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1、圆锥曲线习题一一双曲线1.如果双曲线X2=1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是(B)2.6(C) 2. 6(D) 2 32.已知双曲线C：1（a >0, b> 0）,以C的右焦点为圆心且与 C的渐近线相切的圆的半径是(A) a(B) b(C)、ab(D)a2b223.以双曲线X9A.2 X2y10xC.2 X2y10x4.以双曲线2 XA.2 X2 y4xC.2 X2 y4x25.若双曲线X2y216161的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（B. X22D.Xy210x 1602y 10x 902的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（B. X
2、2D. X2(a>0, b>0)y2 4x 302y 4x 503a上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准2线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（）A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+)6.若双曲线2X2 a2 y b21的两个焦点到一条准线的距离之比为3: 2那么则双曲线的离心率是（)(A) 3(B)5(C) , 3(D) . 57.过双曲线2Xa2 y b21(a0,b0）的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的uur 1 uuir两条渐近线的交点分别为blB,C 若AB 1 BC，则双曲线的离心率是 ()2 .32X8.已知双曲线21(b0)的左、
3、右焦点分别是Fi、F2，其一条渐近线方程为点PC 3, yo)在双曲线上umr ujm.则 PF1 PF2 =(A. -12B. -2C. 0D. 49.10.11.填空题2 2过双曲线工!_916线与双曲线交于点2x已知双曲线a线上存在一点2X过双曲线a1的右顶点为A,右焦点为F。过点B,则 AFB的面积为F平行双曲线的一条渐近线的直2与 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1( c,0), F2(c,0)，若双曲bsin PF F aP使，则该双曲线的离心率的取值范围是sin PF2F-ic占 1(a0, b 0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于bM , N两点，以MN为直径的
4、圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为X 2 y 212. 已知点P在双曲线1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到双169曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P点的横坐标是 2 2X y13. 已知F1,F2是双曲线1的两个焦点，PQ是过点F1的弦，且PQ的倾斜角169为，那么I PF2 | |QF2 | PQ |的值是14. 已知B( 6,0), C(6,0)是VABC的两个顶点，内角 A,B,C满足1sin B sin Csin A，则顶点 A的轨迹方程是2|FP|FQ| 的值为.2 216.已知P是双曲线 笃 占1上除顶点外任意一点，RE为左右焦点，C为半焦距,a bVPF1F
5、2内切圆与F1F2切于点M，则|FiM | IF2M |的值为三、解答题17.如图，在以点0为圆心，|AB| 4为直径的半圆 ADB中，OD AB，P是半圆弧上一点， POB 30，曲线C是满足|MA | |MB |为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P .(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(n)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点 E、F .若厶OEF的面积不小于2 J2，求直线I斜率的取值范围.18.双曲线的中心为原点0 ,焦点在x轴上，两条渐近线分别为h, 12，经过右焦点F垂直uuu于h的直线分别交h, 12于A, B两点.已知OA、uuuABuuuOB成等差数列,uu
6、ur uuu 且BF与FA同向.(I)求双曲线的离心率；(n)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.19.已知双曲线x2 y22的左、右焦点分别为 F1, F2，过点F?的动直线与双曲线相交于A, B两点.luuiT HIT uJLT Ulir(I )若动点M满足FMF1A F1B fO (其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程；(II )在x轴上是否存在定点C,使CA CB为常数？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由.220.已知双曲线C的方程为爲a2x21(a0,b0)，离心率b2(1 )求双曲线C的方程;(2)如图，P是双曲线C上一点，A B两点在双曲线 C的两条渐
7、近线上，且分别位于第一、二象限，若UJUULU1AP PB, -,2，求 AOB面积的取值范围3双曲线习题解答题详细答案选择题：1. A2. B3. A4. B5. B6. D7. C8. C填空题:|FP | |FQ|2|F,M | | F2M | b2如图，在以点O为圆心,I abi4为直径的半圆ADB中，OD AB , P是半圆弧上一点,POB 30，曲线C是满足|MA | MB |为定值的动点 M的轨迹，且曲线e弓，顶点到渐近线的距C过点P.(i)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(n)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点 E、F .若厶OEF的面积不小于142，求直线I斜
8、率的取值范围.解：(I)以0为原点，AB 0D所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系， 则A( -2 ,0), B(2, 0), D(0,2), P(/3l )，依题意得I MAI - I MBI = I PAI - I PB| = (2 . 3)2 12 . (23)2 12 = 2、2 <1 AB|= 4.曲线C是以原点为中心，A B为焦点的双曲线.设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则 c= 2, 2a= 2 2 , a2=2, b2=c2- a2=2.曲线C的方程为2y-1.2MA| - I MB| = I PA | - I PB | <解法2:同解法1建立平面
9、直角坐标系，则依题意可得II AB|= 4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为2x2 a2y71(a >o, b>0)b2Q'3)211 2 2解得a =b =2,则由2 ab22 .2a b422曲线C的方程为xy 1.222x -4 kx- 6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,21-k20k 1(4k)24 6(1 k2)0V3k73 k ( - 3-1)u( -1 , 1)u( 1 , ,3).4k6设 E (x, y), F(X2,y2)，则由式得 X1+X2= ,%x21 k1 k|EF|=.(为 X2)2 (y1 X2)2.
