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1、v1.0可编辑可修改第十二章轴对称小结昆明市实验中学初二（5 ）班陈璇一、轴对称图形的概念：如果一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部分能完全重合，那么就称这样的图 形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。这时，我们就说这个图形关于这条 直线（或轴）对称。女口：正方形、长方形、圆形一定是轴对称图形；三角形、四边形、梯形不一定是轴 对称图形；平行四边形一定不是轴对称图形。注意：（1） 一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，如正方形有4条对称轴、长方形有2条对称轴、圆形有无数条对称轴、正三角形有3条对称轴、正n边形有n条对称轴。（2）轴对称图形需要注意的重点：一个图形；沿一条直线折叠，对折的
2、两部分能完全 重合（即重合到自身上）。二、轴对称的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就 说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。两个图形中经过翻折之后互相重合的点 叫做对应点，也叫做对称点。注意：（1）两个图形成轴对称和轴对称图形的概念， 前提不一样，前者是两个图形， 后者是一个图形。（2）成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。三、轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的图形是全等形;(2) 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；(3) 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在 对称轴
3、上；(4) 如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这 条直线对称。注意：(1)全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。(2) 性质(4)的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称 图形的主要依据。四、轴对称作(画)图：(1) 画图形的对称轴 观察分析图形，找出轴对称图形的任意一组对称点； 连结对称点； 画出以对称点为端点的线段的垂直平分线。(2) 如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该 图形的对称轴。注意：对于(1)来说，对称点要找准，特别是较复杂的轴对称图形，要认真地观 察、分析，必要时要动手操作实践一下；对于对称
4、轴有两条或两条以上的图形，要从各 个角度找对称点，对于(2)是找一个轴对称图形的对称轴的方法。(3) 画某点关于某直线的对称点的方法 过已知点作已知直线的(对称轴)的垂线，标出垂足； 在这条直线的另一侧从垂足出发截取相等的线段，那个截点就是这点关于该直线 的对称点。(4) 画已知图形关于某直线的对称图形 画出图形的某些点关于这条直线的对称点； 把这些对称点顺次连结起来，就形成了一个符合条件的对称图形。注意：“某些点”是指能确定图形形状和大小及位置的关键点。如果是多边形，“某些点”就是指所有的顶点；如果是线段，“某些点”就是指线段的两个端点；如果是直角，“某些点”就是指角的顶点与角两边上每一边一
5、个任意点，其余类推。五、轴对称和轴对称图形之间的区别与联系：轴对称轴对称图形区指两个图形而言；对一个图形而言；别指两个图形的一种形状与位置关系。指个图形的特殊形状。联都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；系把两个成轴对称的图形看成 个整体，就是'个轴对称图形；反过来，把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。六、轴对称几何图形的对称轴:名称是否是轴对称图形对称轴有几条对称轴的位置线段是2条垂直平分线或线段所在的直线角是1条角平分线所在的直线长方形是2条对边中线所在的直线正方形是4条对边中线所在的直线和对角线所在的直线圆是无数条直径所在的直线平行四边形不是0条七、轴对
6、称变换的概念:由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换八、轴对称变换的有关知识点:规律：对称轴方向、位置发生变化，得到的图形的方向、位置也发生变化；性质：(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线 I对称的图形，这个图形与原 图形的形状、大小完全相同；(2) 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线I的对称点；(3) 连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分；(4) 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看做由另一个图形经过轴对称变 换后得到的；(5) 一个轴对称图形也可以看做以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而 成的。九、线段垂直平分线的概念：(1) 垂直于一条线段，并平分这条线段
7、的直线叫做这条线段的垂直平分线；(2) 线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 十、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。注意：(1) “线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明 两条线段相等；(2)若CD垂直平分线段AE,可得到：AAEC是等腰三角形； CO是AAEC底边AE上的高 和中线，也是顶角ZBCA的平分线； 不仅AC = CB，取CD上任意 一点P都有PA=PBO卜一、线段垂直平分线的性质定理的逆定理:和线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。注意：(1) “和线段两个端点距离相等的点，在这条
8、线段的垂直平分线上。”的作用是：判定一点在线段的垂直平分线上；(2) 等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上；(3) 如果两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是该线段的垂直平分线。十二、三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。注意：(1) “三角形三边的垂直平分线相交于一点， 这个点到三个顶点的距离相等。 的作用是：证明线段相等；(2) 三角形两边的垂直平分线的交点必在第三边的垂直平分线上；(3) 证明三线共点，可先找到两直线交点，再证明第三条直线也过这一点即可；(4) 锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三
9、边垂直 平分线的交点恰是斜边中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部；(5) 此定理给出了作一个点到三个不共线的点距离相等的作图方法，只需顺次连结这三点组成一个三角形，作这个三角形的两边的垂直平分线，交点即为所求。 十三、等腰三角形的概念、性质、判定：概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的两边叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，顶角是直角的等腰 三角形叫做直角等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。性质：(1)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的咼线所在直线是对称轴;(2) 等腰三角
10、形的两底角相等(简写为“等边对等角”)；(3) 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线 合一”)。(4) 等腰三角形的两边相等，即两腰相等。判定：(1)有两边相等的三角形叫做等腰三角形；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么，这两个角所对的边也相等(简称 “等角对等边”)。注意：(1)等腰三角形的判定和性质的关系：等腰三角形的定义既体现了等腰 三角形的性质，也可以作为判定，等腰三角形的性质定理“等边对等角”和等腰三角形 的判定定理“等角对等边”互为逆定理；(2) “等角对等边”在同一三角形内证两条边相等的应用极为广泛，往往 通过计算三角形各角的度数得角相等，则可得边相等
11、；(3) 底角为顶角2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三 角形分成两个等腰三角形。十四、等边三角形的定义、性质、判定：定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形。注意：(1)由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，也就是说等腰 三角形包括等边三角形，因而等边三角形具有等腰三角形的一切性质；(2)等边三角形有三条对称轴，故三边上均有“三线合一”的性质，其 三条中线交于一点，称其为“中心”。性质：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于6 0°, 每一个外角都等于120°。判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;（2）三个角都相等的三角形
12、是等边三角形；（3）有一个内角是6 0°的等腰三角形是等边三角形；（4）任意一腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形。注意：（1）四个判定定理的前提不同，判定（1）和判定（2）是在三角形的条件下，判定（3）和判定（4）是在等腰三角形的条件下；（2）计算出三角形的各个内角的度数都相等（或都为60°），然后根据“等角对等边”可说明一个三角形是等边三角形。十五、含3 0°角的直角三角形的性质：如果在直角三角形中有一个锐角为3 0°,那么3 0°角所对的直角边等于斜边的一半。注意：性质是由等边三角形的性质得出的，它的主要作用是能解决直角三角形中的有关线段长度、线段关系、角的度数等的计算问题，特别在以后的学习中应用更广泛。-7 - 7 -