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1、第六章非线性方程的数值解法习题解答填空题:1.求方程X f (x)根的牛顿迭代格式是Ans: xn iXnX f(Xn)1 f (Xn)2.求解方程r. i .在(1,2)内根的下列迭代法中,收敛的迭代法是(A)A. (1)和(2)B. (2)和C.和(4)D.和(1)3.若 f(a)f(b)0，则 f(x) 0 在(a,b)内一定有根。()4 用二分法求方程f (x)X3 X 10在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为进行两步后根的所在区间为(答案,1,)计算题:1、已知方程X3 X2 10在x 1.5附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式:X 1 丄：X首 1:X -七试判断以上
2、三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。解：令11(x) 1 2，x则 1(x)令2(X)31 X2 ，则2(x)23，X2x(1 X2) 331(1.5)2荷05926 1，故迭代收敛;2(1.5)0.45581，故迭代收敛;令3(X)Jr则3(X)12 (x 1)3 '3(1.5)1.41421，故迭代发散。以上三中以第二种迭代格式较好。2、设方程f(x) 0有根，且0m f (x) M。试证明由迭代格式 Xk 1 Xkf (Xk )2(k 0,1,2丄)产生的迭代序列Xk k 0对任意的初值X0 (,)，当0时，均收敛于方程的根。(x) 1m ，进而可知,证明：设 (x)
3、 xf(x)，贝y '(x) 1 f'(x)，故 1 M, 2当0时，1(x)1，即 (x)1，从而由压缩映像定理可知结论成立。3、试分别用Newton法和割线法求以下方程的根x cosx 0 取初值X。0.5, X!，比较计算结果。4解：Newton 法：x10.75522242x2 =0.73914166x3 =0.73908513 ；割线法：x20.73638414x3 =0.73905814x4 =0.73908515x5=0.73908513 ；比较可知Newton法比割线法收敛速度稍快。4. 已知一兀方程x 3x 1.2 0 01) 求方程的一个含正根的区间；2)
4、给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性);3) 给出在有根区间的Newton迭代法公式解:( 1) f (0)1.20, f (2)1.80 又 f (x)连续故在(0,2)内有一个正根2Xv3x1.2,(x)(3x1.2) , maxX (0,2)(X)-23Xn 3X1.2f (x)3x3 Xn1Xn23Xn 3121.2'1, xn 13 3xn 1.2收敛5、用二分法求方程f (x)6 为求方程x x 10在X。1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式4)5)6)x 1 °，迭代公式xk1 1 1x2；x 1 x ,迭代公式2 1x
5、2迭代公式x 1xk 12Xk ；1Xk 1.试分析每种迭代公式的收敛性。解.Q 1.41.410.2160 1.51.510.1250为有根区间)x 1 1/X2(x) 1 1/X2'(x)迭代公式Xk 11 1/X：收敛。21.430.73 12)x3 1 x2(X)31 X2'(X)迭代公式xk311 X：收敛。2 2 13)x(X)1(X)X 1X 1迭代公式xk111发散。Xk11 (1 X2) 3 2x33；(x 1)2(17、已知x在区间b内只有一根,而当时,何将x化为适于迭代的形式?化为适于迭代的形式,并求根。解:由反函数微分法则有-1(X)故当(x) k将 X
6、 (x)则迭代法是收敛的。对 X tgx用搜索法知在 4.8、能形式1时，有1(X)1(X)1'(X)45,4.501(x)Xk解的(1:arctgx内有根，取能用迭代法求解下列方程，如果不能时,(2)X0Xk4.45试将方程改1 53. /(1 何1)(Xk)迭代1.4 10.63 1(x) k 1,试问如(弧度)附近的(k 0,1 ,L )arctgx k(5)X( 54.49341。成能用迭代法求解：对所有的(x)sin x cosx4故能用迭代法求根(2)1, 2方程为o故有根区间(x)(x)X2 In 22ln.36829，故不能用将原方程改写为X)时,故可用迭代公式来求解用
7、牛顿（切线）:晶是f(x)0的正:Xn 1XrXn，取Xo=,列表如0.给定方程f(x)(x 1)ex1lr 2Xk 1丄值。12 In 2ln(4XkIn 2Xo = ,计算f (x12lr保留五位小数。2x，牛顿迭代公式为xn223n 50,1,2,)1）分析该方程存在几个根；2）用迭代法求出这些根，精确到 5位有效数字；3）说明所用的迭代格式是收敛的。x解: 1）将方程（x 1）e 10（ 1）改写为xx 1 e（ 2）作函数f1（x） x 1，f2（x） e的图形（略）知（2）有唯一根X （1,2）x2）将方程（2）改写为x 1 eXk 11 e k构造迭代格式Xo1 5（k 0,1,2,）计算结果列表如下：k123456789Xk3)(x)1 ex，(x) e x当 x 1,2时，(x)(2), (1)1,2，且1(x)| e11所以迭代格式xk 1(xk)(k 0,1,2,)对任意 xo1，2均收敛