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1、第六章 二次型、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系一、基本概念n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数，一般形式为f(xi,x2,X= &凶2+2日汉以2+2日3乂以3+2ainXiXn+ a22X22+2a23XiX3+对二次型f(Xi,X2,，x)引进新的变量yi,y2,ny并且把Xi,X2,，x表示为它们的齐 次线性函数+2ainXlXn+2+annXnn2= a xii人ii 12 ajXiXjXiciiyiCi2 y2GnynX2c2i yiC22 y2C2n ynXnCni YiCn2 y2Cnn yn它可以用矩阵乘积的形式写出：构造对称矩阵Aanai2anXif(Xi,X
2、2, Xn)n naj XiXji 1 j 1,、a2i(Xi,X2, Xn)a22a2nX2anian2ann记 XX1,X2,X T,则 f(XB,，铲 X TAX称对称阵A为二次型f的矩阵，称对称阵A的秩为二次型 f的秩.注意:一个二次型f的矩阵A必须是对称矩阵且满足 f X T AX ,此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f和它的矩阵A (A为对称阵)是一一对应的，因此，代入f(xi,X2,而得到yi,y2,y的二次型 g(yi,y2,n).把上述过程称为对二次型 f(Xi,X2,x)作了线性变量替换，如果其中的系数矩阵<Cii Ci2 Gn、C= C2i C22 11 C2nCn
3、i Cn2CnJ是可逆矩阵，则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆 线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出：X CYf XTAX (CY)TA(CY) YT(CTAC)Y记 B CTAC,则 BT B ,从而 f YTBY。由B CT AC知，两个n阶对称矩阵A与B合同且r(A尸r(B)定理i：二次型f XTAX经可逆线性变换X CY后，变成新的二次型也把二次型f称为对称阵A的二次型。实二次型 如果二次型的系数都是实数 ，并且变量Xi,X2，,Xn的变化范围也限定 为实数则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.222标准二次型 只含平方项的二次型，即形如 f di Xi d2X2dnXn称为二
4、次型的标准型。规范二次型 形如X2X2 Xp i Xp q的二次型，即平方项的系数只p pp qi, -i, 0,称为二次型的规范型。f YTBY ,它的矩阵 B CTAC 且 r(A) r(B)定理2:两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们 的矩阵合同.三、正交变换化二次型为标准型定理3：对实二次型f XTAX ,其中AT A,总有正交变换 X QY,使 f XTAX YT(QTAQ)Y YT Y y；2y2nY2精品其中为f的矩阵A的特征值。n因为Q是正交矩阵，则B QTAQ Q 1AQ ,即经过二次型变换， 二次型矩 阵不仅合同而且相似。将二次型f用正交变换化为标准
5、形的一般步骤为：（1）写出二次型f的矩阵A（2）求出A的全部相异特征值1, 2, m,对每一个特征值求出其线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面两两正交的单位向量作为列向量，排成一个n阶方阵Q,则Q为正交阵且Q 1AQ QTAQ为对角阵。（3）作正交变换X QY ,即可将二次型化为只含平方项的标准型四、配方法（略，见例）.五、惯性定理和惯性指数定理4：若二次型f XT AX经过可逆线性变换化为标准形，则标准型中所含平方项的个数等于二次型的秩。定理5: 一个二次型所化得的标准二次型虽然不是唯一的，但是它们的平方项的系数中，正的个数和负的个数是确定的 ，把这两个数分别称为
6、原二次型的 正惯性指 数和负惯性指数，这个定理称为惯性定理一个二次型所化得的规范二次型x2xj xp 1xp q在形式上是唯一p pp q的，称为其规范形，其中的自然数p,q就是原二次型的正，负惯性指数。性质1:两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等.（即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等.）性质2:由正交变换法看出，实对称矩阵A的正（负）惯性指数就是它的正（负）特 征值的个数.六、正定二次型和正定矩阵定义1：如果当x1,x2,，x不全为0时有f（x1,x2,，n）>0,称二次型f（x1,x2,，x） 称为正定二次型如
