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1、北京四中 2017-20182017-2018学年下学期高一年级期中考试数学试卷 试卷分为两卷，卷（ ）100分，卷（ ）50 分，共计 150分 考试时间：120 分钟 卷（ ） 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50分） 1. 某影院有 40排，每排 46 个座位，一次新片发布会坐满了记者，会后留下了每排 20号的 记者进行座谈，这样的抽样方法是 A. 抽签法 B. 随机数表法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法 2. 下列命题中，正确命题的个数是 有三个公共点的两个平面重合 梯形的四个顶点在同一平面内 三条互相平行的直线必共面 四条线段顺次首尾相接，构成平面图形 A
2、. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 1 1 A. B. C. D. 4 8 2 4 4 4. ABC 中，若 B45，b 3,c 2 2 ，则 A 3 A. 15 B. 75 C. 75或 105 D. 15或 75 5. 甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为 a，乙掷出的点数记为 b，则ab 1 的概 率为 4 7 2 A. B. C. D. 9 18 9 1 9 6. 若 a，b 是异面直线，则与 a，b 都平行的平
3、面 A. 不存在 B. 有无穷多个 C. 有且仅有一个 D. 不一定存在 7. ABC 中，若ABC ， ，则 sinBAC AB 2, BC 3 4 - 1 - 10 10 3 10 A. B. C. D. 10 5 10 5 5 8.有 5 个大小相同的球，上面分别标有 1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的 概率是 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 3 10 9. 某学校随机抽查了本校 20 个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位： 分钟），根据所得数据的茎叶图，以 5 为组距将数据分为 8 组，分别是0，5）， 5，10）， ， 35，40，作
4、出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是 10. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30千米内的地区 为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的时间为 A. 0.5小时 B. 1 小时 C. 1.5小时 D. 2 小时 二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30种、20种，现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方 法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是_。
5、12. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表，s1、 s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则 s1、s2、s3的大小关系是 _。 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环 环 环 7 8 9 10 7 8 9 10 7 8 9 10 数 数 数 - 2 - 频 频 频 5 5 5 5 6 4 4 6 4 6 6 4 数 数 数 13ABC中，若b c,a2 2b2 (1 sin A) ，则 A_。 14. 集合 A y | y 6n 4,n 1,2,3,4,5,6，集合 B y | y 2n1,n 1,2,3,4,5,6，若 任意 AB 中
6、的元素 a，则 a AB 的概率是_。 15. ABC的三边长分别为 4、5、6，若将三边都减少 x 后构成一个钝角三角形，则实数 x 的取值范围是_。 16. 下列四个命题： 样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度； 基本事件空间是1，2，3，4，5，6，若事件 A1，3，B3，5，6，A，B 为 互斥事件，但不是对立事件； 某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是 m，n，若一模考试数学平均分分别是 a， na mb b，则这两个班的数学平均分为 ； m n 如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的 位置关系为平行或相交。 其中真命题的序号
7、是_。 三、解答题（本大题共 3 小题，共 26 分） 17. （本小题满分 6 分） 已知：正方体 ABCDA1B1C1D1，如图， （ ）若 E、F 为 AA1、CC1的中点，画出过 D1、E、F 的截面； （ ）若 M、N、P 为 A1B1、BB1、B1C1上的点（均不与 B1重合），求证：MNP 是锐角三角 形。 18. （本小题满分 10分） 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间 - 3 - 所能维持的时间称为手机的待机时间。 为了解 A，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取 A，B 两个型 号的手机各 5 台，在相同
8、条件下进行测试，统计结果如下： 手机编号 1 2 3 4 5 A 型待机时间 120 125 122 124 124 （h） B 型待机时间 118 123 127 120 a （h） 已知 A，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等。 （ ）求 a 的值； （ ）求 A 型号被测试手机待机时间方差和标准差的大小； （）从被测试的手机中随机抽取 A，B 型号手机各 1 台，求至少有 1 台的待机时间超过 122 小时的概率。 1 （注：n 个数据 , , 的方差 n ，其中 x1 x , x s2 ( )2 ( )2 (x x )2 x x x x 2 n 1 2 n x 1, x , ,
9、 x 为数据 的平均数） x 2 n 19. （本小题满分 10分） cos C 3a c 已 知：ABC中，三边 a,b,c 的对角为 A，B，C，且 ， cos B b （ ）求sin B 的值； （ ）若b 4 2 ，且 a c ，求ABC的面积。 卷（ ） 一、选择题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 1. ABC中，给出以下条件，有唯一解的是 A. a 4,b 5，A30 B. a 5,b 4，A60 C. a 3,b 2 ，B120 D. a 3,b 6 ，A60 2. 同时投掷两枚骰子，计算向上的点数之和，则以下各数出现概率最大的是 A. 5 B. 6 C.
10、7 D. 8 3. 某科研小组有 20个不同的科研项目，每年至少完成一项。有下列两种完成所有科研项目 的计划： A 计划：第一年完成 5 项，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，直到全部完成 为止； B 计划：第一年完成项数不限，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，恰好 5 年 - 4 - 完成所有项目。 那么，按照 A 计划和 B 计划所安排的科研项目不同完成顺序的方案数量 A. 按照 A 计划完成的方案数量多 B. 按照 B 计划完成的方案数量多 C. 按照两个计划完成的方案数量一样多 D. 无法判断哪一种计划的方案数量多 二、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共
11、15 分） 4. 变量 X 与 Y 相对应的 5 组数据和变量 U 与 V 相对应的 5 组数据统计如下表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y 1 2 3 4 5 V 5 4 3 2 1 用 b1表示变量 Y 与 X 之间的回归系数，b2表示变量 V 与 U 之间的回归系数，则 b1与 b2的 大小关系是_。 5. 从 n 个正整数 1，2，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率 1 为 ，则 n_。 14 6. 已知 n N * ，则以 3，5，n 为边长的钝角三角形的个数是_。 三、解答题（本大题共 2 小
12、题，每小题 10 分，共 20分） 7. 某人隔河看到两目标 A 与 B，但都不能到达，该人在此岸选取相距 3 公里的 C，D 两点， 测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，如果 A，B，C，D 共面，求 A 与 B 的距离。 8. 袋中有 a 个黑球和 b 个白球，随机地每次从中取出一球，每次取后不放回，记事件 A“为直 到第 k 次才取到黑球”，其中 1kb；事件 B 为“第 7 次取出的球恰好是黑球”，其中 1k b。 （ ）若 a5，b3，k2，求事件 A 发生的概率； （ ）判断事件 B 发生的概率是否随 k 取值的变化而变化？并说明理由； （）比较 a5，b9 时事件 A 发生的概率与 a5，b10时事件 A 发生的概率的大小， - 5 -