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1、,华师大九年级数学下册,27.1.2.圆的对称性,第2课时 垂径定理,学习目标,理解并掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？.(精确到0.1米),赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,A,B,CD是O的直径，过直径上任一点P作弦ABCD，将O沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？,?,O,A,B,D,C,P,线段： AP=BP,弧：,动手
2、操作，观察猜想.,问题1. 垂直于弦的直径有什么特点？,如图,理由是:,连结OA,OB,则OA=OB., CDAB,AP=BP AOC= BOC,由 CD是直径, CDAB,AP=BP,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,A,B,D,C,P,定理：,错,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。,判断题：(1)过圆心的直线平分弦(2)垂直于弦的直线平分弦(3)O中，OE弦AB于E，则AE=BE,题设,结论,错,对,1半径为4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 .2O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 .3半径为2
3、cm的圆中，过半径OC中点E且 垂直于这条半径的弦AB长是 .,8cm,CDAB,问题2 平分弦的直径有什么特点？,如图在O中，直径CD交弦AB于点P，AP=BP,你能发现直径CD与弦AB有什么关系？图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,发现图中有:,由 CD是直径, AP=BP, P,平分弦 的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧;,（不是直径）,推论1：,问题3：平分弧的直径有什么特点？,由 CD是直径, AP=BP,CDAB,平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。,推论2：,A,B,D,C,P,问题4：弦的垂直平分线有什么特点？,
4、 CD是直径, AP=BP,由CDAB,弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧。,推论3：,P,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。,垂径定理,理解记忆,推论2：,推论1：,推论3：,驶向胜利的彼岸,挑战自我,1、判断： (1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧。 （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 （4）弦的垂直平分线一
5、定平分这条弦所对的弧。 （5）平行弦所夹的弧相等。 （6）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。,1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,驶向胜利的彼岸,求赵州桥桥拱半径的问题,解得：R279（m）,B,O,D,A,C,R,求赵州桥桥拱半径的问题,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心
6、O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB 相交于点C，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是弧AB的中点，CD 就是拱高,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到弦AB的距离（弦心距）为3cm，求O的半径,O,A,B,解：,答：O的半径为5cm.,在RTAOE中,E,过点O做OE AB于E,连结OA,已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。试说明：ACBD。,证明：过O作OEAB，垂足为E，则 AEBE，CEDEAECEBEDE,E,检测, ACBD,3 已知O的直径是50 cm，O的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm，求弦AB与CD之间的距离。,C,D,20,15,25,25,24,7,讲解,C,D,F,EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm,请你谈谈这节课的收获和体会。,