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1、易读文库近世代数课后习题参考答案第五章扩域1扩域、素域1. 证明：F(S)的一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集是一个域. 证一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集为 、1)若 a,b 送 则一定有 aojb FCh z m)易知 a-b FC'1'2 - n, -1, -2/' , -m 但F(1,2,J 1厶,，F) v从而 b-a、2)若 a,b V ,且 b =0则 -b F12,，F)从而有 abd FC-1-2 : n, -1, -2/' , F)72单扩域1.令E是域F的一个扩域，而 a F证明a是F上的一个代数元，并且F(a) =F证 因a
2、-a=0故a是F上的代数元.其次，因a，F ,故F(a) F 易见 F(a)二 F，从而 F (a)二 F2i +12 令F是有理数域复数i和21在F上的极小多项式各是什么?2i +1i 一1F(i)与F( )是否同构？i 1证易知复数i在F上的极小多项式为1,在F上的极小多项式为x2 - x 52i +12因F(i) =F( ) 故这两个域是同构的.i T2i 1i -13 .详细证明，定理3中 a在域F上的极小多项式是 p(x)证 令山是F(x)中的所有适合条件 f(a)=0的多项式作成f (x)的集 合.1) 山是F(x)的一个理想(i )若 f(x),g(x)：H 则 f (a) =0
3、, g(a) =0因而 f (a) -g(a) = 0 故 f (x) -g(x)山ii )若f(x)山,h(x)是F (x)的任一元那么 h(a)f(a) =0 则 h(x)f (x)山2) 是一个主理想设 p (x)是山中a !的极小多项式那么，对山中任一 f(X)有f (x) =Pi(x)q(x) r(x)这里r(x) =0或r(x)的次数但 f(a)二 Pi(a)q(a) R(x)因 f(a) = 0, pi(a) =0 所以 r(a) = 0若 r(x)=0 则与p1x是a的极小多项式矛盾.故有 f(x) = p1 (x)q(x)因而=(p1(x)(3)因 p(a)=0 故 p(x)
4、 -R (x) p(x)因二者均不可约，所以有 P(X)= am (x)又p(x), pi(x)的最高系数皆为1那么a =1 这样就是p(x) = R (x)4.证明：定理3中的 F(a) = K证 设f K,则在定理3的证明中， K = K'之下有. nnf an x anx a但 a； x, ai Q 故必 f =ann an/n_i a。这就是说k FG ) 因而F(a)二K3代数扩域1令E是域F的一个代数扩域，而 是E上的一个代数元，证明圧是E上的一个代数元证因为：是F上的代数元所以+ +enan又因为E是F的代数扩域，从而FGc，編)是F的代数扩域，再有a是F(e°
5、,e,en)上的代数元，故FCeneJeOua)FG，e,，en,en )的有限扩域，由本节定理1 ,知 FG,q, ,en4,en/)是F的有限扩域，因而是F的代数扩域，从而a是F上的一个代数元.2 令F ,E和L是三个域，并且 F二二E，假定(I : F)而E的元在F上的次数是n,并且(m,n) =1证明：.在I上的次数也是1证设(I ()： I =r因为 I (：)二丨二F由本节定理1 (I (a): F) =rm另一方面，因为(F(g) :F)(I (ot) :F仍由本节定理！ ！即有nrm但由题设知 (m,n)=1 故nr又：在I上的次数是r，因而其在I上的极小多项式的次数是1 :-
6、在I上的次数是n ,因而其在F上的极小多项式的次数是n由于在上的极小多项式能整除 :-在F上的极小多项式所以r岂n因而r = n3 令域！的特征不是2,E是F的扩域，并且(E：F) =4证明存在一个满足条件F I E的E的二次扩域 F的充分与必要条是:(E:F)=4，而在F上的极小多项式是x4 - ax2 b证充分性：由于：在F上的极小多项式为x4 ax2 b故a2 f F 及 a f F2(： 2)因而(F(a2)：F)=1 所以(F(a2)：F)=2由本节定理1知：这就是说，F(a)是一个满足条件的的二次扩域必要性: 由于存在I满足条件F I E且为F的二次扩域即(1: F) =2因此可得
7、(E :1) =2我们容易证明，当 F的特征不是2时，且则而！在！上的极小多项式是!同样 E = I (a)而在x2 - f上的极小多项式是 这样12 二 f , f F,：2 =i,i I那么 i2 二 f,2 2f,ff22所以4 =i222 ：f； '-2= 2fj 2 f1 ff2-2令 a = 一2£ b = f； 一 f22f 同时可知a,b均属于F .工4 - a2 b = 0 由此容易得到E=F(a04.令E是域F的一个有限扩域，那么总存在E的有限个元 :，,：m 使 E 二 F(i，2,：m)证 因为E是F的一个有限扩域，那么把E看成F上是向量空间时， 则有
8、一个基 宀二辽厂一二订显然这时E 二 F(： 1,： 2,： m)5 令F是有理数域，看添加复数于 F所得扩域" 巳=F(23,23i) E2 二 F (23,23wi)证明(F(23) =2,(巳：F) =6证 易知上的极小多项式是!2 2X4 23X22 2?即(F(23):F -3同样23上的极小多项式是 即乍疔(23) =4由此可得(Ei : F) =6,伍：F) =124多项式的分裂域1证明：有理数域 F上多项式x41的分裂域是一个单扩域 F(a)其中a是x41的一个根4 丄2 r 22 i . 2,a3 :2 2 2 2证 X 1的4个根为 12 丄 i2J2 W2ao,
