第25届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案.docx

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1、2008 年第 25 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共八题，满分160 分一、（ 15 分）1、（ 5 分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s。假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量G 6.67 10 11 m3 kg 1 s 2 ，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下限是kg m 3 。2、（5 分）在国际单位制中，库仑定律写成Fk q1q2 ， 式 中 静 电 力 常 量r 2k8.98 109 N m2 C 2 ，电荷量 q1 和 q2 的单位都是库仑，距离r 的单位是米，作用力 F 的

2、单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式Fq1q2，式中距离r 的单位是米，作用力Fr2的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式Fq1q2，式中距离 r 的单位是米，作用力Fr2的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量q 的新单位。当用米、千克、秒表示此新单位时，电荷新单位 =；新单位与库仑的关系为1 新单位 =C。3、（ 5 分）电子感应加速器（ betatron）的基本原理如下：一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场的磁感应强度 B

3、随时间 t 的变化规律为 BB0 cos(2 t / T ) ，其中 T 为磁场变化的周期。 B 0为大于 0 的常量。当B 为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外。若持续地将初速度为v0 的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图），则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从 t=到 t=。二、（ 21 分）嫦娥 1 号奔月卫星与长征3 号火箭分离后，进入绕地 运行的椭圆轨道， 近地点离地面高H n2.05 102 km，远地点离地面高H f5.0930 104 km ，周期约为 16 小时，称为16 小时轨道（如图中曲线1 所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火

4、，使卫星进入新轨道（如图中曲线2 所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24 小时轨道、 48 小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量m2.350103 kg ，地球半径 R 6.378103 km ，地面重力加速度g 9.81m / s2 ，月球半径 r1.738103 km 。1、试计算 16 小时轨道的半长轴a 和半短轴 b 的长度，以及椭圆偏心率e。2、在 16 小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短， 可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 F=49

5、0N ，要把近地点抬高到 600km，问点火时间应持续多长？3、试根据题给数据计算卫星在16 小时轨道的实际运行周期。4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm 约为 200km ，周期 T m=127 分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。三、（ 22 分） 足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别， 其落地点也是不同的。 已知球门的横梁为圆柱形， 设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上， 球与横梁间的滑动摩擦系数0.70 ，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70。试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁

6、的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线） 的夹角 （小于 90 ）来表示。不计空气及重力的影响。四、（20 分）图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图，M 为指针压力表，以V M 表示其中可以容纳气体的容积；B 为测温饱，处在待测温度的环境中，以V B表示其体积； E 为贮气容器，以 V E 表示其体积； F 为阀门。 M 、E、 B 由体积可忽略的毛细血管连接。在 M 、 E、 B 均处在室温 T0=300K 时充以压强 p05.2105 Pa 的氢气。假设氢的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方程。现考察以下各问题：1、关闭阀门F，使 E 与温度计的其他部分隔断

7、，于是M 、 B 构成一简易的气体温度计，用它可测量 25K以上的温度， 这时 B 中的氢气始终处在气态，M 处在室温中。 试导出 B 处的温度T 和压力表显示的压强 p 的关系。除题中给出的室温T 0 时 B 中氢气的压强 P0 外，理论上至少还需要测量几个已知温度下的压强才能定量确定T与 p 之间的关系？2、开启阀门 F，使 M 、E、B 连通，构成一用于测量20 25K 温度区间的低温的蒸气压温度计，此时压力表M 测出的是液态氢的饱和蒸气压。由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖关系，知道了氢的饱和蒸气压与温度的关系，通过测量氢的饱和蒸气压，就可相当准确地确定这一温区的温度。 在设计温度计时，

8、 要保证当 B 处于温度低于TVKB中一定要有液态氢存在，25 时，而当温度高于 TV25K 时， B 中无液态氢。到达到这一目的，VM VE 与 V B 间应满足怎样的关系？已知5KpV 3.3 10 PaTV时，液态氢的饱和蒸气压。253、已知室温下压强p11.04 105 Pa 的氢气体积是同质量的液态氢体积的800 倍，试论证蒸气压温度计中的液态气不会溢出测温泡B 。五、（ 20 分）一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为v 的匀速运动的低速电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n 个电子，每个电子的电荷量为e(e0) ，质量为 m。该电子束从远处沿垂直于平行板电容

9、器极板的方向射向电容器，其前端（即图中的右端）于 t=0 时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小孔，使电子束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板A 、 B 之间加上了如图所示的周期性变化的电压VAB（ VVAV ，图中只画出了一个周期的图线） ，电压的最大值和最小值分别为V0和V0，ABB周期为T。若以表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔，则电压处于最小值的时间间隔为 T 。已知的值恰好使在V AB 变化的第一个周期内通过电容器到达电容器右边的所有的电子，能在某一时刻 tb 形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板间的距离很小，电子穿过电容器所需要的时间可以忽略，且mv26eV

