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1、膆数的整除（3）最大公因数、最小公倍数肀教室姓名学号聿【知识要点】1、2、芆 几个数公有的因数， 叫做这几个数的公因数； 其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。自然数 a、 b 的最大公因数记作（ a，b）。3、4、芄 几个数公有的倍数， 叫做这几个数的公倍数； 其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。自然数 a、 b 的最小公倍数记作 a，b。5、6、螄 两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：螀 （1）（a， b）× a， b=a×b；莈 （2）若 a b，则 a b 与 b 的最大公因数就等于a 与 b 的最大公因数。莂 （3）a+b 与 b 的最大公因数，等于a
2、 与 b 的最大公因数。膃【典型例题】薀例1. 甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。膅解：由性质（1）得到乙数=168×4÷2428.螅 例 2. 将长为 90 厘米，宽为 42 厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？蚂解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。（90， 42） =6. 至少能剪90× 42÷（ 6×6） =105（块） .例
3、 3. 马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积 473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？芀解：473 与 407 的最大公因数是11，而 11 是质数，所以乙数是11，又 473=43× 11， 407 37 × 11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47× 11=517或 1× 477=477.膇 例 4. 有一种自然数，它加上1 是 2 的倍数，加上 2 是 3 的倍数，加上 3 是4 的倍数，加上4 是 5 的倍数，加上5 是 6 的倍数，加上 6 是 7 的倍数，则这种
4、自然数中除1 以外，最小数是多少？袃解：根据已知，若这个数分别加上1、2、 3、 4、 5、 6 是 2、 3、 4、5、6、7 的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2， 3， 4， 5， 6，7 的最小公倍数加上 1. 2， 3， 4，5，6，7=420，最小数是： 420+1=421。肂 【精英班】例 5、两个整数的最小公倍数是 1925，这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是 16，请写出这两个整数。肁解： 1925=5×5×7× 11，两个商都是 1925 的因数，互质，而且和为 16，所以这两个商分别为5、 11.即： 1925÷
5、;5=385，1925÷ 11=175.芈【竞赛班】例6、大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个环形花圃的周长。他俩的起步和走的方向完全相同。小明的平均步长54 厘米，爸爸平均步长 72厘米，由于两人的脚印有重合， 并且他们走了一圈后都回到起点， 这时雪地上只留下 60 个脚印，这个花圃的周长是多少米？芅解：根据题意从第一个脚印重合到下一个重合脚印点的路程长度是他们步长的最小公倍数。54，72=216，在这 216 厘米的路程中小明留下 216÷54=4 个脚印，爸爸应留下 216÷72=3 个脚印，由于两人最后重合了一个脚印， 所以雪地上实际只留下 4+3 1=6
6、 个脚印。周长： 216×（ 60÷6）=2160 厘米 =21.6 米。蒁【课后分层练习】螁 A 组：入门级1.2.肅 甲数是 36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是 4，乙数应该是多少？莄 解：甲数×乙数 =288×4，所以乙数 =288× 4÷ 36=32.3.4.袀两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126. 这两个数的和是多少？芇 解： 126=21×6 21× 2× 3，所以这两个数是21× 2 与 21× 3；或 21 与 21× 6，从而这两个数的
7、和是： 21× 2+21× 3=105 或 21+21×6=147.5.6.肇从运动场一端到另一端全长小红旗。现在要改成每隔96 米，从一端起到另一端每隔4 米插一面6 米插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面？蒂 解：因为 6， 4 =12，可以不拔出来的小红旗有96 ÷12+1=9（面）7.8.莀三位小朋友每人隔不同的天数到图书馆一次：甲隔2 天去一次，乙隔 3天去一次，丙隔 4 天去一次。上次他们在星期二在图书馆相遇，还要多少天他们才能再在图书馆相遇；相遇时是星期几？羈 解： 3， 4， 5 =60；还要 60 天再次在图书馆相遇。膈 60
8、÷7=8 周 4 天；相遇时是星期六。9.10. 袄 四个自然数的和为 1111，这四个数的公因数最大是几？肃 解： 1111=11×101，四个数的公因数必是其和的因数，故公因数最大不超过 101，又 1+2+3+5=11，所以 101， 202， 303， 505 这四个数的和为 1111，且它们的最大公因数为 101.螈 B 组：进阶级羅 1、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1 分、 1 分 15 秒和 1 分30 秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？羃 解：甲、乙、丙走一圈分别需 60 秒、 75 秒和 90 秒，因为要在起点相会，
9、即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是 60， 75，90 的公倍数。所求时间为 60，75，90=900（秒） =15（分）。蒃 2、用自然数 a 去除 498， 450，414，得到相同的余数， a 最大是多少？葿 解：因为 498， 450，414 除以 a 所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被 a 整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是 （ 48，36，84）=12。羇 3、用 60 元钱可以买一级茶叶 144 克，或买二级茶叶 180 克，或买三级茶叶 240 克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋， 要求每袋的价格都相等， 那么每袋的
10、价格最低是多少元钱？莅 解：（144， 180，240）=2×2×3=12，即每 60 元的茶叶分装成 12 袋，每袋的价格最低是 60÷12=5（元）。7、8、袂 一组五个连续自然数的和能分别被 2，3，4，5，6 整除，求满足此条件的最小一组数。艿 解：由于 2， 3， 4，5，6 的最小公倍数是 60，得这五个数的和为 60 的倍数，即至少为 60，60÷ 5=12，得 10+11+12+13+14=60,故满足条件的最小一组数为 10、11、12、13、14。肈 C 组：挑战级蒄 1、在一个 30×24 的方格纸上画一条对角线（见下页上
11、图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？芁 解：（ 30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成 6 份，即分成 6×6 个相同的矩形，那么每个矩形是由（ 30÷6） × （ 24÷6） =5×4（个）罿 小方格组成。在 6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线， 所以经过 5 个格点（见左下图） 。在对角线所经过的每一个矩形的 5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。袆 所以，对角线共经过格点 （30，24）-1=5（个）。袆 2、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你
12、的 7 倍，过几年是你的 6 倍，再过若干年就分别是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？螁解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的 7 倍，说明他们的年龄差是 6 的倍数；同理，他们的年龄差也是 5，4，3，2，1 的倍数。由此推知，他们的年龄差是 6，5，4，3， 2 的公倍数。 6 ，5，4，3，2=60 ，螀 爷爷和小明的年龄差是 60 的整数倍。考虑到年龄的实际情况， 爷爷与小明的年龄差应是 60 岁。所以现在小明的年龄 =60÷（7-1 ）=10（岁），爷爷的年龄 =10×7=
13、70 （岁）。羇 3、已知 a 与 b， a 与 c 的最大公约数分别是 12 和 15，a，b，c 的最小公倍数是 120，求 a，b，c。羄 解：因为 12，15 都是 a 的约数，所以 a 应当是 12 与 15 的公倍数，即是 12 ， 15=60 的倍数。再由 a ，b，c=120 知， a 只能是 60 或 120。a ，c=15 ，说明 c 没有质因数 2，又因为 a ， b， c=120=2 3×3×5，所以 c=15。膀 因为 a 是 c 的倍数，所以求 a，b 的问题可以简化为： “a是 60 或 120，（ a，b）=12，a ，b=120 ，求 a，b。”当 a=60 时， b=（ a，b）×a ，b ÷a=12×120÷60=24；当 a=120 时， b=（a， b）× a ，b ÷a=12×120÷120=12。所以 a， b， c 为 60，24，15 或 120， 12，15。