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1、人教版八年级上册数学分析新人教版八年级上册数学分析第,一,部分 执笔人:武汉市翠微中学 陈浩 430050 missyoufirstqq(com 报告人:武汉市翠微中学 陈浩 第11章 全等三角形分析 一、教科书内容和课程学习目标 【目标】本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明(本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质(第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法(在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质，并利用角的平分线的性质进行证明( 【地位】通
2、过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识(如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等)，同时为学习其他图形知识打好基础(全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容(也是武汉市中考中的重要内容，在武汉市中考中的地位也越来越突出( 【重、难点】从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式(这既是本章的重点，也是教学的难点(教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件(“边边边”条件)上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定(在掌握了“边边边”条
3、件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程(“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了( 在“三角形全等的判定”一节中，得出如下结论:三边对应相等的两个三角形全等;两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(用这些结论可以判定两个三角形全等(三角形全等的这些判定方法都是可以证明的，都可以作为定理处理(但是，这些定理(除“边边边”定理外)的证明方法都比较特殊(学生开始学习这些判定定理时，掌握定理的内容并不困难，困难的是定理的证明，而这些特殊的证明方法，在正式学习推理证明的开始阶段，并不要求学生掌握(所以为了突出重
4、点，突出判定方法这条主线，本章中上述判定方法都是作为基本事实(公理)提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性(值得注意的是，本节中的另一个判定方法“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”，则是利用“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”证明的( 运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等(还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”(HL)判定两个直角三角形全等(本章中这个判定方法是作为基本事实(公理)提出来的，也是通过画图和实验，使学生确信它的正确性( 在“角的平分线的性质”一节中，介绍了角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”
5、“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论(教科书用三角形全等证明了前一个结论，并结合证明过程总结了证明一个几何命题的一般步骤(这两个结论是互逆定理(为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍(本节例题让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点(这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好了准备( 得到:角平分线时的辅助线的方法(定理)与如何证明角平分线的方法(逆定理) 举例如下: 例1 (2007年武汉市某区期末考试题
6、考察角平分线定理)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，O为五个旅游城镇，他们之间都有笔直的公路相通，OC平分?AOB，4203公路AO所在的直线的解析式为，公路AB所在的直线的解析式为( y,x，y,x334(1) 求出A城镇的坐标; yACxBD0 (2) 有公汽行驶在城镇之间，其票价与路程成正比，已知各城镇间的公汽票价如下: yOA :4元 ; A B :3元 AO B :5元; O D :4元 CxBD0现将举办一个绕B，C，D三城的“环行一周游”旅游项目，按上述标准能否确定此项目的公汽的票价,若能，求出其票价;若不能，试说明理由( 【分析】(1)将典型的问题融入实际背景，有一定