10、 (1 k2)(X1 X2)2k2.(X1 X2)2 4x1X2223 k21 k2而原点O到直线I的距离d= 一2一 ,2 Sa de=d2EF1 2k 2 2.2 . 3 k22 2.3 k22 ：1一k21 k21 k2若厶OEF面积不小于2.2,即Saoef2 2，则有2.2 .3 k21 k2k4 k220,解得 2 k 2.综合、知，直线l的斜率的取值范围为卜.2 , -1 U (1-,1) U (1,. 2 ).解法2：依题意，可设直线l的方程为2 2得(1- K) x -4 kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点1- k202 2(4k)4 6(1 k )0y= kx+
11、2，代入双曲线 C的方程并整理,E、F,k 1. k (-._ 3 , -1 )U( -1 , 1 )U( 1, 3 )设E(X1,y1), F( X2, y2),则由式得I X 仁 X2 | = (x1x2 )2 4x1 x22 2 3 k21 k2当E、F在同一去上时（如图1所示），SL oef=2od ix1当E、F在不同支上时（如图 2所示）.S ODF S ODES OEF S ODFSlod=1|OD (x121综上得Sloef= OD2由| OD = 2及式,若厶OEF®积不小于2 2 3 k2k22.2综合、知，直线Xix2,于是X2X2)1 “OD x1 x2 ;2
12、1 “OD x1 x2 .2得 Sloe=2 2 3 k2k22,2,即 Soef 2 2 则有k4 k20,解得 2 k -.2.的斜率的取值范围为-、2 , -1 U1)U( 1,2 ).18.(i)设 OA mAB m, OB由勾股定理可得:(m d)2m2 (md)21得：d m,4tan AOFAOBtan2AOFABOA由倍角公式2ba21 ba4解得3J2（n）过F直线方程为b(xc）,与双曲线方程2X2 ay2b71联立将a 2b , c .5b代入，化简有1528、52 XX21将数值代入，有4,解得b32 丘 2 428b21552 2故所求的双曲线方程为x y36919.
13、解：由条件知Fi(2,0),F2(2,0)，设 AX,yi),Bgy?)(I)解法一：(I )设 M (x, y)，uuur则 FM (x 2,uuury) , FiA(xi 2，yi)，umrFiBuuur区 2, y2),FO(2,0)，luiur FMuuur umr FiA FiBumrFO2Xi X2 6,即% x24,Yi Y2YiY2ab的中点坐标为当AB不与x轴垂直时,Yi丫2X-!X2y2口 22Yx 8即Yiy2止(Xi X2)-又因为A, B两点在双曲线上，所以2 2Xiyi2 , x；2y22，两式相减得(% X2)(xi X2) (yi y2)(yi y?)，即(X2
14、)(X4)(yi y2)y -将y-i y2 Y (x-i x2)代入上式，化简得(x 6)2x 8当AB与x轴垂直时，Xi X2 2，求得M (8,0)，也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是(x 6)2y2 4 .解法二：同解法一的(I )有XiYix2x 4,Y2Y当AB不与x轴垂直时，设直线 AB的方程是y k(x 2)(k i).代入 x2 y22 有(i k2)x2 4k2x (4k22)0 .则Xi, X2是上述方程的两个实根，所以x1x24k2k2 1yi y2 k(xiX2 4) k 竺 4k 14kk2 1由得4出k2 14ky厂当k 0时,0，由得,x 4k，将其代入有y4
15、y宀(X 4)12 Iy4y(x 4)2 2 (X 4) y整理得(x 6)2 y24 .当k 0时，点M的坐标为(4,0)，满足上述方程.当AB与x轴垂直时,X-Ix22，求得M (8,0)，也满足上述方程.故点M的轨迹方程是(x 6)2y2 4 .uur uju(II )假设在x轴上存在定点C(m,0)，使CAgCB为常数.1) 当AB不与x轴垂直时，设直线 AB的方程是y k(x 2)(k代入 x2 y22 有(1 k2)x2 4k2x (4k22)0 .则Xi, X2是上述方程的两个实根，所以X1x24k2k2 1,x1x24k22k21 'jjj jjj22)于是 CAgCB
