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1、.学有方-大不同 学大教育 椭圆性质、第二定义、参数方程 一、由椭圆方程() 研究椭圆的性质.(1)范围:从标准方程得出,即有,，可知椭圆落在组成的矩形中(2)对称性:把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称换成方程不变，图象关于轴对称把同时换成方程也不变，图象关于原点对称如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点因此椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点. 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.(4)离心率:概念：椭圆焦距与长轴长之比，决定椭
2、圆的圆扁程度定义式：范围：考察椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 讲解范例：例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形解：把已知方程化成标准方程 所以，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是，将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：01234543.93.73.22.40 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）（2）答：简图如下：课堂练习
3、：1已知椭圆的一个焦点将长轴分为:两段，求其离心率解：由题意，=:,即,解得 2如图，求椭圆,()内接正方形ABCD的面积 解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设B（),代入椭圆方程求得,即正方形ABCD面积为2、 椭圆的第二定义: 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率2椭圆的准线方程对于，相对于左焦点对应着左准线； 相对于右焦点对应着右准线对于，相对于下焦点对应着下准线； 相对于上焦点对应着上准线准线的位置关系：焦点到准线的距离（焦
4、参数）讲解范例：例3、求下列椭圆的准线方程：（1） (2) 解：方程可化为 ，是焦点在轴上且，的椭圆所以此椭圆的准线方程为 方程是焦点在轴上且，的椭圆所以此椭圆的准线方程为 例4、 椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离 解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点P到椭圆的左焦点距离为 再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20812 课堂练习：1求下列椭圆的焦点坐标与准线方程（1）（2）答案：焦点坐标；准线方程焦点坐标；准线方程2已知椭圆的两条准线方程为，离心率为，求此椭圆的标准方程答案：3、 椭圆的焦半径公式：设是椭圆的一点,和分别是点与点,的
5、距离.那么（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加讲解范例例6、椭圆，其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程解：由椭圆的焦半径公式，得，解得，从而有 所求椭圆方程为 课堂练习：1P为椭圆上的点，且P与的连线互相垂直，求P解：由题意，得64，P的坐标为，2椭圆上不同三点与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证证明：由题意，得 23设P是以0为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：以线段为直径的圆与此椭圆
6、长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为,()，焦半径是圆的直径，则由知，两圆半径之差等于圆心距，所以，以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切问题：如图，以原点O为圆心，分别以 ()为半径作两个图，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作NAOX垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程 解答：设A的坐标为，取 为参数，那么 也就是 这就是所求点A的轨迹的参数方程将变形为发现它可化为，说明A的轨迹是椭圆四、.椭圆的参数方程 注意：角不是角三、讲解范例：例1把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程(1) (2)解：(1) (2) 例2 已知椭圆上的点P(),求的取值范围.解：例3 已知椭圆与轴的正半轴交于A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使MAMO,求椭圆离心率的取值范围解：A(,0)，设M点的坐标为（），由MAMO得化简得 所以 课堂练习：1参数方程表示的曲线的焦点坐标是: 离心率是: 答案：；:8