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1、5时间序列平滑预测法5.1 次移动平均法和一次指数平滑法5.3线性二次指数平滑法5.4布朗二次多项式（三次）指数平滑法5.5温特线性f口季节性指数平滑法时间序列的类型假定经济变量的时间序列无循环变动的影响1、水平趋势型无上升或下降趋势，也无季节影响丫=屮丫二aUYt =(a + bt + ct2)DEtabc 常数，c$0无季节影响。a b常数b/0无季节影响2、线性趋势型时间序列的长期趋势值是时间t的一次函数,丫 二(a+bt)+h.Yt 二(a + bt)It3、二次曲线趋势型时间序列的长期趋势值是时间t的二次函数,4、水平趋势季节型时间序列无上升或下降趋势，但受季节影响Yt=a + St
2、+ItYt =a>SteIta b常数b/05、线性趋势季节型时间序列的长期趋势值是时间t的一次函数，且受季节 影响Yt=(a+bt)+St+It |Yt=(a + bt)>St>It6、曲线季节趋势型时间序列的长期趋势值与时间t的曲线函数成正比，且 受季节影响，以指数函数为例。X =abt+St+ItX =abt*St*Ita、b正常数51 一次移动平均法和一次指数平滑法一、一次移动平均法的基本原理及应用收集-组观察值（每组包含的观察值个数确定）计算这组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。设时间序列为X移动平均法可以表示:耳+1二（再+也+心+1）/"
3、= ! £兀N t-N+l式中：兀为最新观察值;刁+1为下一期预测值;F亠组t+1_N N在移动平均值的计算中包括的过去观察值 的实际个数，必须一开始就明确规定。每出现一个新观察值，就要从移动平均中 减去一个最早观察值，再加上一个最新观这一新的移动平均值就作为下一期的预测值。(1) 移动平均法有两种极端情况在移动平均值的计算中包括的过去观察值 的实际个数N=l,这时利用最新的观察值 作为下一期的预测值；N=n,这时利用全部个观察值的算术平 均值作为预测值。有重 心严 N-的 的来大带 用所 选性 T机 时随 大由 较滑 素平 因的 机度 随限 的大据较。 数于差 当利偏当数据的随机因
4、素较小时t选用小的N有 利于跟踪数据的变化，减少预测值的滞后期 城。好的预测值（2）移动平均法的优点计算量少；移动平均线能较好地反映时间序列 的趋势及其变化。一、一次移动平均法的基本原理及应用例1利用下表数据运用一次移动平均法对12月份的销售额进行预测。月份观察值（销售额） （万元）xi1200213531954197.55310617571558130922010277.511235123个月移动平均 值F t( N=3)5个月移动平均 值F t( N=5)176.7175.8234.2207.5227.5202.5213.3206.5153.3193.5168.3198209.2191.5
5、244.2203.5(3) 移动平均法的两个主要限制:计算移动平均必须具有竹过去观察值， 当需要预测大量的数值时，必须存储大量数据；:N个过去观察值中每一个权数都相等，早于 (t-N+1)期的观察值的权数等于0,而实际上往往是 最新观察值含更多信息，应具有更大权重。:过去所有数据都应该保留，平均时 赋予每个数据一个权重，随着时间推移，这些权 重单调减少，逐渐趋于0。二、一次指数平滑法的基本原理及应用利用时间序列前t期的观察值x1,x2.xt预测第t+1期的值Xt+1时，赋予第i期的杖重另：®t+ii(i = 1,2,t), CD1)CD2 -)COtFt+1CD + C()2 +CD
6、 |Xt + CO2X t_j + + CO tX j权重不好确定；需要数据太多；计算繁琐T 删的 各，Hu 前lffi 向t- 期第 F刖， 当潮 自Ml :rn> 法， 方降 的下 一g二#二i 產律： 权规为 取数次 动指依 自按重a, OC0, CCp2,(a > 0 0 < p < 1) 为计算方便，应使权重之和等于t t+oo cc+ap+ap2 + . = j1-P=1自当前期开始逐渐向前各期权重依次为a, a(la), a(l a)2(2)第t+1、t期的预测值可表示为:Fj+i =axt +oc(l-oc)xt_1 +oc(l-oc)2xt_2 +E
7、= ocxj +a(l-a)xt_2 +a(l-a)2xt_3 + (1) - (1-a) (2)等于E+i - (1 - a)Ft=axtH Ft+1 = axt +(1-a)Ft这就是指数平滑法的通式，只需要一个最新观测值、 最新预测值和（I值，就可以进行预测了。进一步整理得：耳+l=H+OC（Xt_ 耳）耳+1 =耳 + ocet最新预测值二前一期预测值+前期预测值产生的误差的修正值。由一次指数平滑法的通式可见: 一次指数平滑法是一种加权预测。它既不需要存储全部历史数据，也不需要存储一 组数据，从而可以大大减少数据存储问题，甚至有 时只需一个 、 和 ，就可 以进行预测。它提供的预测值是
8、前一期预测值加上前期预测值 中产生的误差的修正值。一次指数平滑法的初值的确定有几种方法：取第一期的实际值为初值；取最初几期的平均值为初值。F尸最初几期的平均值一次指数平滑法比较简单，但也有问题。 问题之一便是力图找到最佳的a值，以使均 方差最小，这需要通过反复试验确定。例2利用下表数据运用一次指数平滑法对1981年1 月份我国平板玻璃的产量进行预测（取a =0.3, 0.5 , 0.7）。并计算MSE选择使其最小的ar进行预 测。拟选用cr 二0.3, a =0. 5, a =0. 7试预测。结果列入下表:时间序号实际观测值1980.011203.81980.022214.11980.0332