7、果实对称矩阵 A所决定的二次型正定，则称A为正定矩阵，于是A为正定矩阵也就是满足性质：当X 0时,一定有X TAX>0,且A一定是是对称矩阵。二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的.即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不变.（2）性质与判断实对称矩阵 A正定 合同于单位矩阵.即存在可逆矩阵 Q使QTAQE ,或者存在可逆矩阵P ,使得PT EP A对任意可逆矩阵 C, CT AC正定（即合同的矩阵，有相同的正定性）。A的正惯性指数等于其阶数n.A的特征值都是正数.A的顺序主子式全大于 0.顺序主子式：一个n阶矩阵有n个顺序主子式，第r个（或称r阶）顺序主子式即 A 的左上角的r阶
8、矩阵Ar的行列式|Ar|.判断正定性的常用方法：顺序主子式法，特征值法，定义法.A 0 A不可逆r(A) nAx=0有非零解0是A的特征值A的列(行)向量组线性相关A是n阶可逆矩阵：A 0 (是非奇异矩阵)；r(A) n (是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关；齐次方程组Ax 0只有零解；b Rn , Ax b总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为 0；AT A是正定矩阵；B可由，®，%惟一线性表小田Xiai+ X2 及+ xn onAX= § 有惟一解 X=(Xi,X2，,Xn)T, A=( a, 02,，on)r(A)= r(A M
9、3= n| A尸0Ax=0只有零解占0不是A的特征值AB=0A(bi,b2,bs)=0, B=( bi, b2,bs)Abj=0, j=1,2，,sbib,bs均为 Ax=0 的解(r(A)+r(B)wn)若bjW0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值 j=0的特征向量A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。AB = CA(bi, b2,，br)=(Ci, C2,，Cr)Abj=Cj,j=i,2，,rbj为Ax=Cj的解.Ci, C2,，Cr可由A的列向量组 孙俊,，%线性表示r(C)=r(AB)wr(A)或 r(B)C的行向量组可由 B的行向量组线性表示。、概念型题i .写出二次型 f (
10、 xi, x2, X3 )2XiXiX2XiX32AX2XiX2X2X32X3XiX3X2X32.二次型 f (Xi, X2,X3,X4)22XiX2 X2 2x1X3 6X2X3 的矩阵2题答案:i 2 0 02 2 i 00 i 3 00 0 0 0xi2 2x2 3x； 4xix2 2x2x3 的矩阵是i 243.矩阵221对应的二次型是22I4 i 3答案：xi2 2x2 3x：4.已知二次型 f (Xi, X2 , X3)4xix28xi x3 2x2 x3.a(x2 x2 x23) 4xix2 4xix3 4x2x3 经正交变2换x=Py可化成标准型f 6 yl，则a =a解：a3
11、a 6 0 0 6A aa标准型：f y2 2y2 2y2,正惯性指数：p 2,负惯性指数：q 1规范性：f z2 z2 z25.已知二次型XT Axx2 5x2 x2 2axi x2 2x1x3 2bx2x3 的秩为 2,(2) f(x1,x2,x3)= x 12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3.x22x3 2 5x2(2, 1, 2) T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准型是 解：二次型对应的矩阵 A为:解：f(x1 ,x2,x3)= (x12+2x1x2-2x1x3)+2x22+2x2x3= x1x2x31 a105 a2b a0ba0x1 x x3 y1222设
12、 x2 2x3 y2 , x Cy,标傕型：f yy 5y3x3 y3因为(2, 1 , 2) T是A的特征向量，所以3,a 22, 210, 23, 36 , f3 y16y2正惯性指数：p 2,负惯性指数：q 1 ,规范性：f z12 z2 z2(3) f(x1,x2,x3)= -2x 1x2+2x 1x3+2x2x3.解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换：二、化二次型为标准型1 .用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数，然后写出其 规范形。x1 y1 y2x2 y1 y2 , X Cy, Cx3y32(1) f(x1,x2,x3) x1xf x2 2x1x2
13、2x1x3 2x2x3设：z11 0 1y1 y3，z2y2，z3 丫3，y C2Z 0 1 0Z0 0 1解：先集中含有x1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑成完全平方f(x1，x2,x3)(x22x1x22x1 x3 )x2x322x2x3标准型：f2z2 2z2 2z2,规范性：fZ12 z2 z2=x1x2x32xfx22x2 x3x2x22x2 x32 .设二次型 f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b>0),其中 A 的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求a,b.(2)用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型
