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1、第2课 命题及其关系、充分条件与必要条件1命题及其关系a命题真假的判断(1)(2019汇编，10分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x(0，2都成立，则f(x)在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_(2018北京)已知下列三个命题：a：若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；b：若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；c：直线xy10与圆x2y2相切其中真命题的序号是()AabcBabCacDbc答案：f(x)sinx C解析：答案不唯一，如f(x)sinx, f(x)x(x3)等a.球的体积公式是Vr3(其中r是球的半径)，“若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩
2、小到原来的”是真命题；b如两组数据分别为“1，2，3”与“1，1，4”，它们的平均数相等，都为2，但前面一组数据的方差为s2×(12)2(22)2(32)2，后一组数据的方差为s2×(12)2(12)2(42)22，命题b是假命题；c圆心到直线的距离为，等于圆的半径，命题c是真命题故选C.b四种命题的关系及真假判断(2)(经典题，9分)写出命题“若x23x20，则x1且x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假答案：见解题过程解：原命题是“若x23x20，则x1且x2”，它的逆命题是“若x1且x2，则x23x20”，是真命题；(3分)否命题是“若x23x20，则x1
3、或x2”，是真命题；(6分)逆否命题是“若x1或x2，则x23x20”，是真命题(9分)(3)(经典题，5分)原命题为“若<an，nN*，则an为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，真，真 B假，假，真 C真，真，假 D假，假，假答案：A解析：若<an，则anan1<2an，an1<an，an为递减数列，故原命题为真命题，原命题的逆否命题也为真命题；若an是递减数列，则an1<an，anan1<2an，<an，故原命题的逆命题是真命题，原命题的否命题也是真命题故选A.2充分条件与必要条件a充分条件与必要条件
4、的判断(4)(2019汇编，15分)设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()(2018北京)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件若p：0，qx25x60，则¬q是¬p的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件已知Sn是等差数列an的前n项和，则“Sn<nan对n2恒成立”是“数列an为递增数列”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案：CBC解析：因为a，b均为单位向量，所以|a|b|1.充分性：若|a3b|3ab|，则(a3b)
5、2(3ab)2，即12a·b0，所以a·b0，所以ab，充分性成立必要性：若ab，则a·b0，所以(a3b)2(3ab)2，即|a3b|3ab|，必要性成立所以“|a3b|3ab|”是“ab”的充分必要条件答案选C.p：由0，得(x3)(x5)0，且x30，解得5x3；q：由x25x60，得2x3.令Ax|5x3，Bx|2x3，BÜA，p是q的必要不充分条件，¬q是¬p的必要不充分条件故选B.因为Sn是等差数列an的前n项和，所以Snna1d，ana1(n1)d，所以Sn<nan对n2恒成立na1d<na1(n1)d对n2
6、恒成立n(n1)d>0对n2恒成立d0.所以“Sn<nan对n2恒成立”是“数列an为递增数列”的充分必要条件，故选C.b命题成立的充分、必要、充要条件的探求问题 (5)(经典题，5分)设a，bR，则使ab成立的一个充分不必要条件是()Aa3b3Blog2(ab)0Ca2b2D.答案：B解析：求使ab成立的一个充分不必要条件，即求一个条件是ab成立的充分不必要条件，即求一个条件能够推出ab成立，但反之不成立对于选项A，a3b3是ab的充要条件；对于选项B，log2(ab)0的等价条件是ab1，“ab1”是“ab”的充分不必要条件；对于选项C，D，易得a2b2和均为ab的既不充分也不
7、必要条件故选B.c根据充分条件与必要条件求参数或其范围(6)(2018福建三校联考，5分)设命题p：x2(2a2)xa22a<0，命题q：lg(2x1)1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.答案：A解析：由x2(2a2)xa22a<0，得(xa)x(a2)<0，解得axa2.设命题p对应的集合为A，则Ax|axa2由lg(2x1)1，得lg(2x1)lg10，解得x.又因为2x1>0，所以<x.设命题q对应的集合为B，则B.因为p是q的充分不必要条件，所以AÜB，所以解得a，故选A.随堂普查练21(2017北京，5分
8、)能够说明“设a，b，c是任意实数若abc，则abc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_答案：1，2，3解析：当a1，b2，c3时，满足abc，得到abc.2(经典题，5分)下列四个命题：“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若k>0，则方程x22xk0有实根”的逆否命题；“若ab0，则a0”的否命题，其中真命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案：C解析：命题“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形是等边三角形”，是真命题；命题“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角
9、形，面积不相等”，是假命题；命题“若k>0，则方程x22xk0有实根”为真命题，它的逆否命题为真命题；命题“若ab0，则a0”的否命题为“若ab0，则a0”，是假命题故选C3(2018天津，5分)设xR，则“<”是“x3<1”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：A解析：(法一)因为<，所以<x<，解得0<x<1，即不等式的解集为x|0<x<1因为x3<1，且yx3在定义域内单调递增，所以可得不等式的解集为x|x<1因为x|0<x<1是x|x<1的真子集，所以
10、“<”是“x3<1”的充分不必要条件答案选A.(法二)同方法一，可得<的解集为x|0<x<1充分性：由0<x<1，可得x3<1，充分性成立必要性：当x0时，满足03<1，不满足0<x<1，必要性不成立所以“<”是“x3<1”的充分不必要条件答案选A.4(经典题，5分)已知方程x2(2k1)xk20，则使方程有两个大于1的实数根的充要条件k的取值范围为_答案：(，2)解析：令f(x)x2(2k1)xk2，由函数f(x)的图像可知，方程x2(2k1)xk20有两个大于1的实数根等价于解得k2.故k2是使方程x2(2k1)
11、xk20有两个大于1的实数根的充要条件5(2018湖北孝感八校教学联盟期中，12分)已知命题p：|4x|6，q： 0.()若p是¬q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围；答案： (，8)(21，)解：由|4x|6，得6x46，解得2x10，所以命题p：2x10.设满足条件p的元素构成的集合为A，则Ax|2x10由0，得x，所以命题q：x.设满足条件q的元素构成的集合为B，则B.(4分)命题¬q：x<或x>.设满足条件¬q的元素构成的集合为C，则C .因为p是¬q的充分而不必要条件，所以AÜC，所以>10或<2，解得m2
12、1或m8.所以实数m的取值范围为(，8)(21，)(8分)()若¬q是¬p的必要而不充分条件，求实数m的取值范围答案： 3，16解：(法一)命题¬p：x<2或x>10.设满足条件¬p的元素构成的集合为D，则Dx|x<2或x>10因为¬q是¬p的必要而不充分条件，所以DÜC，所以或解得3m16.所以实数m的取值范围为3，16(12分)(法二)因为¬q是¬p的必要而不充分条件，所以p是q的必要而不充分条件，所以BÜA，所以或解得3m16.所以实数m的取值范围为3，16(12分)