9、29.91980.044223.71980.055220.71980.066198.41980.077207.81980.088228.51980.099206.51980.1010226.81980.1111247.81980.121981.0112259.5指数平滑法ar=0.3cr=0.5*0.7203.8203.8203.8206.9209.0211.0213.8230.0224.2216.8226.9223.9218.0223.8221.7212.1211.1205.4210.8209.5207.1216.1219.0222.1213.2212.8211.2217.3219.8222
10、.1226.5233.8240.1由上表可见：a =0.3, or =0.5, a =0.7时，均方误差分别为：MSE 二丄 F (214.1 - 203.8)2 + +(259.5 - 240.1)21 = 287.111- -MS297. 43 胚牟233. 36K 因此可选a =0. 7作为预测时的平滑常数。1981年1月的平板玻璃月产量的预测值为:0.7 x 259.5 + 0.3 x 240.1 = 253.685. 2线性二次移动平均法一、线性二次移动平均法（1）基本原理一次移动平均来预测一组具有趋势的数据时 预测值（估计值）往往高于或低于实际值， 线性增加的时间序列一偏低 线性减
11、小的时间序列一偏高A为了避免这种滞后误差，发展了线性二次移动平均法。这种方法的基础是计算二次移动平均,即在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均。+ 兀2 + + Xf_N+l N(5.1)(5.2)(2)计算方法 线性二次移动平均法的通式为:2Sf+ S-i + Sj2+Sf_N+lNat=S；+S；-S；=2S；-S；(5.3)22芮(ST”)-每期趋绷变化量(5.4)其中：(5.1) 式用于计算一次移动平均值；(5.2) 式用于计算二次移动平均值；(5.3) 式用于对预测(最新值)的初始点进 行基本修正，使得预测值与实际值之间不存 在滞后现象；N-1(5.4) 式中用-S：
12、)除以丁，这是因为移动平均值是对N个点求平均值，这一平均值应 落在N个点的中点。如果用一次移动平均S：进行 预测，预测值比实际值滞后(3)(4)(1)(2)一次移动误差期数实际值平均值(N = 3)12243642486251082612102714122816142918162(5) 二次移动 平均值(N=3)(6) 误差 (3)-(5)(7) 总预测值(3)+(6)(8) 误差 (2)-(7)62100821201021401221601421801、线性二次移动平均法的应用下表的数据用来说明线性二次移动平均法的应用第(2)栏：4个时期的一次移动平均值(5.1)第(3)栏：二次移动平均值(
13、5.2)第(4)栏：a值(5.3)第(6)栏：超前一个时期(m=l)的预测(5.5)根据表中数据，利用第25期的值来预测26期和27 期的库存量？(1)(2)(3)(4)(5)(6)期数其产品(1)的 4（2）的4个m二1时的的库存量个时期移时期移动a值b值a +b m值（万件）动平均值平均值（滞后一个时期）1140215931364157148.005173156. 256131149. 257177159. 50153.250167. 7504.1678188167. 25158.062 5176.437 56.12517211180175.25169.875180. 6253.58318
14、912160168.25170.125166.375-1.25018413182175.25173.3125177.18751.29216514192178.50174.312182.68752.79217615224189. 50177. 875201.1257. 75018016188196. 50184.9375208.06257. 70820917198200. 50191.250209. 7506.16721618206204. 00197. 625210.3754.25021619203198.75199.9375197.5625-0.79221520238211.25203.62
15、5218.8755.08319721228218. 75208.1875229.31257.04222422231225.00213.4375236. 56257. 70823623221229.50221.125237.8755.58324424259234. 75227. 000242.5005.16724325273246. 00233.8125258.18758.1252485.3线性二次指数平滑法一次移动平均法的两个限制因素在线性二 次移动平均法中也存在，线性二次指数 平滑法只利用三个数据和一个a值就可进 行计算；在大多数情况下，一般更喜欢用线性二次 指数平滑法作为预测方法。一、布朗
16、单一参数线性指数平滑法似，因为当趋势存在时，一次和二次 平滑值都滞后于实际值，将一次和二 次平滑值之差加在一次平滑值上，则 可对趋势进行修正。计算公式：S； - axt + (1- Q)S；_iSnaS： + (l-Q)S：s；为-次指数平滑值；S：为二次指数平滑值; at - 2S； - S；1-aFt+m = a+bm加为预测超前期数初值的确定S；=S； = x1s；=前几期观察值的平均值下表的数据用来说明线性二次移动平均法的应用根据下表，取a=02,预测第25期和26期的销售量期数(1)销售量(万件)(2)一次指数平滑(3)二次指数平滑1143143.000143.0002152144.
