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1、ABC的三边 BC、CA、AB或它们平面几何的几个重要的定理定理1若直线I不经过 ABC的顶点，并且与 的延长线分别交于 P、 Q、 R，则BP CQ AR ,1PC QA RB梅涅劳斯定理：注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件;注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘;例2点P位于 ABC的外接圆上 证明点A1> B1> C1共线；将上面三条式子相乘，且 PAC PBC , PAB PCB, PCABA,BPcosPBCCA1CPcosPCBCB1CPcosPCAAB,APcosPACAC,APcosPABB6PBcosPBA证：易得:平面几
2、何的几个重要定理PBA 180可得BA1 CB1CAi ABiAC1BC1依梅涅劳斯定理可知 A1> B1> C1三点共线;塞瓦定理塞瓦定理:设P、Q、R分别是 ABC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是：聖 C3PC QAAR iRBBQ、CR相交于点M，贝U:ABPS BMPS ABMS ACPS CMPS ACM同理：QAARRB证：先证必要性：设AP、BP S ABPS BMPPC S ACPSS BCMS ABMS ACMS BCM以上三式相乘，得：BE C2PC QABP CQ AR再证充分性：若1,设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于
3、 R ,PC QA RB由塞瓦定理有：1，PC QA RB于是:竺=塑R B RB因为R和R都在线段AB上，所以R必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点点M ;例1:证明：三角形的中线交于一点;【练习2】证明：锐角三角形的 高交于一点;C1BiC1B1C1AB1又 MC即要证明:证：作CK AB下证CK、BM、AN三线共点，且为 P点,要证CK、BM、AN三线共点，依塞瓦定理即要证：AM CN聖iMC NB AKCNAM BKAK NBAMLAKCAM ALAK ACBNLBKCBK BCNB BL即要证JAk BC iAC BL理可知：ACCK、BM、AN三线共点，且为 P点CP AB依三
4、角形的角平分线定BCBL平面几何的几个重要定理-托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的即.设四边形ABCD内接于圆，则有:'AB CD AD BC AC BD；面积之证：在四边形ABCD内取点E,使 BAE CAD， ABE ACD 贝U: ABE和 ACD相似AB BE一、直接应用托勒密定理CD AC BEAB AE又且BAC EADAC AD例1如图和1匹里 AD BC AC ED（A不与ADC重合）， 求证：PA=PB- PC.AB CD AD BC AC （BE ED）A
5、B CD AD BC AC BD且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立;分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗.若借助托勒密定理论证，则有 PA- BC=PB AC PC- AB, AB=BC=AC 二 PA=PB+P.C、完善图形借助托勒密定理例2证明“勾股定理”：在 Rt ABC中, Z B=90°,求证：AC=AB+ BC证明：如图，作以RtABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD显然ABC是圆内接四 边形.由托勒密定理，有孑bAC- BD=AB CD+ AD- BC 又 ABCD是矩形， AB=CD AD=BC AC=B
6、D 把代人，得aC=aB+bC.例3如图，在 ABC中, Z A的平分 线交外接Z圆于 D,连结BD求证：AD- BC=BD(AB + AC).证明：连结CD依托勒密定理,有 AD- BC= AB- CD AC- BDvZ 仁/2,二 BD=CD故 AD - BC=AB BD+ AC- BD=BD（A母 AC）.三、构造图形借助托勒密定理例 4 若 a、b、x、y 是实数，且 a2 + b2=1, x2 + y2=1.求证：ax+ by< 1.证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt ACB和Rt ADB使 AO a, BC=b BD= x, AD= y.由勾股定理知a、b、x、
7、y是满足题设条件的.据托勒密定理，有 AC- BD+ BC- AD=AB CDv CDC AB= 1 ,' ax + by< 1.四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理例5已知a、b、c是厶ABC的三边，且a2=b(b + c)，求证：Z A=2/ B.分析：将a2=b(b + c)变形为a - a=b - b+ be,从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b,两对角线为a, 底边为c.DC DA证明：如图，作 ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D,连结BD AD=BC/ ABDM BAC又/ BDA2 ACB对同弧),/ 仁/2.依托勒密定理，有 BC
8、- AD=AB CM BD- AC. 2 2而已知 a =b(b + c)，即 a - a=b - c + b ./ BAC=Z ABC五、巧变形妙引线借肋托勒密定理例 6 在厶 ABC 中，已知/ A：Z B：Z C=1: 2 : 4,分析：将结论变形为AC- BCAB- BC=AB AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托 勒密定理，进而构造圆内接四边形.如图，作 ABC的外接圆，作弦 BD=BC边结AD CD在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有 AC- B» BC- AD=AB CD易证 AB=AD CD=AC 二 AC- BC+ BC- AB=AB AC，a1.已知 ABC中，/ B=2/ C。求证：aC=aB+AB BC。【分析】过A作BC的平行线交 ABC的外接圆于D,连结BD贝U CD=DA=ABAC=BD由托勒密定理，AC- BD=AD BC+CDAB2. 已知正七边形A1A2A3A4A5A5A7oL 11求证so（第21届全苏数学竞赛）