10、0 ，不计电子之间的相互作用及重力作用。1、满足题给条件的和tb 的 值 分 别 为=T ， tb=T。2、试在下图中画出 t=2T 那一时刻， 在 0 2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形成的电流 I ，随离开右极板距离 x 的变化图线，并在图上标出图线特征点的纵、横坐标（坐标的数字保留到小数点后第二位）。取 x 正向为电流正方向。图中x=0 处为电容器的右极板B 的小孔所在的位置，横坐标的单位seV0 。（本题按画出的图评分，不须给出计算过程）m六、（ 22 分） 零电阻是超导体的一个基本特征，但在确认这一事实时受到实验测量精确度的限制。为克服这一困难，最著名的实验是长时间监测浸

11、泡在液态氦（温度T=4.2K ）中处于超导态的用铅丝做成的单匝线圈（超导转换温度T C=7.19K ）中电流的变化。设铅丝粗细均匀，初始时通有 I=100A 的电流， 电流检测仪器的精度为I 1.0mA ，在持续一年的时间内电流检测仪器没有测量到电流的变化。根据这个实验，试估算对超导态铅的电阻率为零的结论认定的上限 为 多 大 。 设 铅 中 参 与 导 电 的 电 子 数 密 度 n 8.00 1020 m3，已知电子质量m 9.11 10 31 kg ，基本电荷 e 1.60 10 19 C 。（采用的估算方法必须利用本题所给出的有关数据）七、（ 20 分）在地面上方垂直于太阳光的入射方向

12、，放置一半径R=0.10m 、焦距 f=0.50m 的薄凸透镜，在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘（圆盘中心与透镜焦点重合），于是可以在黑色圆盘上形成太阳的像。已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍。圆盘的导热性极好，圆盘与地面之间的距离较大。设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩 玻尔兹曼定律：在单位时间内在其单位表面积上向外辐射的能量为WT 4，式中为斯特藩 玻尔兹曼常量，T 为辐射体表面的的绝对温度。对太而言，取其温度ts5.50 103C 。大气对太阳能的吸收率为0.40 。又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收，同时圆盘也按斯特藩玻尔兹曼定律向外辐射能量。如果不考虑空气的对流，也不考虑杂散

13、光的影响，试问薄圆盘到达稳定状态时可能达到的最高温度为多少摄氏度？八、（ 20 分）质子数与中子数互换的核互为镜像核，例如 3 He 是 3 H 的镜像核， 同样3 H 是 3 He的镜像核。 已知 3 H 和 3 He 原子的质量分别是 m3H3.016050u 和 m33.016029u ，中子和He1.008665和931.5MeV ，式中 c 为光速，静质子质量分别是， 1umnump 1.007825uc2电力常量 k1.442 MeVfm ，式中 e 为电子的电荷量。e1、试计算3 H和3 He 的 结合能之差为 多 少MeV 。2、已知核子间相互作用的 “核力 ”与电荷几乎没有关

14、系，又知质子和中子的半径近似相等，试说明上面所求的结合能差主要是由什么原因造成的。并由此结合能之差来估计核子半径rN 。3、实验表明，核子可以被近似地看成是半径rN 恒定的球体；核子数A 较大的原子核可以近似地被看成是半径为R 的球体。根据这两点，试用一个简单模型找出R 与 A 的关系式；利用本题第2 问所求得的rN 的估计值求出此关系式中的系数；用所求得的关系式计算208 Pb核的半径Rpb 。第 25 届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答一、答案1. 1.3 101413s 11. 06150(答 1.05105也给 )2.kg 2m 23.3 TT4二、 参考解答：1.椭圆半长轴 a

15、 等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）rn 与 rf 的算术平均值，即有a1rn1Hn RHfR1nR(1)2rf2HHf2代入数据得a3.1946 104 km(2)椭圆半短轴b 等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有brnrf(3)代入数据得b 1.942 10 4 km(4)椭圆的偏心率a 2b2(5)ea代入数据即得e 0.7941(6)2. 当卫星在16 小时轨道上运行时，以vn 和 vf分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有1mvn2GMm1mvf2GMm(7)2rn2rf式中 M 是地

16、球质量， G 是万有引力常量 . 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有mvn rn mvf rf(8)注意到GMg(9)R 2由 (7) 、 (8)、 (9) 式可得vnrf2 gR(10)rn rfrnvfrn v nrnrf2g R(11)rfrfrn当卫星沿 16 小时轨道运行时，根据题给的数据有rnRH nrfRH f由 (11)式并代入有关数据得vf 1.198km/s(12)依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的