17、800143.360316114& 040144.2964139146.232144.6835137144. 368144.6246174150. 308145.7617142148.647146.3388141147.117146.4949162150. 094147.21410180156.075148.986(4)a值2 (2)-(3)(5) b值(6)a +b值(4) + (5)(滞后一个时期)146.2400. 360 00151.7840. 936 00147147. 7810.387 20153144.1470.005 95148158.8561.136 96144150
18、.9560.577 24156147. 7410.155 92151152. 9740. 720 04148163. 1641. 772 2815411164157. 660150.64212171160.328152.64213206169.462156.00614193174.170159.63915207180.736163.85816218188.189168.72417229196.351174.35018225202.081179.81619204202.465184.34620227207. 372188.95121223210. 497193.26022242216.79819
19、7. 96823239221.238202.62224266230. 191208.13625164.5991. 734 82165168.0141.912 45166182.9193. 364 04170188.7013.632 74186197.6134.219 38193207.6530.866 07202218.4525. 525 31212224.3465. 566 21214220.5844. 529 73230225. 7924. 605 19225227. 7354. 309 30231235.6284.707 54232239.8554.654 11241252.2465.
20、513 77245258a24 = 2S?4S24=2X 230.191-208.136=252.2460 2b?4二匸丽身恋：）=(230.191-208.136)/4=5.51375S；4 =230.191S；4 =208.136鸟6 = a24 + 24 % 2=252.246+5.51375 X 2=263.27 (万件)二、霍尔特双参数线性指数平滑法其基本原理与布朗线性指数平滑法相 似，只是它不用二次指数平滑，不是在一 次指数平滑的基础上再进行一次指数平 滑，而是对趋势直接进行平滑。两个参数a和y (0<ay<l)St = axt +(1-a)(St_1 + bt-1)
21、mbt =y(S(-S(_l)+ (l-Y)bt_11、用St/古计St时给St_i加上趋势增量bt_i来修正St， 消除了滞后性。一对数据进行平滑2、估计趋势增量-时，用丫对相邻两次平滑之差 进行修正，并把修正值加上前期估计趋势增量 4_1乘以1丫。一对趋势进行平滑t-kb严人2-A】人2=£ E XiK i=tk+1初值的确定：只有一期数据时S=Xi b1=0可以利用前两期数据取值S=Xi b=X2X利用更多的信息，设已有观察值的个数22k（k为 自然数）取前k期数据计算其平均值，记为釦取后k期数据计算其平均值，记为A? A厂号S5.4布朗二次多项式（三次）指数平滑法基本原理：当
22、数据的基本模型具有二次、三次或高次 幕时，则需要用高次平滑形式。从线性平滑过 渡到二次多项式平滑，基本途径是再进行一次 平滑（即三次平滑），并对二次多项式的参数 作出估计。类似，也可以由二次多项式平滑过 渡为三次或高次多项式平滑。计算公式：S； ocxt + (1 _ & ) S； S：=aS；+Q_a)S：_ SFS,+ (1-a)S：i 再=3S 3S：+S；?5a)T(108ss+(4xs 2(laI C1、(s 丁 2S+S)1 2 d+ubs+门 cs5.5温特线性和季节性指数平滑法一、温特线性和季节性指数平滑法的基本原理 口温特线性和季节性指数平滑法利用三个方 程式，严中每一个方程式都用于平滑模型的三 个组成部分（平稳的、趋势的和季节性的） 且都含有一个有关的参数。0<a <10 < / < 10<0<1温特法的基础方程式:St = Qy + (l-Q)(S/_i + q_i) 勺= 7(S厂 s_ )+(1-丫)切_1XIt =0( + (1 - 0)4-厶其中，厶为季节的长度；/为季节修正系数。使用此方法时一个重要问题是如何确 定a、0和y的值，以使均方差达到最少。 通常确定cr、0和V的最佳方法是反复试 验法。