《圆周运动讲解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆周运动讲解.docx（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第六章第五节圆周运动理解领悟物体沿圆周的运动是一种常见的曲线运动，而在圆周运动中，最简单的是匀速圆周运动,了解并掌握圆周运动的有关知识对今后研究日常生产生活的许多实际问题及对天体的运动 规律的研究等方面起到很重要的作用。本节主要学习圆周运动的线速度和角速度等概念。基础级1 .形形色色的圆周运动质点运动的轨迹是圆周的运动，我们称之为圆周运动。 圆周运动是一种常见的运动。正如教材所述：日常生活中，电风扇工作时叶片上的点、时钟的分针和时针上的点、田径场弯道上赛跑的运动员等，都在做圆周运动。科学研究中，大到地球绕太阳的运动。小到电子绕原子核的运动。小到电子绕原子核的运动，也常用圆周运动的规律来讨论。除
2、此之外，你还 能举出一些物体做圆周运动的实例吗？图 6 712 .如何描述圆周运动的快慢本节教材在第一个“思考与讨论”栏目中提出了这样的问题：如图671所示，自行车的大齿轮、 小齿轮、 后轮是相互关联的三个转动部分，行驶时，这三个轮子 上各点在做圆周运动。那么，哪些点运动得更快些？也许它们运动得一样快？需要指出的是，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮上各点在做圆周运动的说法是有条件的。我们知道，当轮子的轴心（圆心）固定不动（如把自行车后轮架起停放在路面上），而轮子在转动时，轮子上各点确实是围绕它们的轴心（圆心）做圆周运动。但当自行车行驶时，轮子在转动的同时，轮子的轴心也在向前运动，轮子上各点相对轴心
3、而言仍是在做圆周运动， 而相对地面则不是在做圆周运动，它们的运动情况较为复杂。 所以，这里所比较的运动快慢，实际上只是比较轮子上各点相对轴心的运动快慢。我们经过仔细观察即可知道：三个轮子中后轮的半径最大，大齿轮的半径其次，小齿 轮的半径最小；大齿轮和小齿轮通过链条相连，所以两齿轮上各点在相同时间内转过的弧长总是相等的；小齿轮和后轮是一起绕同一个轴心转动的，这两个轮子在相等的时间内转过的圈数（角度）是相等的。根据以上分析，你的回答可能有多种， 如：后轮上的点运动得快些， 大小齿轮上的点运动得一样快；后轮与小齿轮上的点转动得一样快，而大齿轮上的点转动得较慢等等。上述这些说法其实都是有一定道理的。之
4、所以有不同的结论，是因为到目前为止，关 于圆周运动，还没有大家认可的描述方法。而在直线运动的研究中，则没有出现这种情况， 这是因为在直线运动中， 大家都认可用“速度”来描述物体运动的快慢，在一定时间内物体 发生的位移越大，或发生一定大小位移所用的时间越短，就表明物体运动得越快，反之，就表明物体运动得越慢。那么，我们如何来描述圆周运动的快慢呢？描述圆周运动的快慢，主要可通过线速度、角速度等物理量。3 .线速度的概念我们知道，描述物体直线运动快慢，是通过定义“速度”这一概念实现的。速度可分为平均速度和瞬时速度，平均速度定义为物体发生的某一段位移x与所用时间t的比值，即一 x 一.xv =一；当时间
5、间隔很小很小时，我们就可得到瞬时速度，记做v = （A W0）ot寸6 72,设圆周半径为 1m,经2s到达C点，经3s到达D点,经4s回到A点，则由平均速度定义式可得质点由A运动至B的过程中,Vab =42 m/s；质点由A运动至C的过程中,vAC = 1m/s；质点由A运动至D的过程中,图 6 72质点转过一圈的过程中，V = 0。虽然，我们只是讨论了一些特殊情况, 运动的快慢是不恰当的。但明显可以看出，用平均速度来描述物体做圆周其实，我们还常用“速率”来描述物体运动的快慢。速率是物体经过的路程与时间的比1值，表达式常写作 V=-（注意，这里的1指路程），速率也有平均速率和瞬时速率之分，当
6、t时间间隔很小很小时，我们就得到了瞬时速率，记做1V= （At>0）。再看上面的问题, . ：t我们发现，不论选取哪一段过程讨论，物体的平均速率都是定值，等于Jim/s,这一结果很2好地描述了运动的实际情况。所以，我们用物体通过的路程 （圆周运动中就是弧长） 与所用时间的比值来量度圆周运 动的快慢。设物体沿圆弧运动，时间t内经过的圆弧长为1,这样，比值L反映这一段时间内物体t1运动的平均快慢，记做V =t为描述物体经过某一位置（注意，V指平均速率）。（或某一时刻）运动的快慢，我们可从这时刻起，取一段很小很小的时间间隔At （即At-0）,物体在这段时间内通过的弧长为A1,则比值91就反映