17、远地点 . 所以新轨道远地点高度H f H f 5.0930 104km，但新轨道近地点高度 H n 6.00 102 km . 由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为v f1. 230(13)km/s卫星动量的增加量等于卫星所受推力F 的冲量，设发动机点火时间为t，有m vfvfF t(14)由 (12)、 (13)、 (14)式并代入有关数据得t= 1.5102 s(约2.5 分)(15)这比运行周期小得多.当卫星沿椭圆轨道运行时，以r 表示它所在处矢径的大小，v 表示其速度的大小，表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小Lrm v sin2m(16 )其中1 r v sin（

18、 17）2是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度. 由于角动量是守恒的， 故是恒量 .利用远地点处的角动量，得1 rf vf(18)2又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为Sab(19)所以卫星沿轨道运动的周期TS(20)由 (18)、 (19)、 (20) 式得T2ab(21)rf vf代入有关数据得T5. 6784小时 46 分)(22)1s0(约 15注：本小题有多种解法 . 例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T 与 T0 之比的平方等于它们的轨道半长轴 a 与 a0 之比的立方，即23T aT0a0若 a0 是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有2GMm2a

19、02ma0 T0得222T044a03GMgR2从而得2aaTRg代入有关数据便可求得(22) 式.4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有GM mmmrm (22(23)2Tm)rm这里 rmr H m 是卫星绕月轨道半径，M m 是月球质量 .由 (23)式和 (9) 式，可得23M m4rmM(24)22gR Tm代入有关数据得M m0.0124M(25)三、 参考解答：足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）. 图中 B表示横梁的横截面，O1为横梁的轴线；O1O1 为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，O2为其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，碰

20、撞点 O的位置由直线 O1OO 2与水平线O1O1 的夹角表示 . 设足球射到横梁上时球心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角表示 如图. 以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy ， y轴与 O2OO1重合 .以表示碰前速度的方向与y轴的夹角， 以表示碰后速度的方向与y轴( 负方向 )的夹角， 足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角的大小 .以 F x表示横梁作用于足球的力在 x方向的分量的大小， Fy表示横梁作用于足球的力在 y方向的分量的大小， t 表示横梁与足球相互作用的时间， m表示足球的质量，有Fxtmv0xm

21、vx(1)Fytmv ymv0y(2)式中 v0x 、v0y 、vx 和 vy 分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy 中的分量的大小 . 根据摩擦定律有FxF y(由（ 1）、（ 2）、（ 3）式得v 0xvx(vyv0y根据恢复系数的定义有vyev0y因tanv0x0v0ytanvxvy由（ 4）、（ 5）、（ 6）、（ 7）各式得tan1 tan011ee由图可知若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有90(在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时90 . 由（ 9）式得tan90tan(因足球是沿水平方向射到横梁上的，故0，有11 tan11(tanee这就是足球反弹后落在

22、球门线上时入射点位置所满足的方程 . 解（ 12）式得e 1 112e22 14etanee(3)4)（ 5）（ 6）（ 7）（ 8）（ 9）10)11)12)13)2代入有关数据得tan1.6即58现要求球落在球门线内，故要求(14)(15)58(16)四、 参考解答：1. 当阀门 F关闭时，设封闭在 M 和 B中的氢气的摩尔数为 n1，当 B处的温度为 T 时，压力表显示的压强为 p，由理想气体状态方程，可知 B和 M 中氢气的摩尔数分别为n1BpVB(1)RTn1MpVM(2)RT0式中 R为普适气体恒量. 因n1Bn1 M n1(3)解（ 1）、（ 2）、（ 3）式得1n1R 1VM(

23、4)TVBp VB T0或Tpn1RV Mp(5)VBVBT0( 4) 式表明，1 与 1成线性关系，式中的系数与仪器结构有关. 在理论上至少要测得两个已知Tp温度下的压强，作1 对 1 的图线，就可求出系数. 由于题中己给出室温T0时的压强 p0， 故至少Tp还要测定另一己知温度下的压强，才能定量确定T与 p之间的关系式 .2.若蒸气压温度计测量上限温度Tv 时有氢气液化，则当B处的温度 TTv 时， B 、 M 和E中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数. 由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数p0 VB VM VE（ 6）n2RT0假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则B中气态氢

