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1、圆的基本性质,圆心,半径,2.不在同一直线上的三个点确定一个圆。,圆的确定,点与圆的位置关系,你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？,如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： 点在圆上 d=r 点在圆内 dr,O,A,B,C,点与圆的位置确定,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。,问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？,C90,ABC是锐角三角形,ABC是钝角三角形,垂直于弦的直径,及其推论,圆是轴对称图形，每一条 都是它的对称轴.,直径所在的直线,圆是中心对称图形,圆还具
2、有旋转不变性.,圆的对称性,从特殊到一般,想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,观察右图，有什么等量关系？,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC弧BC, AEBE 。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。,垂直于弦的直径,垂径定理,垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,定理辨析,练习,若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用
3、a表示，这三者之间有怎样的关系？,变式1：AC、BD有什么关系？,变式2：ACBD依然成立吗？,变式3：EA_, EC=_。,OA=OB,OC=OD,变式练习,如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,辅助线,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。,想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
4、；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。,推论1,如图，CD为O的直径，ABCD，EFCD，你能得到什么结论？,推论2,弧AE弧BF,圆的两条平行弦所夹的弧相等。,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。,猜想与证明,如图，AOBAOB，OCAB，OCAB。猜想：弧AB与弧AB，AB与AB，OC与OC之间的关系，并证明你的猜想。,定理 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。,在同圆或等
5、圆中，,圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。,推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。,在同圆或等圆中(前提),圆心角相等（条件）,定理推论,把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角。1的圆心角所对的弧叫做1的弧。,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,一般地，n的圆心角对着n的弧。,弧的度数,圆周角,圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。圆心角: 顶点在圆心的角.,看清要点,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,定理,圆周角定理,分类讨论,完全归纳法
6、,数学思想,1、已知AOB75，求： ACB,2、已知AOB120，求： ACB,3、已知ACD30，求： AOB,4、已知AOB110，求： ACB,推论,定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。,弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,如图，比较ACB、ADB、AEB的大小,同弧所对的圆周角相等,如图，如果弧AB弧CD，那么E和F是什么关系？反过来呢？,等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等,如图，
7、O1和O2是等圆，如果弧AB弧CD，那么E和F是什么关系？反过来呢？,等圆也成立,推论1同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。,关于等积式的证明,如图，已知AB是O的弦，半径OPAB，弦PD交AB于C，求证：PA2PCPD,经验：证明等积式，通常利用相似；找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；,推论2半圆（或直径）所对的圆周角是90；90的圆周角所对的弦是直径。,推论3如果三角形一边上
8、的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。,什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,ABC的三个顶点在半径为2cm的圆上，BC=2 cm，求A的度数。,圆中多解问题,半径为2.5的O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P已知BC ：CA4 : 3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O(l)当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；,(3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长,(2）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长；,如图，弦AB和CD交于点P,且CD是ACB的平分线,问题（1）：你能找出图中相等的圆周角和相等的
9、线段吗?,问题（2）：图中有哪些相似的三角形？,问题（3）：若点C在圆上上运动（不和A，B重合），在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发生了改变？,如图，弦AB和CD交于点P,且CD是ACB的平分线,问题（4）：若弦AB= , BAD=30, 在点C运动的过程中,四边形ADBC的最大面积为多少?此时CAD等于多少度?,如图，弦AB和CD交于点P,且CD是ACB的平分线,（5）：若弦AB= , BAD=30, 在点C运动的过程中, 当CAD等于多少度时,四边形ADBC是梯形?证明你的理由,80,110,1、判断：三点确定一个圆（）,练习,例题讲解,例1、如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,C,例2、如图，在O中，AC=BD， (1)图中有哪些相等关系？(2)如果1=45，求2的度数。(3)如果AD是O的直径，1=45求BDA的度数,