7、了't物体在这一瞬间运动的快慢，我们称为线速度，记做1v 二t（注意，这里的 V指瞬时速率）。其实，当At-0时，瞬时速率定义式中的 A 1与瞬时速度定义式中的 Ax （前者指路程, 后者指位移）大小已经没有差别， 具体到圆周运动这一问题中，就是弧长与弦长已经没有差1 . 一 一 别，所以V = 丁实际上就是瞬时速度的大小。为区别于角速度，我们将这个瞬时速度命名 ,: t为线速度。当然，之所以用线速度而不用瞬时速率来描述圆周运动， 向的需要。线速度是矢量，线速度的方向沿圆周的切线方向。4.角速度的概念在对自行车的大、小齿轮及后轮上各点运动快慢的讨论中, 轮上与小齿轮上的点转动得一样快，
8、而大齿轮上的点转动得较慢”还有一个原因就是描述运动方“后B1AM我们尝试用平均速度来描述物体做圆周运动的快慢，如图,经1s到达B点,质点从A出发，顺时针方向以一定的快慢转动（如钟表的指针针尖一般）图 673这一说法确有道理。原因是后轮与小齿轮围绕同一轴转动，它们转过相同圈数所需时间总是一样的。而大小齿轮相比较，它们转过相同圈数所需时间是不相同的，仔细观察易知，相同时间内小齿轮转过的圈数较多。但这一说法用“线速度”不易解释。为此，我们还需引入“角 速度”这一概念，用来量度圆周运动的快慢。如图6 73所示，物体在 t时间内由A运动到B,半径OA在这段时间内转过的角为 0o它与所用时间 t的比值，描
9、述了物体绕圆心转动的快慢， 这个比值称为角速度，用符 号w表不，3= °.:t5 .角速度的单位角的单位大家都熟知的是“度”，如周角为360° ,平角为180° ,直角为90°等，但 是，“度”这个单位并不属于国际单位制。在国际单位制中，角的单位为弧度。由于在半径一定时，圆弧的弧长l与圆弧所对圆心角。成正比，因此，角的大小可用弧长 l与半径r的比值r来表示，即.l0=。r对于周角，用角度量是 360。，用弧度量是2兀弧度；对于平角、直角，用角度量分别为180。、90。，用弧度量分别是多少呢？11半径为r的整个圆周长是2 7n其半圆周、4圆周长分别为 兀f
10、 2 7n它们与半径r之比就是用弧度表示的平角和直角，即平角是兀弧度、直角是2弧度。以弧度量度角、以秒量度时间，所以在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s或s-1。在用弧度表示角时，经常出现字母兀。要注意，兀不是单位符号，而是一个数字：圆周率3.14,所用的单位仍是弧度。弧度不是通常意义上的单位，所以，带单位计算时，不要把“rad”或“弧度”代到算式中，这时角速度的单位应该写为s1。6 .线速度与角速度的关系在图673中，设物体做圆周运动的半径为r,由A运动到B的时间为 t, AB弧长为 l, AB弧对应的圆心角为8当。以弧度为单位时，。=宁，即 l = r &由于
11、l=vZt, 0= wA t,代入上式后得到v= r o这表明，在圆周运动中，线速度的大小等于半径与角速度大小的乘积。但是，在半径不能确定的情况下，不能由角速度的大小判断线速度的大小，也不能由线速度的大小判断角速度的大小。7 .转速与周期描述物体做圆周运动的快慢，除了用线速度、角速度外，还可以用转速与周期。转速 如果在一定时间内物体转过的圈数越多，我们就说物体转动得越快，所以技术上常用转速来描述圆周运动的快慢。转速是指物体单位时间内所转过的圈数，常用符号n表示。转速等于物体转过的圈数与所用时间的比值，单位为转每秒（r/s）或转每分（r/min）。r/s和r/min都不是国际单位制中的单位，运算
12、时要把它们换算成弧度每秒。如： 2 二 二 1r/s = 2 n rad/s, 1r/min =rad/s= - rad/so周期 做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫做周期，用 T表示。显然， 周期越短，表明物体转动得越快，反之，周期越长，表明物体转动得越慢。8 .匀速圆周运动的特点物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。做匀速圆周运动的物体， 在单位时间里所通过的弧长相等，转过的角度也相等， 因此也可以说，匀速圆周运动是角速度不变的运动。做匀速圆周运动的物体，在单位时间内所转过的圈数相等，每转一周所用的时间也相等，因此，匀速圆周运动的转速与周期也保持不变