14、。xx2222x32 x2 x32x2x1x2x3y1设x2x3y2X1y1y2 x1x2 y3,x2110yl0 01 y2 , x Qyx2y3x3y2 y3x3011 y3解：二次型的矩阵:2 1,由于23已经正交，直接将3单位化，得:4a2b2121,1,0, 20,0,1 , 311, 1,02(2)2, 323 ,即为所求的正交变换矩阵,由 x=Qy ,0,1,0 T2,0,131,0, 2 T可化原二次型为标准形：f (x1, x2, x3) = 2y12_ 22y2.因为它们已经两两正交，所以只需要单位化。2(III )由 f (X1, X2, X3)= 2y1- 22 y20
15、,y10, y20, y3k (k为任意常0,10 T2 2,0,151.51,0, 2Q 1AQ QTAQ21%22 y223 y3从而所求解为:x=Qy= 12c为任意常数。3.已知二次型 f(X1,X2,X3)=(1-a)X12+(1-a)X22+2x32+2(1+a)x 的的秩为2.4.设二次型f(1)求a.(2戌作正交变换 X= QY,把f(x1,x2,X3)化为标准形.2Xi,X2,X3a为2a”x2 2x1x32x2X3(3)求方程 f(X1,X2,X3)=0 的解.(I)求二次型的矩阵的所有特征值;解：本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等多个(H)若
16、二次型的规范形为2y1y2,求的值。知识点，特别是第三部分比较新颖。二次型的矩阵A为:0 得 a=01 1 0这里A 110，可求出其特征值为122, 30解(2E A)x 0,得特征向量为：11,1,0 , 20,0,1解(0E A)x 0,得特征向量为：31, 1,00-1-11/ 一 1 + 1A-a0-1JL-aJL-a11k-a101金一ti + 1-(2a-l)Z + a2 -a-2 = (/ a +a 1).所以的拉阵乂所有的特征值为-2,4=e+1其基础解系为(1, 1, 1仆)T (1, 1, 1 73)T。%>4>为,所以2 = 01即n = 2.因为已经正交，
17、所以只需要把它们单位化。)2若规范形为y12 .一.y2,说明有两个特征值为正，一个为0。则0,1t 2122,0,3 0,符合,6 231.6 213131.6 2 3123 0,不符题意6 2.36 213_13,6 23综上所述,则P为正交矩阵，作正交变换5.已知向量 (1,1, 0)T是二次型f xt Ax (py)TA(py)yT(pTAp)y = y2Ta 22f(X1,X2,X3) X Ax aX1 X32XiX2 2XiX32bx2X3的矩阵A的特征向量，求正交变6.-换化该二次型为标准型。计为椭啕洋面方程'+4阴=4求心万的值和不受知降R解:A(1,1,0)T是A的特
18、征向量,.设所对应的特征值为解:%阵a二计算A的特征多项式1)(的特征值为11,2石,bb21 b 10 0 0b a 1与卫=0 1 01 1 I0 0 4相似,用怔值4=1的特征向量为为二 (1L1|二特征值4 = 0的特怔向量为乌二(LO.-1)、特征值用=4的特汗向量为% =(121)因为3个向量已经正交，只需要将其单位化心罚二04)心嘀修岔中嘲心力,1(2) kA E 的特征值为 1,1-2k,12k 0 k -2ax22x3)2(2x23x3)2(x 3x2 ax3)2三、关于正定的判断已知上述二次型正定，则 a的取值为1.判断3元二次型fx2 5x2 x2 4x1x2 4x2x3
19、的正定性1 20解：A 2 K 2 ,用顺序主子式判断大于0,所以是正定的。2 520212.当 时，实二次型 f(x1,x2,x3) x12 x2 5x32 2txix2 2x1 x3 4x2x3是正定的.解：f(x1，x2,x3)，当x1，x2,x3不全为0时，二次型正定。x1ax22x30 , 2x2 3x30 , x1 3x2ax3若x1，x2,x3同时全为0,即齐次线性方程组只有 0解，此时 A 0,a 1即a 1时，三个平方项不全为 0,二次型正定。t1t解：A t 1 2，1 t2 0,所以 |t | 1t 11 2 5其中风为实数,俄问：当硒.如.,？词是何用条件时1.二次里1
20、 t 1一一 2一,t 12 4t 5t20, 5t4tQ1 2 5所以，当 4 t 0时，二次型是正定的.53.设n阶实对称矩阵 A特征值分别为1,2,，n,则当t 时，tEA是正定的.解：tE A的特征值为t 1,t 2, ,t n.若tE A是正定的，则t 1 0,t 2 0, ,t n 04.设A是3阶实对称矩阵，满足 A2 2A 0 ,并且r(A)=2.(1)求A的特征值.(2)当实数k满足什么条件时kA E正定？2解：A 2A 0AA 200,2因为r A2,所以特征值为0,-2, -2百+ &工=0入3 +的*=0,%1+ % = 0,二°解：由已知可得，对于任