9、a1,a22 222又 a1 = a ； a2 - -a ,a3 _ _a 所以 F(a，a，a2,a3)= F(a)2 令F是有理数域，x3 - a是F上一个不可约多项式，而 a是x3 - a的一个根，证明F(a)不是x3 - a在F上的分裂域.证 由于a是x3a的一个根，则另外两个根是a ；,a ；2，这里；，；2是x2 x 1的根若F (a)是x3 - a的在H上的分裂域那么 a , a < F (a)这样，就是 F F(；)F(a)由3。 3定理！有但(F(；):F)(F (a)F) 此为不可能3.令Pi(x),P2 (x),Pm(x)是域F上m个最高系数为1的不可约多项式， 证
10、明存在F的一个有限扩域F(ai,a2,am)，其中q在F上的极小多 项式是p(x)证 令f (x) = Pi(x),P2 (x)，,Pm(x)由本节定理2 f (a)在F上的分 裂域E存在，根据4.3定理3, 知E是F上的有限扩域，取pi(x)的 根ai则有F F(a, a?, am)E因 E 是F的有限扩域，故FG,a2,am也是F的有限扩域，显然 Pi(x) !是ai在F上的极小多项式.4 令p是一个特征为素数 p的域，F二p(a)是p的一个单扩域，而a是px的多项式xpa的一个根，p(a)是不是xp-a在F上的分裂域？ 证因：是xpa的根故 ap-a=O 即 a=P由于P的特征为素数！所
11、以 xp -a = xp因此pG )是xp - a在P上的分裂域5有限域1.令F是一个含pn个元的有限域，证明，对于n是每一个因数m 0 ,存在并且只存在 F的一个有pm个元的子域L证 因为m是n的因数，所以(pn-1) = (pm-1)mn那么xp -1是xpX的因式，pmpm但xp -x在F中完全分裂，所以xp -x在F中也完全分裂，那么FmF 一个子域L .F中有pm个元的子L中含有xp -x的pm个根，由这pm个根作成pm又因为xp -x在F中的分裂域只有一个，所以只有一个.2 .个有限域一定有比它大的代数扩域.证设F是有q个元的有限域.看 F 上的 f(X)二 xq - x 1因为对
12、F的任一元a, f (a) =1因此，f(x)在F上没有一次因式.这样，f (x)在F上有一个一次数1的不可约因式p(x).作p(x)分裂域E则E二F 而E=F且E是F的代数扩域.3令F是一个有限域，厶是它所含素域，且:是否必须F是的非零元所作成的乘群的一个生成元？证我们的回答是未必.令厶是3元素域 f(x)=x°-x在厶上的分裂域为F，若令f (x)的因 式！的根为i ,则 F 由 0,1,1,i,1 i,1 i,1 i,所组成，/ =1 !故i不是F非零元所作成的乘群的生成元.但 F = . ：(x)。4.令厶是特征为2的素域.：(x)!找出的一切三次不可约多项式.证容易证明32
13、3x x ，1及x x 1是(x)的一切三次不可约多项式.6可离扩域1.令域F的特征是p, f (x)是F上一个不可约多项式，并且f (x)可以写ee -t-成F上xp，但不能写成xp的多项式(e_1)，证明，f(x)的每一个根的重复 度都是pee-!证 由于f (x)可以写成F上xp的多项式，而不是 xp的多项式，e我们以f (x)二g(xp ) = g(y)表示因为 f(x)在F上不可约，所以g(y)也不可约.假定g(y)的次数是m，首系数是1，在它的分裂域中，分裂为 1次因_m_式yi的乘积，即g( y) (y)m ei m因此 f(x) (xp - Ji Te 门e若:1是Xp - -
14、的根，则： p八e-epe那么 xp -= xp - (X -)p所以f (x)有m个互异个根 円,，am，并且它们都是 pe重根.2设域F没有不可离扩域，证明 F的任一代数扩域都没有不可离扩域.证 设E是F的一个代数扩域，:是E的一个不可离元， 那么便是E上一个有重根是不可约多项式 p(x)的根.根据题设:-是F上是可离元，令pi (x)是起极小多项式，则Pi(x)无重根那么 p(x) Pi(x)，因Pi(x)无重根，故p(x)亦无重根， 这与：是E的不可离元的假设矛盾.3.令域F的特征是p而E = F (_：/ :),这里a是 F上次可离元而： 是F上P次非可离元，(E : F)二？证 由
15、本节引理4,是F上的非可离元，否则可以推出一：是F上的可离元，这与：是F上非可离元矛盾， 由于是F上P次非可离元，由本节引理1, !在p在F上的极小多 项式是f (x)二 xpa我们易知p是使Ip在F上为可离元的最小正整数，那么一：！在F(a)上也 -定是 p次非可离元.这样 f (x) = xp -aFG , -)：F(a)故有(F(： , )F(a)二 F(： , J:F(a)= pn4 .找一个域F，使F有一个有限域E而不是E的单扩域.证 取域Fo其特征是P并设x,y是Fo的无关无关未定元.令 F 二 F°(x,y)E 二 F(xpyp1)易知都是f -上不可约的单位元所以E是F的一个有限扩域，并且(E：F)二p2我们说，E不是F的单扩域(若E = F()，则二为xp, yq的有理式，从而二为x, y的有理式，故二的 次数，因此在E上次数乞p与(E : F)二p2矛盾.