24、的摩尔数为n2Bp vVB（ 7）RTv在（ 7）式中，已忽略了B中液态氢所占的微小体积. 由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中，其中氢气的摩尔数为n2 M n 2 Ep VMVE（ 8）RT0根据要求有n2Bn2Mn2En2（ 9）解（ 6）、（ 7）、（ 8）、（ 9）各式得VMVEpvT0p0Tv VB(10)p0pv Tv代入有关数据得VMVE18VB(11)五、 答案与评分标准：222 0.59 (3 分)2 (2分)1212如图 (15 分 . 代表电流的每一线段3分，其中线段端点的横坐标占1 分，线段的长度占1 分，线段的纵坐标占1 分 )I/ne v43210.831.172

25、.002.834.00x/sO1234-1-2-3-4六、 参考解答：如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R，则在一年时间 t 内电流通过线圈因发热而损失的能量为EI 2 Rt（ 1）以 表示铅的电阻率，S表示铅丝的横截面积， l表示铅丝的长度，则有Rl（2）S电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为v，根据电流的定义有ISvne（ 3）所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不会超过电流检测仪器的精度I，即电流变化的上限为I1.0mA . 由于导电电子的数密度n 是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由v变

26、为 v- v，对应的电流变化IneS v（ 4）导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能为EklSn 1 m 2 1 m22vvv2l S n mvv（5）由于I<<I ，所以 v<< v，式中 v的平方项已被略去. 由（ 3）式解出v，（ 4）式解出v，代入（ 5）式得lmIIEk(6)ne2 S铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损失的能量，即EkE（ 7）由 (1)、 (2) 、 (6)、 (7) 式解得m I（ 8）ne2 It式中t 3 6 5 2 4 3 6 0 0 s = 3. 71 5 1 0 s（

27、9）在（ 8）式中代入有关数据得1.410 26 m(10)所以电阻率为 0的结论在这一实验中只能认定到1.410 26 m(11)七、 参考解答 ：按照斯特藩 -玻尔兹曼定律，在单位时间内太阳表面单位面积向外发射的能量为WT4(1)ss其中为斯特藩 -玻尔兹曼常量， Ts 为太阳表面的绝对温度. 若太阳的半径为 Rs，则单位时间内整个太阳表面向外辐射的能量为Ps4R2s Ws(2)单位时间内通过以太阳为中心的任意一个球面的能量都是Ps . 设太阳到地球的距离为rse，考虑到地球周围大气的吸收，地面附近半径为R 的透镜接收到的太阳辐射的能量为P R2 1Ps(3)4rse2薄凸透镜将把这些能量

28、会聚到置于其后焦面上的薄圆盘上，并被薄圆盘全部吸收.另一方面，因为薄圆盘也向外辐射能量. 设圆盘的半径为RD ，温度为 TD ，注意到簿圆盘有两亇表面，故圆盘在单位时间内辐射的能量为PD2 RD2TD4(4)显然，当PD P(5)即圆盘单位时间内接收到的能量与单位时间内辐射的能量相等时，圆盘达到稳定状态，其温度达到最高 . 由 (1)、 (2) 、 (3)、 (4) 、 (5)各式得2214TDRRsTs(6)12r 2 R2seD依题意，薄圆盘半径为太阳的像的半径Rs 的 2 倍，即 RD2Rs . 由透镜成像公式知RsRsf rse于是有(7)R2 Rsf(8)Drse把 (8)式代入 (

29、6)式得21R4TD1Ts(9)8 f 2代入已知数据，注意到 Ts (273.15ts ) K ，TD=1.4× 103K(10)即有tDTD273.15 1.1103 o C(11)八、 参考解答：1根据爱因斯坦质能关系，3H 和 3He 的结合能差为Bmn mpm3 Hm3 He c2(1)代入数据，可得B0.763MeV(2)2 3He 的两个质子之间有库仑排斥能，而3H 没有 . 所以 3H 与 3He 的结合能差主要来自它们的库仑能差 . 依题意，质子的半径为rN ，则 3He 核中两个质子间的库仑排斥能为ECk e2(3)2rN若这个库仑能等于上述结合能差，ECB ，则有ke2rN(4)2 B代入数据，可得rN 0.944 fm(5)3粗略地说，原子核中每个核子占据的空间体积是(2rN )3 . 根据这个简单的模型，核子数为 A 的原子核的体积近似为VA(2rN )38 ArN 3另一方面，当A 较大时，有V4R33由（ 6）式和（ 7）式可得 R 和 A 的关系为61/3RrN A1/3r0 A1/3其中系数1/36r0rN把 (5)式代入 (9)式得r01.17 fm由 (8)式和 (10)式可以算出208 Pb 的半径RPb6.93fm(6)（ 7）(8)(9)(10)(11)