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1、【全程复习方略】广西专用版高中数学 13.1导数及其运算课时提能训练 文 新人教版(45分钟 100分)一、选择题(每题6分，共36分)1.曲线y3x26在x处的切线的倾斜角是()(A)(B)(C)(D)2.(·南宁模拟)假设f(x)2xf(1)x2，那么f(0)等于()(A)2 (B)0 (C)2 (D)43.曲线yx4x在点P处的切线平行于直线3xy0，那么点P的坐标为()(A)(2,0) (B)(2,0)(C)(1,0) (D)(1,0)4.(预测题)f(x)x3ax，xR，在x2处的切线垂直于直线x9y10，那么a()(A)1 (B)1 (C)3 (D)35.过曲线S：y3x
2、x3上一点A(2，2)的切线方程为()(A)y2 (B)y2(C)9xy160 (D)9xy160或y26.函数f(x)2x3x2m(m为常数)图象上点A处的切线与直线xy30的夹角为45°，那么点A的横坐标为()(A)0 (B)1 (C)0或 (D)1或二、填空题(每题6分，共18分)7.(·柳州模拟)曲线f(x)2x2b与g(x)bx3在xx0处的切线互相垂直，那么x0.8.设曲线yx22x4上某点处的切线方程为ykx，那么k的值为.9.(易错题)过曲线yx21上点P的切线与曲线y2x21相切，那么点P的坐标为.三、解答题(每题15分，共30分)10.(·梧州
3、模拟)设函数f(x)x33axb(a0).假设曲线yf(x)在点(1，f(1)处与直线y2相切，求a、b的值.11.函数f(x)x32x2ax(aR)，在曲线f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线yx垂直.(1)求a的值和切线l的方程；(2)设曲线yf(x)在任一点处的切线的倾斜角为，求的取值范围.【探究创新】(16分)曲线Cn：ynx2，点Pn(xn，yn)(xn0，yn0)是曲线Cn上的点(n1,2，).(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；(2)假设原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn，
4、yn).答案解析1.【解析】选C.由导数的几何意义，得曲线在x处的切线斜率ky|x6x|x1.即倾斜角的正切值为1，即tan1，所以.2.【解题指南】对f(x)求导时要注意到f(1)为常数，先求出f(1)，再求f(0). 【解析】(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2，f(0)2f(1)4.3.【解析】选C.设P(x0，y0)，由y4x31得4x13，x01，y0xx00，P(1,0)，应选C.4.【解析】选C.f(x)x3ax，f(x)3x2a，f(2)12a，f(x)在x2处的切线垂直于直线x9y10，(12a)()1，a3.5.【解析】选D.当点A为切点时，所求的切线方程为9xy16
5、0，而当A点不是切点时，所求切线方程为y2，应选D.【变式备选】曲线yx3x2在M(x0，y0)(x00)处切线斜率为8，那么此切线方程是()(A)8xy200 (B)8xy120(C)8xy240 (D)8xy120【解析】3x22x，83x2x0x02或x0(舍)，把x02代入yx3x2y04，由点斜式得：8xy120，应选D.6.【解析】选C.f(x)6x2x，点A处的切线斜率一定存在.设点A处切线斜率kf(xA)(kR).直线xy30的倾斜角为45°，k0.6xxA0，xA0或xA，应选C.7.【解析】由题意得f(x)4x，g(x)2x2.因为在xx0处切线互相垂直，即4x0
6、·(2x0.答案：8.【解析】设该点为P(x0，y0)，那么y0kx0，y0x2x04，又y2x2，2x02k，将y0kx0，k2x02代入y0x2x04可得x0±2，k6或2.答案：6或29.【解析】设P(x0，y0)，由题意知曲线yx21在P点的切线斜率为k2x0，切线方程为y2x0x1x，而此直线与曲线y2x21相切.切线y2x0x1x与曲线y2x21只有一个交点，即方程2x22x0x2x0的判别式4x2×4×(2x)0.解得x0±，y0.P点的坐标为(，)或(，).答案：(，)或(，)10.【解析】f(x)3x23a，曲线在点(1，f(
7、1)处与直线y2相切，即， 解得.11.【解题指南】(1)利用方程f(x)1有两个相等的根解出a值，从而求得切点坐标，最后用点斜式求出切线方程；(2)先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围.【解析】(1)f(x)x32x2ax，f(x)x24xa.由题意可知，方程f(x)x24xa1有两个相等的根，164(a1)0.a3.此时，方程f(x)x24xa1化为x24x40，解得切点的横坐标为x2，代入函数式f(x)x32x23x中解得切点的纵坐标为f(2).切线l的方程为y(x2)，即3x3y80.(2)设曲线yf(x)上任一点(x，y)处的切线的斜率为k(由题意知k存在)，
8、那么由(1)知kx24x3(x2)211.由正切函数的单调性可得的取值范围为0，)，).【方法技巧】求曲线的切线方程求曲线的切线方程，一般有两种情况：(1)求曲线yf(x)在(x0，f(x0)处的切线，此时曲线斜率为f(x0)，利用点斜式可得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；(2)求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，此时需要设出切点A(xA，yA)，表示出切线方程，再把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，解得xA，进而写出切线方程.【变式备选】函数f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab).(1)当a1，b2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程.(2)设x1，
9、x2是f(x)0的两个根，x3是f(x)的一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后成等差数列，并求x4.【解析】(1)当a1，b2时，f(x)(x1)2(x2)，因为f(x)(x1)(3x5)，故f(2)1，f(2)0，所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为yx2.(2)因为f(x)3(xa)(x)，由于a<b，故a<.所以f(x)的两个极值点为xa，x.不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f(x)的零点，故x3b.又因为a2(b)，所以x1，x4，x2，x3成等差数列.所以x4(a)，所以存在实数x4满足题意，且x4.【探究创新】【解析】(1)y2nx，2nxn，切线ln的方程为：yn·2nxn(xxn).即：2nxn·xyn·0，令x0，得yn，Qn(0，n).(2)设原点到ln的距离为d，那么，|PnQn|.所以， 当且仅当14n2，即 (xn0)时，等号成立，此时，xn，所以，Pn(，).