13、。但是，由于线速度是矢量，虽然其大小不变，但其方向在不断变化，因此，线速度是个 变量，不变的只是速率，匀速圆周运动中的“匀速”两字应理解为“匀速率”，所以匀速圆周运动是变速运动，而不是匀速运动。9 .对教材“思考与讨论”问题的说明本节教材在第二个“思考与讨论”栏目中提出：“砂轮转动时，砂轮上各个砂粒的线速度是否相等？角速度是否相等？”对这一问题不难作出如下解答：砂轮转动时，在相同的时间内各个砂粒转过的角度都相等，因此砂轮上各个砂粒的角速度相等。但是，它们的线速度则不一定相等：如这些砂粒离轴心的距离（即转动半径）相等，则它们的线速度大小也相等，但方向不一定相同；如半径 不相等，它们的线速度与半径
14、成正比，它们的线速度大小当然就不相等。发展级10 .为什么要用线速度和角速度两个物理量描述圆周运动的快慢？线速度和角速度都是描述物体做圆周运动的快慢的物理量，线速度描述了做圆周运动 的物体通过弧长的快慢；而角速度则描述了物体转过角度（即物体与圆心连线扫过角度）的快慢。它们都有一定的局限性，任何一种速度（线速度或角速度）都无法全面准确地反映做 匀速圆周运动质点的运动状态。例如地球绕太阳运动的线速度大小约为3xi04m/s,这个数值是较大的，但地球绕太阳转动的角速度却很小，其值约为2X 10 7rad/so我们不能从它线速度大就得出它做圆周运动快的结论，同样也不能从它的角速度小就得出它做圆周运动慢
15、的结论。事实上是因为地球绕太阳做圆周运动的轨道半径很大，所以线速度较大，但由于一年才转一圈，角速度就很小。因此为了全面准确地描述质点做圆周运动的状态必须用线速度和 角速度。11 .线速度、角速度与转速、周期的关系我们已经知道，线速度与角速度的关系式为v= r o由于转速是指物体单位时间所转过的圈数，做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫做周期，所以若单位时间取作s,则转速与周期间存在倒数关系，即1 n 二 一。 T对匀速圆周运动而言，每转过一圈所用的时间即为周期，而每转过一周，转过的弧长l=2<,转过的角度即周角，大小等于2兀弧度，所以2二 r -2 二-v= = 2 <n ,
16、 3 = = 2 m。TT（以上各式中的转速的单位均取作r/s）应用链接本节知识的应用主要涉及圆周运动、匀速圆周运动的基本概念，以及线速度、角速度、 转速、周期的理解与计算。基础级例1静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法中正确的是（图 6 76A.它们的运动周期都相同C.它们的线速度大小都相同B.它们的线速度都相同D.它们的角速度可能不同图 6 74同时，还。点做圆周提示不同纬度处的物体做匀速圆周运动的半径不同。解析 如图6-74所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的运动周 期及角速度都是相同的。 物体随地球一起转动， 其运动的平面是物体所在的 纬度线平面，其圆心分布在自转轴上， 不
17、同纬度处物体做圆周运动的半径是 不同的，只有同一纬度处的转动半径相等，根据 v=r 3知，线速度的大小才 相同，但即使物体的线速度大小相同，方向也各不相同。正确选项为点悟 处理该问题时，应先画出草图，然后根据草图分析地球是怎样 转动的，地表不同位置处物体随地球自转做圆周运动的圆心位置及半径大小不同。要注意线速度是矢量，线速度的方向沿轨迹切线方向。例2如图675所示，两个小球固定在一根长为l的杆的两端，绕杆上的运动。当小球 A的速度为vA时，小球B的速度为vB,则轴心O到小球A的距离是（）A. Va(VaVb)1vA1B.VaVb0 (VaVb)1c.VaD (Va+Vb)1Vb提示 两个小球固
18、定在同一根杆的两端一起转动，它们的角速度相等。解析 设轴心O到小球A的距离为x,因两小球固定在同一转动杆的两端,故两小球做圆周运动的角速度相同，半径分别为X、1 X。根据6 =乂有rVa _ VbX 1 -xA OVA图 6 75解得Va1X =VaVb正确选项为Bo点悟 根据题意，挖掘两球运动的角速度相同，是对本题作出正确判断的关键。 例3如图6-76所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为 设皮带不打滑，则三轮边缘上的一点线速度之比 =, 角速层£久乙比 a）A , 3b - 3c =AOCrA= rC= 2rB , vA ： vB ： v