16、 (x1 m)(x2 m) k (为 2)(x2(k21)xiX2(2 k2m)(xi X2)4k2 m22 2(k 1)(4k2)4k2 m22 24k (2k m)k212(1 2m)k22k2 1m22(1 2m)4 4m22 m k2 1uur ujuurn uur因为CAgCB是与k无关的常数，所以4 4m 0,即m 1,此时CAgCB= 1.当AB与x轴垂直时，点 A, B的坐标可分别设为（2, 2） , （2,2）,jjj jjj此时 CAgCB （1,.2）g1,2）1 .uur jjj故在x轴上存在定点C（1,0），使CAgCB为常数.0的距离为20. （I）由题意知，双曲线
17、 C的顶点（0, a）到渐近线ax by25ab所以_巴'/a2bab由-a2 cJ552a2b21.5x22所以曲线C的方程是4（n）设直线AB的方程为kxm,由题意知|k2, m 0kx2xm得A点的坐标为（kx2xm得B点的坐标为（2mk，jujAPjitm 1PB,得p点的坐标为（厂（和2m12 2将p点的坐标代入21得丹C)2设Q为直线AB与y轴的交点，贝U Q点的坐标为（0, m）S AOB = S AOQ S BOQ2_k 2 k1 1 12 OQgXA 2°QgxB -m(XA Xb)1 m m 1 4m22m(和和)罗口2(丄)12第三部分：椭圆、双曲线、抛
18、物线一.选择题(1)若抛物线()A 4 B 82y =2px (p<0)上横坐标为-6的点到焦点的距离是10,则焦点到准线的距离是C 16D 32中心在原点，准线方程为x=± 4,离心率为1-的椭圆方程为(22xA 42cX_42+y =1x2若方程x2+ky2=2表示焦点在A (0, +) B (0, 2) C (1, +2如果双曲线22 y+ =14y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()g) D (0, 1)13)2仝=1上一点P到右焦点的距离等于12、13，那么点P到右准线的距离135_13若双曲线2 yb21的一条准线与抛物线8x的准线重合，则双曲线的离心率为A ,2
19、B2 若椭圆务 a5:2、. 22L 1b2(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线段PF2被抛物线y2=2bx的焦点分成a 1617(7)以椭圆的右焦点MF(F1为椭圆左焦点3-1 B 2-(8)设 A(x1,y 1), B(x3两段，则此椭圆的离心率为4 17 厂 4175F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于点 M N, )是圆F2的切线，则椭圆的离心率22y =2px(p>0).3 C2,y 2)是抛物线-4p 2 B 4p已知F1, F 2是双曲线的两个焦点的垂线，垂足为P,则点P的轨迹是(A(9)25上的两点-2p2,Q是双曲线上任意一点)D 2
20、p若直线2并且满足 OAL 0B则y1 y2等于(),从某一焦点引/ RQF平分线A直线 B圆 C椭圆 D 双曲线2 2(10) 椭圆L 乙 1上有n个不同的点：P 1, P2,P n,椭圆的右焦点为F.数列|PnF| 43是公差大于丄的等差数列，则n的最大值是()100A 198 B 199 C 200 D 201丄x，则双曲线的离心率2二.填空题(11) 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为ye .2 2(12) 设中心在原点的椭圆与双曲线2 x-2y =1有公共的焦点，且它们的离心互为倒数，则该椭圆的方程是2 2(13) F1、F2是椭圆C: 止=1的焦点，在C上满足PR丄PF2的点P的
21、个数为 .842(14) 椭圆x2+爲=1(0<a<1)上离顶点A(0, a)距离最远的点恰好是另一个顶点A' (0, - a),a则a的取值范围是三.解答题x2y2(15) 双曲线 牙1 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直 ab4 一线I的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s > c.求双曲线的离心率e的取值范围.51 2(16) 已知抛物线 C: y=- x+6，点P (2, 4 )、A、B在抛物线上，且直线PA PB的倾斜角2互补(I )证明:直线AB的斜率为定值;(II )当直线AB在y轴上的截