7、的新意，(2)将求?DBC周长的周长巧化为“环行一周游”旅游项目，颇有新意;(3)通过计算得到?AOB为等腰直角三角形，着实不易，况且再利用这一背景得到?DBC的周长=OB的长本生绝非易事( 例2(2008年汉阳区期中考试考察角平分线定理)如图，?AOC,?BOC,15?，DC?x轴，CB?x轴于点B，点D、B的横坐标分别为2+，4+，则点C的坐标33为 ( yADCOBx【分析】(1)此题颇有新意，将基本图形中的基本结论融于平面直角坐标系中，但是此题数据有误，因为?DOC为等腰三角形，则OD=CD=2，则D点的横坐标只能是，显然3与问题的背景数据不符，建议如下修改:(1)点D、B的横坐标分别
8、为，2+;(2)33点D、B的横坐标分别为a，2+a等( 例3(2008年汉阳区期中考试题考察角平分线定理)如下图，点P为?ABC角平分线上的一点，D点和E点分别在AB和BC上，且PD,PE，试探究?BDP与?BEP的数量关系，并给予证明(?BDP+?BEP=180?) ADP12BCE 【变式1】若在BC上截取BQ=BD，求证:PQ=PE 【变式2】过P作PA?BA，试写出BE、BD、BA之间的数量关系;(BD+BE=2BA) 例4(2008?硚口区期中考试题考察角平分线逆定理)没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗,如图11，是小红的做法，他的画法正确吗,请用全等三解形的知
9、识来说明理由( ?利用三角板的刻度尺在?AOB的两边上，分别取OM=ON( ?分别过M、N画OM、ON的垂线，交点为P( ?画射线OP( 所以射线OP为?AOB的角平分线( 图11 例5(2009?怀化市中考试题)如图9，P是?BAC内的一点，PEABPFAC,，AE,AF垂足分别为点( EF，PE,PF求证:(1);(2)点P在?BAC的角平分线上( 【简而言之】本章的学习目标如下: 1(了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素( 例6 (2009，海南省中考卷第5题、汉阳区期末考试选用)已知图2中的两个三角形全等，则?度数是( ) ,A(72? B(60? C(58
10、? D(50? 2(探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式( 3(了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明( 二、本章编写特点 (一)注重探索结论 在“三角形全等的判定”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想: 探究1:两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等; 探究2:三边对应相等，两个三角形是否一定全等;(SSS) 探究3:两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等;(SAS) 探究4:两边及其中一边所对的角对应
11、相等，两个三角形是否一定全等;(SSA) 探究5:两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等;(ASA) 探究6:两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等;(AAS) 探究7:三个角对应相等，两个三角形是否一定全等;(AAA) 探究8:斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形是否一定全等(HL) 探究2,7让学生探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等(总的发展脉络是三边，两边一角(包括探究3，探究4两种情况)，一边两角(包括探究5，探究6两种情况)，三个角，这样学生容易把握探索的过程( 探究1、(两个条件不可)，探究4、(S
12、SA)，探究7(AAA)是不一定能判定全等的情况，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情况(其中应该记住(SSA)，探究7(AAA)的两个特例( 例 7(2009?江苏省中考试题、汉阳区期末考试选用)如图，给出下列四组条件:?;?;?ABDEBCEFACDF,，ABDEBEBCEF,，,，,，;?(其中，能使，,，,，,，BEBCEFCF，ABDEACDFBE,，,，的条件共有( ) ?ABCDEFA(1组 B(2组 C(3组 D(4组 C E M D A B N F 例8 (2010四川凉山州中考试题)如图所示，AEAF,，,，,EF90，,，BC结论:?;?;?;?(其中EMFN,