19、C提示 寻找线速度、角速度和半径之间的关系，注意问题 中相同的物理量与不同的物理量。解析 A、B两轮由皮带带动一起转动，皮带不打滑，故A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等。B、C两轮固定在同一轮轴上，同轴转动，角速度相等。但是由于两轮的半径不等，由v=rco可知，B、C两轮边缘上各点的线速度大小不等，且C轮边缘上各点的线速度是B轮边缘上各点线速度的两倍，故有vA ： vB ： vC= 1 ： 1 ： 2。因A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等，同样由v= rco可知，它们的角速度与半径成反比，即CO a : tB=b ：a=1 ： 2o点悟在分析传动装置中各物理量间的关系时，要首先明确什么量是
20、相等的，什么量是不相等的。例如，同一轮子或同轴传动的轮子上各点运动的角速度心 转速n和周期T均相等，线速度则与半径成正比。靠皮带、齿轮或摩擦传动的轮子，在不打滑的情况下，轮子边 缘上各点的线速度大小相等，角速度则与半径成反比。例4 一台走时准确的时钟，其秒针、分针、时针的长度之比为li ： l2 ： L= 3 ： 2 ： 1 ,试求：秒针、分针、时针转动的角速度之比；秒针、分针、时针针尖的线速度之比。提示 由日常生活经验不难知道，走时准确的时钟，其秒针、分针、时针匀速转动的周期分别为60s、60min、12h,由描述圆周运动的物理量之间的关系可求得它们转动的角速度 之比以及它们针尖的线速度之比
21、。解析 走时准确的时钟，其秒针、分针、时针匀速转动的周期分别为T1=60s、T2=60min、T3 = 12h。2 二由3= 可得秒针、分针、时针转动的角速度之比T2 二2 二2 二 2 二 2 二2 二W1 - a）2 5= - - = - - = 720 - 12 - 1 oT1T2T36060 60 12 60 60因v= r故秒针、分针、时针针尖的线速度之比v1 ： v2 ： v3=l1coi ： l2呢：l333=（3>720） : （2 M2） : （1 M）=2160 ： 24 ： 1。点悟 求解本题应注意挖掘秒针、分针、时针转动周期的隐含条件。 另外，实际生活中的机械钟表
22、的指针并不是真正做匀速圆周运动，如秒针通常是跳跃式运动，但就其运动的整个过程而言，可理想化地看作是匀速圆周运动，对其转动周期、角速度、线速度等物理量的 研究也无大的影响。发展级M2位置，期间相隔29.5天，这个例5 若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一个平面内，且均为正圆，又知这两种转动反向， 如图6- 77所示，月相变化的周期为 29.5天。（图示是相 继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图）求：月球绕地球一周所用的时间 T （因月球总是一面 朝向地球，故T恰是月球的自转周期）。（提示：可借鉴恒 星日、太阳日的解释方法）提示 本题可根据地理学中的恒星日、太阳日知识或应用物理学
23、中的角速度、周期、线速度关系求解。解析下面提供两种解法。解法一：月球在”位置时是满月，下一次满月是在过程中地球相对太阳转过。角，月球相对地球转过了（ 2兀+ 0）角，花了 29.5天，月球真正自转一周2%相对地球是在 M/方向上。由比例关系可得月球公转时360° + （29.5360°地球公转时：、=迪29.5365联立两式，消去 。可得T= 27.3天，即为月球绕地球转一周所用的时间。 ，.，一， 一，.-2 兀斛法一：地球绕太阳公转母天转过的角速度3=演弧度/天（取回归年为365天）。从上次满月到下次满月地球公转了。角，用了 29.5天。所以八,2兀八八一0 = 3 t
24、X 29.5 弧度365月球在两次满月之间转过（2兀+ 3用了 29.5天，所以月球的角速度根据周期公式可得月球公转T 2兀 X 29.52 7tx 29.5=2兀+。夭=2 兀 + 2 兀 +365 X 29.5 天=27.3 天。点悟 在地理教材中我们已经学习了什么是恒星日、太阳日，但并没有涉及其物理原理和数学计算方法。同样，在物理教材中也会涉及该现象，而且相关的内容如周期、角速度以及数学计算方法在本章中都学习过。显然，这是一类涉及地理知识、物理原理和数学方法的综合问题。正确解决这类问题，要求我们对地理知识非常了解，明晰地球、当然，理解掌握匀速圆周运动的基本知识是解决这类问题的基础。例6