21、意的x1, x2xn ,有f x1,x2xn0,其中等号仅当以下等式同时为0时成立,此方程组仅有0解的充要条件是其系数行列式不为1例001a2000%QQ0 0001.(-1 产1 aH-l010,所以，”+(-1广&口q工0时.对于任意的不全为零的看,出,有f x1,x2xn 07.已知A是n阶可逆矩阵，证明 AT A是对称、正定矩阵。称矩阵一定合同。证明：AT AT ATA,所以AT A是对称矩阵。若AT A正定，则ATA=ATEA,所以人丁人与£合同合同矩阵有相同的正负惯性指数，所以AT A是正定矩阵。(2)因为A是可逆矩阵，所以 A 0, Ax 0,当A 0时，只有0
22、解。所以 Ax 0 x 0, xT AT A x Ax T Ax Ax Ax 0所以AT A正定。8 .设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r B no证明：必要性，设 BTAB为正定矩阵，对任意的实 n维列向量x 0,xT BTAB x 0 Bx T A Bx 0 Bx 0 ,即 Bx 0 只有 0 解，rB n 充分性，BT ABT BTATB BTAB, BTAB为实对称矩阵，rB n ,所以Bx 0只有0解，对任意x 0, Bx 0,又因为A为正对称矩阵，所以Bx 0, Bx T A Bx 0, Bx T A Bx
23、xT BTAB x 0, x 0, 所以BTAB为正定矩阵。9 .设A为m n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵 B E AT A ,试证：当 0时，矩阵B为正定矩阵。证明：BT ( E ATA)TE ATA B ,所以A为n阶实对称矩阵对于任意的实 n维向量x, xT Bx xT E AT A xxTx xT AT AxxTx Ax T Ax ,当 x 0 时，xTx 0 , Ax T Ax 0 ,当 0时，任意的 x 0,有 xTBx xTx Ax T Ax 0, 所以B为正定矩阵。矩阵的合同、相似、等价都有自反性，对称性，传递性。矩阵A与B等价记作：A %BA经过有限次初等变换化为 B
24、,即A与B是同型矩阵r(A) r(B)存在可逆矩阵 P与Q,使得A PBQA与B合同，记为AB存在n阶可逆阵P使彳# PT AP B ,即A与B都是方阵xTAx与xTBx的正、负惯性指数相等.r(A) r(B)合同的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定合同矩阵A与B相似，记作AsB,存在n阶可逆矩阵P,使P-1AP=B，即A与B都是方阵r(A) r(B)相似的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定相似。相似的实对称矩阵一定合同，但合同的对称矩阵不一定相似。因为实对称矩阵的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数，相似的矩阵有相同的特征值，所以相似的实对称矩阵有相同的正，负惯性指数，所以相似的实对对任
25、意实对称矩阵 A都存在正交矩阵 P,使P 1AP PTAP,即任意实对称矩阵都和对角阵即相似又合同。若矩阵不是实对称矩阵，相似的矩阵不一定合同，合同的矩阵也不一定相似。相似的矩阵一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩阵不一定等价。特征值相同的实对称矩阵 A和B一定相似，因为实对称矩阵都能相似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根据相似的2.7 1 1 1、A=1 1 1 11111 .1111q 0 0 0飞B= 0 0 0 00000Q 0 0 /判断A与B是否等价、相似、合同。解：根据指示点，两个实对称矩阵若相似，则必合同，又r(A)=1,其特征值为，显然A、B为实对称矩阵，
26、且 AB,于是A与B也合同。当A、B为实对称矩阵时，若 AB,则A、B有相同的特征值xTAx与xTBx有相同的正负惯性指数A与B合同.但若A、B为非对称矩阵，则 A与B不合同传递性，A和B一定相似。特征值相同的普通矩阵 A和B可能相似，也可能不相似。若A和B都能相似对角化，一定相似。若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。若都不能对角化，可能相似，也可能相似。例题：已知矩阵 A和B,判断能否相似，(合同矩阵必为对称矩阵)-43.已知A= 44那些矩阵合同。，B=0 ,试判断A, B, C中那些矩阵相似,2214.设矩阵a 12A和B有相同的特征值，A能对角化，B不能对角化，所以 A和B不相似。(A)合同，且相似.(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似.(D)既不合同，又不相似 解：1A E 0123 3 0,特征值不同，不相似，但是有相同的正负惯性指数。131616A 576687P 1AP1 25.设A则在实数域上与A合同矩阵为（）2 1A 2 1 . B 21 . C 2 1 . D 1212121 22 1A和B有相同的特征值，都不能相似对角化，但是A和B相似。解：D有相同的正负惯性指数。11.设 A, B=23，判断A与B是否等价、相似、合同。4如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合!精品