22、距为正数时，求厶PAB面积的最大值及此时直线AB的方程2x(17)如图椭圆a2 y b2 左顶点为B, F为右焦点线交椭圆于C、D两点 恰在椭圆上(I )求椭圆的离心率；(n)若平行四边形 OCED勺面积为.6 ,求椭圆方程2(18)设椭圆 + y2=1的两个焦点是Fi(-c,0)与F2(c,0),且椭圆上存在点 P,使得直线PFi与m直线PF2垂直.(I )求实数m的取值范围；QF2(n )设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点Q.若2 43 ,求直线PF2的PF2方程.一选择题：1.B二填空题：11.三解答题(15) 解:直线 l的距离di第三部分：椭圆、双曲线、抛物线参考答案
23、2.A 3.D 4.A的方程为b(a 1),a2b2ab+d2=Va2 b22ab 舟、42ab.由s > c,得 -c5 c5.A 6.D 7.A 8.A 9.B 10.D2X2y21,13. 2,14.bx+ay-ab=O.由点到直线的距离公式.同理得到点(-1,0)到直线I的距离d2,且a>1,得到点(1,0)到直线l b(a 1).s= d1a2 b2> c,即 5a c2 a2 > 2c2.于是得 5 e2 1 522> 2e .即 4e -25e+255W 0.解不等式,得5 W e2w 5.由于e>1>0,所以e的取值范围是4(16) (
24、 I )证：易知点P在抛物线C上，设PA的斜率为k,1代入y=-x2+6并整理得x2+2kx-4(k+1)=0 此时方程应有根222xA=-4(k+1) ,/ XA=-2(k+1)./ yA=k(x A-2)+4.=-k -4k+4.5、5.e2则直线PA的方程是y-4=k(x-2).Xa及2,由韦达定理得：2 A(-2(k+1), -k -4k+4).2+4k+4)由于PA与PB的倾斜角互补，故PB的斜率为-k.同理可得B(-2(-k+1), -k1212n ) / AB 的方程为 y=2x+b, b>0.代入方程 y=- x+6 消去 y 得 x +2x+b-6=0.一 2/ kAB
25、=2.(|AB|=21S= |AB|d=2(1 22)4 2(b 6)1 b 2 .5(16 2b)2 . 52 5(16 2b)64.3.此时方程为9(17)解：(I ) 焦点为F(c, 0), AB斜率为b,故CD方程为y=b(x-c).于椭圆联立后消aa去y得2x2-2cx-b 2=0. / CD的中点为G(c,些)，点E(c,-竺)在椭圆上，将E(c,-竺)2 2aaacJ?代入椭圆方程并整理得2c2=a2, e =.(16 2b) b b . (16 2b b b)316y=2x+.3n)由(i)知cd的方程为y= 2 (x-c), b=c, a= .2 c.与椭圆联立消去 y得2x
26、2-2cx-c 2=0. ：平行四边形 OCED的2面积为5卄加尹(XTXd)24XcXd =2r2c2c c 2c2c2.6,.2c=、. 2 , a=2, b=(18)解:2、2 .故椭圆方程为4m>0, c= . m由题设有2y_12,设点P的坐标为(x 0,y 0),由 PFi丄PF2得y。Xocy。Xoc=-1,化简得2 , 2Xo +y° =m,.将于2Xom 121+ yo2=1 联立,解得 xo2=myo2= 1 .由 m>0,m2.2 m1、xo => 0,得 m> 1.m(n )准线L的方程为x= m_vm 1 m-m1,设点m 1Q的坐标为(x 1,x 2),则X1 =.x-'mQF2PF2x1ccX01 2 彳将Xo=、m 1代入，化简得QF2 =m+mx0m21.由题设QF2PF2=2 - . 3 ,得m+. m2 1 =2- 3 .解之知无解.将X0=-PF2L 2代入m,化简得QF2PF2=m- . m21 .由题设=2- . 3 ,得 m-PF2m21 =2- . 3 .解得 m=2.从而 X0=_ J3 , yV22 ,得 PF2 的方程为 y=± (3 -2)(x-2).