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1、对一道课本习题的延伸与探究MANBP图（2）MANBP图（1）八年级数学（下）北师大版216页B组第2题 ：我们在本章复习题A组第7题中已经证明，当直线MANB，并且点P在MA和NB之间时，有APB=MAP+NBP（如图（1）.当点P在MA和NB之外时（如图（2）会有什么结果？你还能就本题作出什么猜想？易证当点P在MA和NB之外时，有MAP=NBP+APB（证明略）.师：你还能就本题作出什么猜想？（同学们这时议论纷纷，情绪一下便调动起来了）MANBP图（4）生：当点P在MA和NB之间（如图（3）时，有MAP+PBN+APB=360°.图（3）MANBP生：当点P在MA和NB之外时（如
2、图（4），有NBP=MAP+APB.师：很好.图（2）与图（4）中的结论虽然形式上不一样，但它们有本质的不同吗？生：没有，可看作是同一种类型.师：如果在MA和NB之间有两个点P1、P2呢？又会有什么样的结论呢？（组织学生讨论，同学们这时积极性更高.）师：这时，P1、P2两点有哪几种位置关系？生：有两种,如图（5）和图（6）所示：MANBP1图（5）P2图（6）MANBP1P2生：在图（5）中，有AP1P2+P1P2BMAP1NBP2=180°（证明略，虚线表示辅助线，以下同）在图（6）中，有MAP1+AP1P2+P1P2B+NBP2=540°师：还有没有其他情况？生：P1、
3、P2两点的位置还可能是如图（7）或图（8）所示，BP2MANP1图（8）P2MANBP1图（7）在图（7）中，有NBP2+P1P2B+MAP1AP1P2=180°在图（8）中，有MAP1+AP1P2+NBP2P1P2B=180°MANBP1图（9）P2师：非常好！P1、P2两点的位置除了在MA和NB之间外，还有没有其他情况呢？生：P1、P2两点的位置还可能是如图（9）所示,这时有MAP1+AP1P2+P1P2BNBP2=180°.一堂课到这里时间也差不多了，所得结果甚至超出了我的预期想象，同学们积极参与，通过动脑、动手、自主探究、互相合作，获得了知识，这正是新课标
4、的目的与要求.虽然快下课了，可同学们似乎还意犹未尽，为了进一步激发学生学习数学的人情，我又提出如果增加到3个点、4个点n个点，情况又会是怎样的呢？有兴趣的同学不妨试试看. 几天后，几个对数学非常感兴趣的“尖子生”说他们已经探索出了规律.现把他们的思想整理后在这里与大家交流. 随着点的增多，并考虑到规律性，主要分为三种类型：第一种：如图（1）和图（5）所示的这一类型.当MA和NB之间有3个点（1、2个点的情况上面已讨论）P1、P2 、P3时，如图（10），这时有：AP1P2+P1P2P3+P2P3BMAP1NBP3=360°=（31）180°MANBP1图（10）P2P3MA
5、NBP1图（11）P2P3P4当MA和NB之间有4个点P1、P2 、P3、P4时，如图（11）这时有：AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+P3P4BMAP1NBP4=540°=（41）180°依此类推，当MA和NB之间有n个点P1、P2 、P3、P4Pn（顺次连接点A、P1、P2 、P3、P4Pn、B、A所组成的多边形为凸n边形）时,有AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+ +Pn1PnBMAP1NBPn=（n1）180°()，显然当n=1、2时()式都成立.第二种：如图（3）和图（6）所示的这一类型. 当MA和NB之间有3个点（1、2个点的情况上面已讨论）
6、P1、P2 、P3时，如图（12），有MAP1+AP1P2+P1P2P3+P2P3B+NBP3=720°=（3+1）180°图（13）MANBP1P3P2P4P2图（12）MANBP1P3当MA和NB之间有4个点P1、P2 、P3、P4时，如图（13），有MAP1+AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+P3P4B+NBP4=900°=（4+1）180°依此类推，当MA和NB之间有n个点P1、P2 、P3、P4Pn（顺次连接点A、P1、P2 、P3、P4Pn、B、A所组成的多边形为凸n边形）时,有MAP1+AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+Pn1P
7、nB+NBPn=（n+1）180°()显然当n=1、2时()式都成立. 第三种：如图（4）和图（9）所示的这一类型.当MA和NB之外有3个点P1、P2 、P3时，如图（14），有MANBP1图（14）P2P3MANBP1图（15）P2P3P4MAP1+AP1P2+P1P2P3+P2P3BNBP3=360°=（31）180°当MA和NB之间有4个点P1、P2 、P3、P4时，如图（15）有：MAP1+AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+P3P4BNBP4=540°=（41）180°依此类推，当MA和NB之间有n个点P1、P2 、P3、P4Pn
8、（顺次连接点A、P1、P2 、P3、P4Pn、B、A所组成的多边形为凸n边形）时,有MAP1 +AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+ +Pn1PnBNBPn=（n1）180°()，显然当n=1、2时()式都成立. 除了以上三种类型外，还有其他类型，但由于点的增多，情况比较复杂，在这里就不继续展开讨论了.以上是笔者在教学中的一些收获.由此看来，只要老师深入挖掘教材、创造性地利用教材，在课堂上合理创设问题情境，充分调动学生的学习积极性，既可培养学生分析问题的能力又可提高学生观察问题、探索问题、合作交流的能力，同时又让不同的人获得了不同层次的进步，从而又进一步激发了学生学习数学的热情.