k2) 2 (k2k3)k4) 403, 4线性无关
26、知kk4kk2k2k3k3 k400， 一, 一0，由于系数行列式011000110001110012,所以方程组只有零解k1 k2 k3 k4 0,从而(B)线性无关用此法可知(A),( C),(D)均线性相关.5.7 利用行列式的值进展判定 假设向量组A: 1, 2，m是由m个n维列向量所组成的向量组，且向量组A所构成的矩阵A ( 1, 2,，m)，即A为m阶方阵，那么(1)当A 0时，那么向量组A ： 1, 2，m是线性相关的.(2)当A 0时，那么向量组A: 1, 2，m是线性无关的.假设向量组A: 1, 2，m的个数m与维数n不同时，那么(1)当m n时，那么向量组A: 1, 2，m
27、是线性相关的.(2)当m n时，转化为上述来进展判定，即选取m个向量组成的m维向量组，假设此m 维向量组是线性相关的，那么添加分量后，得到的向量组也是线性相关的.例 17 1 (1,1,1), 2 (0,2,5), 3 (2,4,7)试讨论 1, 2, 3的线性相关性.证明：令A ( 1, 2, 3)1 0 2那么A 1 2 40,所以1, 2, 3线性相关.1 5 7行列式值的判定实质上是根据克莱姆法那么判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进展判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进展判定例
28、18向量组A: 1, 2, 3是线性无关的，且有b|12,b22 3,b33 1,证明向量组bibh线性无关.证明：设有 x1,x2,x3，使得 x1bl x2a x3b3 0即X1(12)x2(23)x3(31 )0整理为(x1x3)1(x1x2)2(x2x3)30x1 x30因1, 2, 3是线性无关的，所以 x1 x2 0x2 x3 0由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解4X2X30,所以向量组bi，gb3线性无关.例 19 向量组 1 (1,0,2,3),(1,1,3,5), 3 (1, 1,t 2,1), 4 (1,2,4,t 9)线性相关，试求 t的值.分析 对于具体给出的向量
29、组,判断其线性相关与线性无关常采用以下方法:(1)先由定义写出Xi 1X2 2Xs s 0,再根据向量组相当写出齐次线性方程组；假设该齐次线性方程组有非零解即无穷多解，那么向量组线性相关;假设该齐次线性方程组只有零解，那么向量组线性无关(2) 排成矩阵A ( 1, 2，s)列向量时或A.2 行向量时，求A的秩;假设rankA s时，向量组线性相关;假设rankA s时，向量组线性无关.(3)对于n个n维向量，可同上将其排成矩阵A,用A 0是否成立来判断否线性相关.(4)利用线性相关的有关结论，如“局部相关,那么整体相关等来判定1或2.1111011223t 2435191000011221t2
30、322t 61000010021t 10320t 22时,rankA 34,2,3,4线性相关.1111011223t 24351t 9(t 1)(t2)t1或t 2时行列式为0.6结论通过以上讨论，我们了解到向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解.实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了向量组的线性相关的判定，线性无关的 判定也就没有问题了 .由以上可以看出，在熟练地理解和掌握了向量组线性相关的定义、定理的根底上，灵活地应用上述几种方法，证明向量组线性相关与线性无关的难点即可获得 突破.参考文献1王鄂芳，石生明.高等代数M.高等教育,2003.2徐仲，陆全.高等代数M.西
31、北工业大学,2009.3蓝以中.高等代数简明教程M.大学，2002.4肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法J.伊犁师X学院学报自然科学版，32008：58-595罗秀芹，董福安，X铁军，关于向量组的线性相关性的学习探讨J.高等代数研究，92005:18-196杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定J.XX农业大学学报自然科学版，3 20057黄娟霞.关于向量组线性相关性的初步探讨J.XX石油化工学院学报，22012 :68-698董秀明.判断向量组的线性相关性与无关性J考试周刊，332013：57-589牛少彰，X吉佑，线性代数M.:邮电大学，2004.10读XX,高等代数题解精粹M.
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33、 linear algebra, in which on the basis of derivation and derived from our many other theories. So skillfully master the method to determine the linear dependence of vector group, so that we can have a better understanding of other theoretical knowledge. In this paper, the linear relationship between
34、 the homogeneous solution of linear equations, the matrix rank, determinant between vectors in vector value and known conclusions knowledge in vector group by determining the linear correlation, and then sum up some methods of determination of linear vector correlationKey words:Vector group The linear correlation Linear independence Judging method