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1、课 题：研究性学习课题：复数与平面向量的联系教学目的：1. 理解复数与从原点出发的向量的对应关系2. 了解复数加减法运算的几何意义+教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系.教学难点：复数加减法运算的几何意义+授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪*教学过程：一、复习引入：Uun1若 A(x,y) , 0(0,0),则 OA x,y2. 若a (x,yj , b (X2,y2),则 a b (XI X2,y1 y2),a b (X1 X2,y1y2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差*3. 若 A(X1 , yI) , B(x2, y2 )，则 AB
2、x2 x1 , y2 y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.即 AB = OB OA =( X 2, y2) (x1,y1)= (X 2 x1, y2 y1) ÷4. 复平面、实轴、虚轴： 复数z=a+bi(a、b R)与有序实数对(a, b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b R),由复数相等的定义可知，(0, 0),它所可以由一个有序实数对(a, b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3,2)确定,又如Z= 2+i可以由有序实数对(一2, 1)来确定；又因为有序实数对(a, b)与平面直角坐标系中的点是一hZ(a,b)
3、一对应的，如有序实数对(3, 2)它与平面直角坐标系b-1中的点A,横坐标为3,纵坐标为2,建立了一一对应的关系*由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立对应的关系点Z的横坐标是 a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、oaXb R)可用点Z(a, b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面，也叫高斯平面，X轴叫做 实轴，y轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数*对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为确定的复数是z=0+0i=0表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数. 在复平面内的原点(0, 0)表示实数0,实轴上的点(2, 0)表示实数2,虚轴上
4、 的点(0，- 1)表示纯虚数i ,虚轴上的点(0, 5)表示纯虚数5L非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(一2, 3)表示的复数是一2+3i, Z=5 3i对应的点(一5, 3)在第三象限等等复数集C和复平面内所有的点所成的集合是对应关系，即复数Zabi一一对应复平面内的点Z(a,b)这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平 面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应这就是复数的一种 几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示 方法.5. 复数的加(减)法(a+bi)± (c+di)=(a±c)+(b±d)i.与多项式加(减)法是类似
5、的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相 加(减).二、讲解新课：一一对应UUIU1.复平面内的点Z(a,b) 对应平面向量OZ2. 复数Zabi对应UUU平面向量OZ3. 复数加法的几何意义：设复数Z1=a+bi, z2=c+di ,在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2 ,即OZ1、OZ2的坐标形式为 OZ1 = b), OZ2=(c, d)以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ亿Z2,则对角线OZ对应的向量是 OZ ,OZ = OZ1 + OZ2 =(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)= (a+c)+(b+d)i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a
6、 c)+(b- d)i,所以Z- Z1=Z2, Z2+Z1= Z,由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就UJUnUUJr与复数zZ1的差(a c)+(b d)i对应由于OZ2乙Z ,所以，两个复数的差Zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应三、讲解范例：例1已知复数Z1=2+i, Z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B,求AB对应的复数 乙Z在平面内所对应的点在第几象限？解：z=Z2- z=(1+2i)- (2+i)= - 1 + i, Z 的实部 a=- 1v 0,虚部 b=1 > 0,复数
7、Z在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差即AB所表示的复数是ZB- ZA.,而BA所表示的复数是ZA-ZB,故切不可把被减数与减数搞错.尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB所对应的复数是惟DADODOA=(x+yi)- (1+2i)=(x- 1)+(y- 2)i;BCOCOB =( - 1-2i) - (-2+i)=1 - 3i. ADBC,即(X- 1)+(y- 2)i=1 - 3i,X1 1,X 2,解得y23,y 1.2 - i.一的，因此我们将复平面上的向量称之
8、自由向量，即它只与其方向和长度有关， 而与位置无关.例2 复数Z1=1+2i, Z2= -2+i, Z3= - 1-2i ,它们在复平面上的对应点是 个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数分析一：利用AD BC,求点D的对应复数解法一：设复数 Z1、Z2、Z3所对应的点为 A、B、C, 对应的复数为 x+yi(x, y R),是：故点D对应的复数为分析二：利用原点 O正好是正方形 ABCD的中心来解.解法二：因为点 A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(2+i)+(x+yi)=O,. x=2, y= 1.故点D对应的复数为2 - i.点评：根据题意画图得到的结论
9、，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用.四、课堂练习：1. 已知复数 zi=a2 3+(a+5)i,Z2=a 1+(a2+2a 1)i(a R)分别对应向量 OZ1、O2 (O为原点)，若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值.解：乙Z2对应的复数为Z2 Z1,则Z2 Z1=a 1+(a2+2a 1)i a2 3+(a+5)i =(a a2+2)+(a2+a 6)iT z2 Z1是纯虚数a a220 2解得 a= 1.a a 602. 已知复平面上正方形的三个顶点是A (1, 2)、B ( 2, 1)、C ( 1 , 2),求它的第四个顶点 D对应的复数.解：设D
10、 (x,y),则AD OD OA对应的复数为(x+yi) (1+2i)=(x 1)+(y 2)iBC OCOB 对应的复数为：(1 2i) ( 2+i)=1 3iADBC(x 1)+(y 2)i=1 3iX1 1X 2,解得y23y 1D点对应的复数为2 i .五、小结：复数加法的几何意义：如果复数Z1, Z2分别对应于向量OP1、OP2 ,那么，以0P1、OP2为两边作平行四边形 OP1SP2,对角线OS表示的向 量OS就是Z1 + Z2的和所对应的向量 ÷复数减法的几何意义： 两个复数的差 Zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应六、课后作业：*七、板书设计(略)八、课后记：