13、CDDN,，,，FANEAM?ACNABM正确的有( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 【分析】因为，所以?EAB=?FAC，又因为AEAF,，,，,EF90，,，BC所以?AEB?AFC，所以AC,AB，在?ACN和?ABM中，AB,AC，?CAB ，,，BC=?CAB，?ACN?ABM，?正确;因为?EAB=?FAC，所以?EAB,?CAB =?FAC,?CAB，即?EAM =?FAN，?正确;在?EAM和?FAN中，?EAM =?FAN，AEAF,，所以?EAM?FAN，所以，?正确;由已知条件不能判断，,，,EF90EMFN,出，故正确的个数是3个( CDDN,【涉及知识点】
14、全等三角形的判定 【点评】本题属于中档题，主要考查全等三角形的判定，特别注意的是在判定?AEB?AFC时不要直接利用已知条件根据SSA判定三角形全等，SSA不能作为判定三角形全等的定理，这是学生易出错的地方。 (二)注重推理能力的培养 证明是数学的最高境界目前再不是七年级的说点理了，本章开始要求学生严格的进行证明，为了解决这个难点，教科书做了一些努力( 1(注意减缓坡度，循序渐进(开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化(这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步做准备，下一步又注意复习前一步训练的内容(通过精心选择全等三角形的
15、证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度( 2(在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握(先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法(在此之后安排的问题涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生分析问题、根据需要选择有关的结论去证明的能力( 3(注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程(例如，在“三角形全等的判定”一节证明例1的结论“?ABD?ACD”以前，首先指出证题的思路:“要证?ABD?ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等(”为了清楚
16、地表达上述思考过程，引入“?”“?”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来( (三)注重联系实际 在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子(这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动他们学习的积极性(又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法(再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要( 用三角形全等可以说明实际测量方法的道理，教科书在例题和习题中安排了测量池塘两端的距离、测量河两岸相对两点的距离、用卡钳测量工件的内槽宽等内容，还安排了利用三角形全等测量旗杆
17、高度的数学活动( 例9 (2007?武汉市中考试题)你一定玩过跷跷板吧如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直(当一方着地时，另一方上升到最高点(问:在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA、BB有何数量关系,为什么, A B O A C B (例9 图) 三、几个值得关注的问题 (一)关于内容之间的联系 在“全等三角形”一节，让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转(全等变换)前后的图形全等的结论(这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素( 透视全等三角形的三大类型 武汉市翠微路中学 陈
18、浩 (430050)(本文发表在中学生天地2007年第3期上) 与“三角形全等”有关的问题林林总总，习题又可变式发散，这样题量就千千万万，浩瀚无边，但其类型不外乎以下几种，抓住了全等三角形的几种类型，就抓住了问题的精髓，从而发现证明“全等”问题的方向(现分类透视，供同学们学习时参考( 一、平移型全等三角形 把?ABC沿着某一条直线l平行移动，所得?DEF与?ABC称为平移型全等三角形(有时这 AADD llEBCFBCEF图1 图2条直线就是?ABC的某一条边所在直线(下图1，图2是常见的平移型全等三角形( 在证明平移型的全等型试题中，常常要碰到移动方向上的边的加(减)公共边，为边长相等创立条
19、件(如图1，若BE,FC，则BE，EC,FC，EC，即:BC,FE(如图2，若BE,FC，则BE,EC,FC,EC，即:BC,FE( 例1 如图3，?ABC中，?A,90?，AD?BC于D点，?C的平分线CE交AB、AD于E、G，过G作FG?BC交AB于F点(试说明:AE,BF( AEFGBCHD图3 【提示】过E点作EH?BC于H点(证?AFG?BEH，得BE,AF，BE,EF,AF,EF(即AE,BF( 例2 (2010?贵州铜仁市中考试题)如图，?ABC?DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是( ) A(5 B(4 C(3 D(2 DAFECB 【分析】由?ABC?DEF，AB=DE，