25、雨伞边缘半径为r,且高出水平地面的距离为 h,如图6- 78所示，若雨伞以角速度 匀速旋转，使雨滴自雨伞边缘水平飞出后 在地面上形成一个大圆圈，则此圆圈的半径R为多大？提示 雨滴自雨伞边缘水平飞出时，具有与雨伞边缘相同的速度， 离开雨伞后在重力作用下做平抛运动。解析 作出雨滴飞出后的三维示意图，如图679所示。月球的运动情况;雨滴飞出的速度大小为v= r w,在竖直方向上有1.2h=2 gt ,在水平方向上有s= vt,又由几何关系可得R= Vr2 + s2 ,联立以上各式可解得雨滴在地面上形成的大圆圈的半径r 2-2.R= g <g +2g® h o点悟因为雨滴是由于雨伞的旋
26、转而飞出的，所以雨滴沿圆周切线方向飞出而做平抛运动，但常有同学误认为雨滴沿雨伞的半径方向飞出，如图所示，由此得到错误的结果R= r （1+co 芭）g由本例的分析解答可知, 培养和增强自己的作图能力、变换角度巧作图可以启发自己的思维,空间想象能力和解决实际问题的能力。680图 680课本习题解读p. 47问题与练习1.位于赤道和位于北京的两个物体随地球自转做圆周运动的角速度相等，均为2 712 7t5w =rad/s= 7.27x 10 rad/s。T24>3600位于赤道的物体随地球自转做圆周运动的线速度c-、.32 71一v1=36400x10 )4600 m/s-465.28m/s
27、；位于北京的物体随地球做圆周运动的线速度八 3、，。-2兀V2=r cos。/6400X 10 Xcos40 xm/s= 356.43m/s。24 X36002 .分针的周期为T1=1h,时针的周期为 T2=12h。分针与时针的角速度之比2兀 2兀31 ： 32 = =:=丁2 T1 T2分针针尖与时针针尖的线速度之比V1 ： 丫2=必门：co2r2= (12M.2) ： (1 M) = 14.4 ： 1。3 .如图681所示，图中A、B两点分别位于两个轮子的边缘， 由于两轮之间不打滑，所以两点线速度大小相等；A点做圆周运动的半径为B点做圆周运动半径的 2倍，A点所在圆周的周长是 B点的2倍，
28、所以在相等时间内 A绕圆心转过的角度是 B的2倍，即A转动的角速度是 B转动角速度的2倍，亦即它们绕各 自圆心做圆周运动的角速度之比为1 ： 2,由此说明在v相等时，跟r成反比。同问，图中 A、C两点位于同一轮上，转动的角速度相等，单位时间内A点转过的弧长是C点转过的弧长的2倍，所以A点的线速度是C点线速度的2倍，即相等时，v与r成正比。图中B、C两点所在圆周半径相等，由前两问中分析可知vB= vA= 2vC , cob=2coa =2 WC ,所以v与3成正比。v= r电同时理解传动装置不图 6 82本题旨在让我们理解线速度、角速度、半径之间的关系: 打滑的物理意义是接触点之间线速度相等。4
29、 .如脚踏板每2s转1圈，要知道此时自行车前进的 速度有多大，还需要测量大齿轮的半径口、小齿轮的半径r2和车轮的半径R,如图6 82所示。由题意可知，大齿轮转动角速度必=兀rad/s。大齿轮与小齿轮通过链条相连，轮边缘各点线速度相 等，它们转动的角速度大小与半径成反比，所以小齿轮转动的角速度a)2 = 31 =兀rad/s。r2r2自行车后轮与小齿轮共轴一起转动，其角速度w co2兀 rad/s。2自行车前进的速度大小即后轮边缘上各点做圆周运动的线速度大小，其表达式为兀Rrv= w R= . m/s。r2本题的用意是让我们结合实际情况来理解匀速圆周运动以及传动装置之间线速度、角速度、半径之间的关系。值得注意的是，车轮上任意一点的对地运动都不是圆周运动，其轨迹 均为滚轮线。所以在处理这个问题时，应该以轮轴为参考系。1 1-5.磁盘转动的周期为T = =s = 0.2s。n 300 <- 60一个扇区通过磁头所用的时间为,T0.21t = = s = s 。181890不计磁头转移磁道的时间，每秒内磁盘通过磁头的扇区数为N=18n=18>300 个=90 个。每个扇区的字节数为 512个，所以计算机每秒内可以从软盘上最多读取字节数为N'= 512 >90 个=46080 个。