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1、南京商业学校教案授课日期2015年 月 日第周时数课型新课课题§ 17.3复数的几何意义和二角形式教案目标知识目标：了解复平面的概念；掌握复数的几何表示和向量表示； 理解复数的模、辐角及辐角主值的概念；掌握复数的 三角形式及其特征。能力目标：会在复平间内描出表示复数的点及向量；会求复数的 模和辐角、和辐角主值（特殊角）；会进行复数的三 角形式与代数形式的互化。情感目标：培养学生数形结合的数学思想和辩证唯物主义思想。教案重点用复平面上的点、向量和三角形式表示复数；复数的模和辐角、 辐角主值的概念。教案难点复数几何表示法的理解；复数几种表示形式的互化；复数辐角 的求法。教案资源课本，教案
2、参考书，学习指导书，网络教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。学情分析（含更新、补 充、删节内容）复数的几何表示和向量表示是复数的两种常见形式， 复数的向量 表示学生不易理解的，教案时要充分揭示复数与向量之间的关 系，并借助向量进一步加强学生对复数的理解。板书设计17.3复数的几何意义和二角形式1 .复平间例1例32 .复数的几何表示3 .复数的向量表示例24 .复数的三角形式教后记一、引入新课根据复数的定义，复数表示为z=a+bi （a,bw R）的形式，我 们把这种形式叫做复数的代数形式，复数还有其他表现形式吗？ 这些表示形式之间有什么关系？ 二、讲授新课1 .
3、复平面在平面上建立直角坐标系xOy ,横轴、纵轴上的坐标分别表 示复数的实部和虚部，这样的平面叫做复平面，其中横轴叫做实 轴，纵轴叫做虚轴。2 .复数的几何表示有序实数对（a，b）与直角坐标系内的点一一对应的，由复数 代数形式z = a+bi可以知道，任何一个复数z = a + bi （a,bw R）, 都可以有一个有序的实数对（a，b）唯一确定，即复数 图1z = a+bi与有序实数对（a，b）之间一一对应。由此可知，复数 z = a+bi与复平面内的点Z（a，b）之间是一一对应的（如图1所 示），即任何复数z = a+bi都可以用复平面内的点 Z（a，b）来表 示。我们把这种表示形式叫做复
4、数的几何表示。学生思考并回答想一想：实数、纯虚数、虚数表示的点分别在复平面的什么位置？ （复平面内，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚 轴上，表示非纯虚数的点分别在四个象限内.）3 .复数的向量表小 直角坐标系内的点Z （a，b）与始点在原点的亚封OZ =（a，b） 是一一对应的，因此，复数z = a+bi也与向量OZ =（a，b）一对 应，其中复数0对应零向量，代何复数z = a+bi可以表示为复平 面内以原点O为起点的向量OZ ,我们把这种表示像是叫做复数 的向量表小法。图2学生思考并回答解：（1）1 i = 12 12 =.2师生共同完成把复数z=a+bi表示为向量OZ = （
5、a,b）,那么把向量 灾的 模（长度）叫做复数z = a + H的愧M作lz2由图2容易得到，a+bi =4a ",特别地，b =。时，a + H 是实数，它的模就等于lao复数的模有以下性质：复数的模是一个非负实数，理zl之0;互为共腕复数的两个复数的模相等，即 H =z。必须注意，两个不全是实数的复数不能比较大小，但是它们 的模可以比较大小。以x轴的正半轴为始边，向色平所在的射线为终边的角称为 复数a+bi的辐角，它表示向量OZ的方向，复数0的辐角是任意 的。一个不等于零的复数a+bi的辐角不唯一，这些值相差2n的 整数倍，即若6是复数z的一个辐角，那么2丘+8 （kwZ）也是
6、复数z的辐角，我们把复数在0,2n）内的辐角叫做辐角的主值，记 作 argz。想一想：实数、纯虚数的三角形式分别是什么？由图2可知，复数z = a+bi （a=。）的辐角主值8 = argz所在 的象限与复数z=a+bi相对应的点Z（a,b）所在的象限相同，并且tan 口 = b a。例1求下列复数的模和辐角主值（1） 1 i.3-i点（1,1 ）在第一象限。所以日=arg （1 +i）=（2）"i| =，（Q2 +（7）2 =2tan 8 = -A=厂学生讨论并回答有、''3，点（"3, -1）在第四象限，所以, c .、 c 二 11 二a arg (3
7、3 i) =2兀一66想一想：怎样求复数z = 3-4i的辐角？4.复数的三角形式如图2所示，设复数a +bi的模为r ,辐角为0 ,则'a = r cos0 =1b = r sinH于是 a + bi = r cos6 + ir sin H = r (cosQ + i sin 9)学生讨论并回答复数的三角形式 有三个特征：模 r之0。括号内 的实部是余弦，虚 部是正弦，且是同 一个辐角值 0的 正弦和余弦 三个特征中只要 有一个不满足，则 表达式就不是复 数的三角形式。我们把复数的表示形式z = r(cosB+isin称为复数的三角 形式，这种表示形式是用复数的模和辐角来表示复数，复
8、数z = 0的三角形式仍然是z=0想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形 式吗？(1)i sin 6 +cosH(2) 2 cos( - 30» +i sin (-30 ) I5(cos +i sin -)(366复数的代数形式和三角形式之间可以相互转化，把复数的代 数形式转化为三角形式时，通常取日为复数的辐角主值。例2把下列复数转化为代数形式5二. . 5二、4(cos十i sin -)(1)66(2)、2 cos( -45°) isin(-45°)1师生共同完成例2和例3,5二 5二、3 14 (cos+isin) 4 父(十 i)= - 2
9、V3+2i解：(1)66 =22(2)<2 cos (- 45°) + i sin (- 45°)一"22 2 i - 1 -i例3把下列复数转化为三角形式(1) -1 ; (2) 2i ;(3)“3T解：(1) r =d(-1 +0 =1,辐角主值为 8=arg(-0 =n ,所以-1=cos 二 i sin 二3T22arg 12i =(2) r =逸+2 =2辐角主值为日=八'2 ,所以2 (cos + i sin )学生讨论并回答2i =222 ,入2八匕恒=1 二 一 f(3) r=W3 +(1 =2 ,由 V33 和点教师引导学生总 结复
10、数的代数形 式化为三角形式 的方法步骤学生练习教师讲评学生总结教师补充Q.T在第四象限，得11 二a = arg (V3 i) = 2n66/ 11 二11 二、r-2(cos+i sin )所以 "'3-i=66想一想：怎样把复数z = 3 + 4i表示成三角形式？复数的代数形式z = a + bi化为复数的三角形式一般方法步骤是：b2 .2tan?求复数的模：r=4a +b ;由 a及点(a,b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可)；写出复数的三角形式。三、课堂练习课本P64练习1、2四、课堂小结1、复数与复平面内的点及向量一一对应；2、复数的模、辐角及辐角主值；3、复数三角形式的三个特征及复数的代数形式化为三角形式一般方法步骤。五、布置作业课本P68练习1、2、3、4