20、BE=AD，则DE=AB=BE+AE=5(【答案】A 【涉及知识点】全等三角形的性质( 【点评】全等三角形的对应边相等，对应角相等是全等三角形的重要性质，几乎所有与全等有关的题目都离不开这个性质( 二、轴对称型全等三角形 把?ABC沿直线l翻折后，能与另一个三角形重合，则称它们是轴对称型全等三角形(下图是常见的轴对称型全等三角形，其对称轴l是对称点所连线段的垂直平分线( lAADDlADlAl CCCCBDEEBBEB图5识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐含条件，图4图6图7例如有些具有公共边(如图4中的AC，有些具有公共角或对顶角(如图6、图7中的?ACB,?DCE)( 例3 (2008
21、?哈尔滨市中考试题)如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB,DC，BE,CF，?B,?C(求证:OA,OD( 例3图 例4图 例4 (2010?福建泉州市中考试题)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张?ABC纸片，点分别是边、上，将沿着折叠压平，与重合，若ABDEAADE、AC?ABC:，则，1+2的度数是 ( ) ，A=70A( B( C( D( 140:130:110:70:/【分析】由?A,70?得?AED，?ADE,110?，再由折叠可知?AEA，?AD A,220?，故?1，?2,360?,220?,140?(【答案】A 【涉及知识点】轴对称及角的计算 【点评】本题主要考查轴
22、对称性质及多边形内角和知识，这是一道考查几何变换的一道非常成功试题，让那些基础好的学生很容易做出来，但让基础差的学生真正望题兴叹( 三、旋转型全等三角形 1(旋转一个任意角度 将?ABC绕顶点C旋转后，到达?DCE的位置，则称?ABC和?DCE为旋转型全等三角形(如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形( AAADD DBBBE EECCC图11图10图9识别旋转型全等三角形时，要注意图9、10、11中，?ACB和?DCE隐含着一个等量减(加)等量的条件，通常用边角边(SAS)来识别两个三角形全等( 例5(2008?辽宁大连市中考试题)如图12，P是正?ABC内的一点，若将?PAC绕点A逆时针
23、旋转到?PAB，则?PAP的度数为_(?PAP=60?，请读者自己证明)( D A B E C 例5图 例6图 例6 (2010?江苏省镇江市中考试题)推理证明，如图，在?ABC和?ADE中，点E在BC边上，?BAC,?DAE，?B,?D，AB,AD( (1)求证:?ABC?ADE; (2)如果?AEC,75?，将?ADE绕着点A旋转一个锐角后与?ABC重合，求这个旋转角的大小( 【分析】(1)由?BAC,?DAE，AB,AD，?B,?D可得?ABD?ADE(2)由?ABD?ADE知AE,AC，所以AC与AE是一组对应边，所以?CAE是旋转角只要在等腰?AEC中求出?CAE即可( 【答案】(1
24、)?BAC,?DAE，AB,AD，?B,?D，?ABD?ADE( (2)?ABC?ADE，?AC与AE是一组对应边，?CAE是旋转角，?AE,AC，?AEC,75?，?ACE,?AEC,75?， ?CAE,180?75?75?,30?( 【涉及知识点】全等三角形，图形的旋转 【点评】全等三角形的证明方法主要有:“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”及直角三角形全等的判定“HL”(在中考中经常以容易题出现，再与平移，旋转结合，很多时候还以开放的题型出现，如再添一个条件使已知的两个三角形全等等( 02(旋转角度为180 把果把?ABC绕着一个点O旋转180?，得到另一个相应的三角形，那么这
25、两个三角形称为中心对称型全等三角形，点O称为对称中心(中心对称型全等三角形是旋转型全等0三角形的一个特例(旋转角度为180)(如图所示是常见的中心对称型全等三角形，对称点连线都经过对称中心O，且被点O平分( AA BEAFOCDD OOBCB DEFE 图13图14图15例7(2008?黄石市中考试题)如图，是上一点，交于点，DABDFEACAEEC,CF?AB(求证:( ADCF,A E F D B C 例8 (2009?莆田市中考试题)如图在中，过对角线BD的中点作直线EFABCDO分别交DA的延长线、的延长线于点 ABDCBC、EMNF、(1)观察图形并找出一对全等三角形:_?_，请加以
26、证明; ?A A E E D D M M O O N N B B F F C C (2)在(1)中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到, 为了使学生更全面地认识“全等”和“全等三角形”，教科书安排了“阅读与思考 全等与全等三角形”(这篇阅读材料以师生对话的形式对“全等”和“全等三角形”的相关问题作了进一步的介绍(全等是几何中的重要概念，是学生今后几何学习的重要基础(以三角形为载体介绍全等的知识，原因主要包括两个方面:一是三角形是最简单的多边形，可使学生在相对简单的图形环境中学习全等;二是任意多边形都可以分解为若干三角形，从而有利于把全等的知识推广到其他多边
