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1、第八单元 数 列 教材复习课 “”数列 相关基础知识一课过 数列的有关概念 过双基 1数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列an的第 n项 an 如果数列an的第n项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示， 通项公式 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 前 n项和 数列an中，Sna1a2an叫做数列的前 n项和 2an与 Sn的关系 若数列an的前 n项和为 Sn，则 anError! 小题速通 1 1数列an满足 anan1 (nN*)，a22，Sn是数列an的前 n项和，则 S21的值为( ) 2 7 A5 B. 2 9
2、 13 C. D. 2 2 1 解析：选 B anan1 ，a22， 2 anError! 3 7 S2111(2 )102 . 2 an1 2数列an满足 a13，an1 (nN*)，则 a2 018( ) an 1 A. B3 2 1 2 C D. 2 3 an1 a11 2 a21 1 a31 解析：选 D 由 a13，an1 ，得 a2 ，a3 ，a4 an a1 3 a2 2 a3 3， 1 由上可得，数列an是以 3 为周期的周期数列， 2 故 a2 018a67232a2 . 3 3 3已知数列an满足 an (nN*)，前 n 项的和为 Sn，则关于 an，Sn 的叙述正确的
3、2n11 是( ) Aan，Sn 都有最小值 Ban，Sn 都没有最小值 Can，Sn 都有最大值 Dan，Sn 都没有最大值 3 解析：选 A an ，当 n5 时，an0，且单 2n11 调递减 故当 n5 时，a53 为 an 的最小值； 由的分析可知：当 n5 时，an0.故可得 S5为 Sn 的最小值 综上可知，an，Sn 都有最小值 4已知数列an中，a11，an1an2n1(nN*)，则 a5_. 解析：依题意得 an1an2n1，a5a1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(a5a4)1 357925. 答案：25 清易错 1易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列
4、中某一确定的数，而项数 是指数列的项对应的位置序号 2在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直接把数列的通项公 式写成 anSnSn1的形式，但它只适用于 n2 的情形 1已知数列的通项公式为 ann28n15，则( ) A3 不是数列an中的项 B3 只是数列an中的第 2 项 C3 只是数列an中的第 6 项 D3 是数列an中的第 2 项或第 6 项 解 析：选 D 令 an3，即 n28n153，解得 n2 或 6，故 3 是数列an中的第 2 项或 第 6 项 2已知数列an的前 n 项和为 Sn32n，则数列an的通项公式为_ 解 析：当 n1 时，a1S
5、1325；当 n2 时，anSnSn132n(32n1)2n 2n12n1. 因为当 n1 时，不符合 an2n1， 所以数列an的通项公式为 anError! 2 答案：anError! 等差数列 过双基 1等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列符号表示为 an1and(nN*，d 为常数) ab (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A ，其中 A 叫做 a，b 的等差 2 中项 2等差数列的有关公式 (1)通项公式：ana1 (n 1)d. nn1 na1an (2)前 n 项和
6、公式：Snna1 d . 2 2 3等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam(n m)d(n，mN*) (2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 ak al am an. (3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列 (5)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差 数列 小题速通 1在等差数列an中，已知 a2与 a4是方程 x26x80 的两个根，若 a4a2，则 a2 018 ( ) A2 018 B2 017 C2 0
7、16 D2 015 解析：选 A 因为 a2与 a4是方程 x26x80 的两个根，且 a4a2，所以 a22，a44， 则公差 d1，所以 a11，则 a2 0182 018. 2在等差数列an中，a2a3a43，Sn 为等差数列an的前 n 项和，则 S5( ) A3 B4 C5 D6 解析：选 C 等差数列an中，a2a3a43，Sn 为等差数列an的前 n 项和， a2a3a43a33， 解得 a31， 5 S5 (a1a5)5a35. 2 3 3.正项等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a4a10a27150，则 S13( ) A39 B5 C39 D65 解析：选 D 正项等
8、差数列an的前 n 项和为 Sn， a4a10a27150， a272a7150， 解得 a75 或 a73(舍去)， 13 S13 (a1a7)13a713565. 2 4已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 3a3a64.若 S510，则 a2的取值范围是( ) A( ，2) B( ，0) C(1， ) D(0,2) 解析：选 A 设等差数列an的公差为 d，3a3a64， 3(a2d)a24d4，可得 d2a24. 5a1a5 5a2a4 52a22d S510， 5(3a24)10，解得 a22. 2 2 2 a2的取值范围是( ，2) 5在等差数列an中，a17，公差为 d，前
9、 n 项和为 Sn ，当且仅当 n8 时 Sn 取得最大 值，则 d 的取值范围为_ 解析：由当且仅当 n8 时 Sn 有最大值，可得 7 Error!即Error!解得1d . 8 7 答案：(1，8) 清易错 1求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值时，需要注意“自变量 n 为正整数”这一隐含条件 2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别 1(2018武昌联考)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an 的前 n 项和为 Sn，则使得 Sn 达到最大的 n 的值为( ) A18 B19 C20 D21 解 析： 选 C 由 a1a3a5105a335，a2a4
10、a699a433，则an的公差 d33 352，a1a32d39，Snn240n，因此当 Sn 取得最大值时，n20. 2在数列an中，若 a12，且对任意的 nN*，有 2an112an，则数列an前 10 项的和为( ) 4 A2 B10 5 5 C. D. 2 4 1 解析：选 C 由 2an112an，可得 an1an ， 2 1 即数列an是以2 为首项， 为公差的等差数列， 2 5 10 (22) n 5 5 则 an ，所以数列an的前 10 项的和 S10 . 2 2 2 等比数列 过双基 1等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同
11、一常数 (不为零)， 那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表 an1 达式为 q. an (2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么G 叫做 a 与 b 的等比中项即：G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列G2 ab. 2等比数列的有关公式 (1)通项公式：ana1qn1. (2)前 n 项和公式：SnError! 3等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*) (2)若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则 amanap aqa 2k ； 1 (3)若数列an，bn(项数相同)都是等比数列，则an， ，a ， anbn， an 2 an bn (0)仍然是等比数列； (4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，ank，an2k，an 3k，为等比数列，公比为 q k. 小题速通 1(2017全国卷 )我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( ) A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏 解析：选 B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前 7 项的和 S7 5