27、形(对全等三角形的研究分为“性质”和“判定”两个方面，这两个方面是相辅相成的(认识到这一点，有利于学生今后对如平行四边形的性质和判定等知识的学习( 作图内容在本章中是分散安排的，小结时应注意复习本章中涉及的下面几种作图: (1)已知三边作三角形; (2)作一个角等于已知角; (3)已知两边和它们的夹角作三角形; (4)已知两角和它们的夹边作三角形; (5)已知斜边和一条直角边作直角三角形; (6)作已知角的平分线( (二)关于证明 解决推理入门难是本章的难点，除了教科书作了一些安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考(只有学生自己思考了，才能逐步熟悉推理的过程，掌握推理的方法(课堂上要注
28、意与学生共同活动，不要形成教师讲，学生听的局面(教师课堂上多提些问题，并注意留给学生足够的思考时间( 一般情况下，证明一个几何中的命题有以下步骤: (1)明确命题中的已知和求证; (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证; (3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程( 分析证明命题的途径，这一步学生比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力(在一般情况下，不要求写出分析的过程(有些题目已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了( 证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”(这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论( 在
29、本章中还会遇到通过举反例说明两个三角形满足某些条件不一定全等(判断一个命题是假命题，只要举出一个反例(找反例对学生来说是比较困难的，学生在一般情况下不容易发现反例(教师要根据学生的情况进行指导，尽量多发现几个反例，使学生学会举反例( 问题链中的意外插曲,发表在湖北大学中学数学2007年第3期, 1 2 陈浩李乐利1 430050 2 430300 【:武汉市翠微中学:武汉市黄陂区教研室】美国数学家哈尔莫斯指出:“定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏只有问题才是数学的心脏”(数学的思维是解决问题的心智活动，为引导学生不断深入思考，再创，从深层次，多角度思考问题，笔
30、者在全等三角形这一章，特意设计了如下的问题链，却出现了一个让人意外小插曲，让人意外，但又回味悠长 首先给出:问题链I: 命题1:有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等( 命题2:有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等( 对于这两个命题，大多数同学能顺利完成( 推广链II:将命题中的“高”分别换成“中线”，得到 命题3:有两边和其中一边上的中线对应相等的两个锐角三角形全等( 命题4:有两边和第三边上的中线对应相等的两个锐角三角形全等( 对于命题3的证明，学生不会感到困难，命题4利用“中线倍长”也可解决( 链III:将命题中的“中线”分别换成“角平分线”，得到类似命题 命题5
31、:有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个锐角三角形全等( 命题6:有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个锐角三角形全等( 弱化链IV:将上述6个命题中的锐角三角形中的“锐角”去掉，判断这6个命题的真假，从而认识三角形的“高”的特殊性，得到 “有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等”“有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等”这两个命题不成立( 现画出反例图形如下:如图1，CC?AE，BC=BC， ?ABC与?ABC中，AB=AB，BC=BC，AB边上的两条高CD、CE相等，明显?ABC与?ABC不全等，如图2，?ABC与?ABC中，AB=AB，BC=BC，AC边与AC边上的高相
32、同，明显?ABC与?ABC也不全等( BCCAACDBECD图1图2 以上探究活动，较好地复习巩固了三角形全等的知识，同时通过类比思想，引导学生得到探究问题的方法(至此，笔者正准备进入下一个环节，一生提出: 链V:命题7:有两边及两边夹角的平分线对应相等的两个三角形全等( 此言一出，语惊四座，猜想声，讨论声不绝入耳，眼看形势难收，于是提出让学生课后讨论、实践、实验、测量验证，初步得到这是一个真命题，但全等的几个判定方法不太适用，事隔数日，终不能如愿，后笔者查找资料，为学有余力的同学提供两种较好的证明方法: 方法一:利用斯台沃特定理 ?ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，D为BC任意一点，B
33、D=u，CD=v， AD=t 22bu，cv2引理【1】:,斯台沃特定理, t,uva2a，b，c引理【2】:当AD为?ABC的角平分线时， ( 其中p=) t,bcp(p,a)2b，c引理【1】证明:如图3，过A作AE?BC于E， 设DE=x， 则有， 2222222 AE,b,(v,x),c,(u，x),t,xA(若E在BC的延长线上，则将换成)于是有: v,xx,v222,t,b,v，2vx,BCDE ,222,t,c,u,2ux,图3222消去x得: (u，v)t,bu，cv,uv(u，v)22bu，cv2? t,uva引理【2】证明:当AD为?ABC的角平分线时，由三角形平分线定理得
34、: acabu,，v,，代入引理1中，得引理【2】b，cb，c222abcbc(b，c),abc(b，c，a)(b，c,a)t,bc, 22b，c(b，c)(b，c)2设a+b+c=2p， 得(这就是内角平分线公式) t,bcp(p,a)b，c于是，如图4，在?ABC中和?ABC中， AACBCDDB图4 设AB=AB=c， AC=AC=b， BC=a， BC=a 又? a+b+c=2p， a +b+c=2p ?AD=A D，由引理【2】得: 22? bcp(p,a),bcp(p,a)b，cb，c2222()()b，c,ab，c,a?p(p-a)=p (p-a) 即 ,44? a=a ， 即B
35、C=BC 则两三角形的三边对应相等，由“SSS”可以证明命题7是真命题( 方法二、利用余弦定理: 证明:如图5，在?ABC中和?ABC中， AA,CBCDDB图5 设AB=AB=c， AC=AC=b， AD=AD=y， ?BAD=?CAD=，?BAD=?CAD=， 222222由余弦定理知: BD,c，y,2yccos,CD,b，y,2ybcos,222222同理: BD,c，y,2yccos,CD,b，y,2ybcos,22cBDBDBDBD,? ? 22bCDCDCDCD2222,c，y,2yccosc，y,2yccos ? ,2222b，y,2bycos,b，y,2bycos,2化简后得
36、: (b,c)(bc,y)(cos,cos,),0(1)若b=c，可由等腰三角形的知识很快证明，这里不再赘述( 2(2)可由“相似三角形”的相关知识证明， bc,y,0,(3)?，? ， 0，?，即?BAC=0(cos,cos,),0，,，,22?BAC 则命题7的正确性，可由“SAS”得证(对于数学在探究之中提出的问题，不要一棒子打死，让他们在探究，实验，测量之中得到乐趣，得到探究的欲望，若教师加以适当的辅导，让优秀的学生看得更远，飞得更高，同时也能教学相长 【证明改进】AB=A,B,，AC=A,C,，AD，A,D,分别是?BAC?B,A,C,的平分线，AD=A,D,，求证?ABC?ABC
37、AADCBDBCEE ABBDDEABBDDE证明:，?AB=A,B,，AC=A,C,，AD=A,ACCDADACCDADD,，则DE=D,E,，则AE=A,E,，证明?ABE?A,B,E,(SSS)，则?BAD=?B,A,D,，则?BAC=?B,A,C,，则?ABC?A,B,C,(SAS) 拓展命题1:有两边和其中一边的对角的平分线对应相等的两个三角形全等( 命题2:有两边和其中一边的中线对应相等的两个三角形全等( 命题3:有三条中线对应相等的两个三角形全等( 命题4:有三条高线对应相等的两个三角形全等( 参考中小学数学教师版2007年第1-2期全等三角形判定中的几个拓展命题，作者:浙江省慈
38、溪市附海镇初级中学 童浩军 (三)基本思路与基本习题 一、关注基本图形与基本结论 二、关注图形变换中的证明 例1(2010?浙江省台州市中考试题)如图1，Rt?ABC?Rt?EDF，?ACB=?F=90?，?A=?E=30?(?EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K( (1)观察: ?如图2、图3，当?CDF=0? 或60?时，AM+CK_MK(填“”，“”或“”)( (2)猜想:如图1，当0?,?CDF,60?时，AM+CK_MK，证明你所得到的结论( MK222(3)如果，请直接写出?CDF的度数和的值( MK，CK,AMAMEE FCC (F,K)KMMLBA
39、DABD 图2 图1 CFFCE KKMEB(M)ADBAD 图4 图3 (例1图) 【分析】(1)?要解出当?CDF=0? 或60?时，AM+CK_MK的关系，只要得到M是AC中点即可(?只要得出?ADM、?DKC、?MDK都是等腰三角形即可( (2)作C点关于DF的对称点，连接GK、GM，易证?ADM?GDM，可得AM=GM，在?GMK中，由两边之和大于第三边，可得GM+GK,MK ，即AM+CK,MK( 222222(3)由，可得，所以?GKM=90?，易得?GKC=90?，MK，CK,AMMK，GK,MG因为DF是对称轴，则?FKC=?FKG=45?，易证?KCD=30?，由三角形外角
40、等于两个不相MK3邻的内角和，可得?CDF=15?，因为?MGK=?DAM+?DKC=60?，所以( ,AM2【答案】(1)? =; ? , ; (2), FCEG证明:作点C关于FD的对称点G， K连接GK，GM，GD， MB则CD=GD ，GK = CK，?GDK=?CDK，?D是AB的AD，A,中点，?AD=CD=GD(?30?，?CDA=120?，?EDF=60?，?GDM+?GDK=60?，?ADM+?CDK =60?(?ADM=?GDM，?DM=DM， ?ADM?GDM，?GM=AM(?GM+GK,MK，?AM+CK,MK( MK3(3)?CDF=15?，( ,AM2【涉及知识点】
41、轴对称 勾股定理 解直角三角形 等腰三角形 全等三角形 【点评】本题是一个动态图形中的线段大小比较的问题，线段大小比较的问题，关键是把三条边转化到同一三角形中，以三角形的两边之和大于第三边来比较，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度( 三、借题掘题、变式训练 题基:如图1，?ABC中，AC=BC，?ACB=90?，AE平分?BAC交BC于E，BD?AE于D，求证:BE=2CD(天津市竞赛试题) ADECB图 1 例1 (某报期中考试模拟试题直接应用结论) 如图，等腰Rt?ABC中，?BAC0,90，点A、C分别在y轴、x轴上( (1)如图1，若
42、已知点A的坐标为(0，2)，OC,5，求B点的坐标; (2)如图2，点P是第一三象限的平分线DQ上的一动点，是否存在点P，使得?PAC的面积是12，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由; (2)如图3，将?ABC绕C点旋转，使得x轴恰好平分?ACB，AC交x轴于点N，过B点作BM?x轴于M点，写出NC与BM的数量关系，证明你的理由; QyyyAAAMOONxCxOCxCPDBBB图 3图 1图 2 【问题变式】 【变式1】如图1，BE是等腰Rt?ABC?ABC的平分线，过E作ED?BC于D点，求证:?EDC的周长等于BC的长( ADAEECB图 2 C DB【变式2】如图2，连接AD，求
43、证:?ADB=45?; 【变式3】如图3，若点P为?ABC外一点，且?APC=135?，判断BP、PC的位置关系;(key:BP?PC) 【变式4】如图3，若点P为?ABC外一点，且?APC=135?，PB、PC、PA之间还有存在一个的数量关系，写出你的结论并证明(key:PB,PC=PA) 2AMAPDECBCB图 3 图 4 【变式5】如图4，?ABC中，AC=BC，?ACB=90?，AE平分?BAC交BC于E，BD?AEBM1于D，DM?AC交AC的延长线于M(连接CD，求的值(key:) 2BCAB，【变式6】如图5，延长BA、CD交于F点，求证:AF+CE=AB; FAADDETEC
44、BCB图 6 图 5 【变式7】如图6，过A作AT?BD于T点，写出AT、TE、BE之间的数量关系;(key:1AT+TE=)( BE2【变式8】如图6，过A作AT?BD于T点，写出AT、TE、CD之间的数量关系，(key:AT+TE=CD) 【变式9】将题目中的条件“AE平分?BAC”改为“AE平分?BAC处的外角”，其他条件不变，上述还成立吗, 四、立足课本、变式编拟 例4 (课本习题)如图1，?ABC中，?B、?C的平分线交于O点，过O点作EF?BC，分别交AB、AC于E、F两点，判断BE、CF、EF之间的数量关系; AEOFBC图 1 【变式1】如图2，将“?B、?C的平分线交于O点”
45、改为“?B与?ACB的邻补角交于O点”，其他条件不变，判断BE、CF、EF之间的数量关系; AAFEOBCBCF图 2EO【变式2】如图3，将“?B、?C的平分线交于O点”改为“?B的邻补角与?ACB的邻图 3补角交于O点”，其他条件不变，判断BE、CF、EF之间的数量关系( 【变式3】(2006?北京市中考试题)如图?，OP是?MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形(请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题: (1)如图?，在?ABC中，?ACB是直角，?B=60?，AD、CE分别是?BAC、?BCA的平分线，AD、CE相交于点F(请你判断并写出FE与FD
46、之间的数量关系; (2)如图?，在?ABC中，如果?ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立,若成立，请证明;若不成立，请说明理由( B B M E E D F F D P O C A A N C 图? 图2 图? (第23题图) 【变式4】如图，AB?CD，BE、CE分别平分?ABC、?DCB，求证:AB+CD=BC; DEACB1【变式5】如图，直线y=x+1分别与坐标轴交于A、B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB( 3yBEODxAFC(1) 求直线AC的解析式; (2) 在x轴上取一点D(-1，0)，过点D做AB的垂线，垂足为E点，交AC于点F，交y轴于点G，求F点的坐标; (3) 过B点作AC的平行线BM，过点O作直线y=kx(k,0)，分别交直线AC、BM于AHBI，点H、I，试求的值