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1、第六章截面的几何性质静矩和形心惯性矩和惯性枳惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式第六章截面的几何性质第节静矩和形心、静矩（面积矩）定义：微面积dA对z轴和y轴的静矩分别为v z dA 截血，面积A）对率和y轴的静矩？别为： S, = £y <M; 卜丫 = £z.静知为代数俏 静矩单位病:桁病； 不同截面对同一坐标轴的点知不同;-截ifti对不同坐标轴的静矩也不同。若截面形心坐标为4 X，将面积视为平行力（即看作等 厚、冲质薄板的重力），巧合力矩定理可得:S. = t y-dA- A-yc; （5 ： f z& = A4； J AJA当S0或5y=0时,必有K=
2、0或4=0,可知截面对某轴的 挣知为学时,该轴必通过放面形心：反之，若某轴通过形心,则嘏面时该轴的静矩为零。二、膨心公式： 、,一s： S,A、组合截面*I n个简单图形组成的截向，13挣知为:s： = ZA.J；四、组合截面形心公式:少LaI例5/求图示T形故面形心位咒。解：取参考砸标轴y、z,由对称图形4=0。分解图形为I、2两个矩形，则A 0.07 3n；; 2.46rrr A2 0.48rzr. y2 1.2/n: At.八,v, 0.072 2.46 0.48 L2 t .= 136m: 3A+A. 0.072+0.48若分解为1 2、3三个矩形.则.0.6x2.52*(1.26-1
3、.2)八“V* =-t = 0.16m; ' 0.6x232 2 >0.2 2.4ZA第二节惯性矩和惯性积一、极惯性知：定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点O的距离p平方的乘积p2dA,称为该面枳 dA对于坐标原点。的极惯性矩。7截面对坐标原点。的极惯性矩为：Jz?d4简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算.D实心I川截面：4 = E 2*M =；空心I5U 截ifti： /F=（1-m；（a=-）二、惯性矩： 32°定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为: y2dA和ZMA：则整个图形（面积为A）对z轴、y轴的惯性矩分别为:F 一张上一张惯性
4、矩是对某轴而言的,同一截面对不同轴的惯性矩值不同。惯性矩单位:m或mm，：惯性斑恒为正值.简单图形对轴的惯性矩由定义式枳分计算。三、惯性积：定义:平面图形内,微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形咐z、y轴的惯性积。特点：惯件枳是截面对某两个正交坐标轴而言C不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积 均不同。惯性积是代数值。若截面有一根为对称轴，则该板面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性枳必为零.下一张上一张例52求矩形截面对丈对称轴的惯性矩和惯性积。解：取yoz坐标系。取微面积dA二bdy,则:/L w力韦；取微面积dA=hdz,如：/ Z2dA
5、z%dz蜷;，JA J-6/2) 2取微面枳dA=dzdy,则：I= 0;士 下一张乜例5-3圆形截面对其形心轴的惯性矩。解：取yoz坐标系。取微而积dA=2zdy,则：一£ y：dA=J：2y2'展-y'dyh *=善；由对称性：由几何关系：2=+广lP = J p2dA = j (y2 + z2)<M = /z + /t.第三节惯性矩和惯性枳的平行移轴和转轴公式平行移轴公式：AAI., f yxdA J(y + u)MA A-J v 2a j ydA " J dA -意轴/ 注转：y、z轴必须是形心轴第四节主惯性轴和主惯性矩：主惯性轴（主轴） 使核
6、面对z° y。轴的惯性税箴=。的这对 正交坐标轴：主惯性矩（L惯矩） 鼻面对主惯性轴的惯性矩:形心上惯性釉（形心I：轴）-通过形心的I：惯件轴：形心卜.惯杷I 形心主惯矩）-,面对形心主轴的惯性矩， 特点：两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值：仃 根对称轴的极面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴：珀两根对称轴的截面，旧心L轴是两根对称轴,无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性枳为零 的4角,即形心主惯性轴。第五节组合截面惯性矩的计算匚程中常.遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时,应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。例 J:试计算图示T形截
7、面的形心上惯性矩。解：(1)确定形心坐标乂二 A| + A.2A+a?_ 500x5+500x(10+25)=如500+500“'、(2)计算形心主惯性矩：I：i=L+：A 产北匕(2O-5fx5OO=L17xd，;10x5tf12+(35-2O x500=2.17xl(W;I： 二 |：i + L2=(M7+217)x1Os =334xltfcw4;(z、y轴即形心主轴)小结一、静矩：|s：=1y" = A,K； Sv=jzdA = A 性质：裁向对手轴的静矩号时,该轴必通过截面形心;一、极惯性矩：叫“实心I网截面：空心网截面：心也(”储)；9=)3232D三、惯性矩：矩形
8、截面:四、惯性枳：i=比；/£ 12'， 几何关系：此园形截面：12'64五、平行移轴公式:加=I； +"'A; IV| lv +h2A: /;'下一张上一张4结六、主惯性轴和主惯性矩：X惯性轴（t轴） 使 仁。=。的这对正交坐标轴：t惯件如（m惯矩） 截面对主惯性轴的惯性矩:形心:，性轴（形心主轴通过形心的主惯性轴:形心惯性知（形心惯知）截面对形心主轴的惯性矩。七、平面图形几何性质的几何意义：1 .!：图形的形心相对F指定坐标轴之间距离的远近程度;2 .极惯性矩：图形的面积相对丁指定坐标原点之间分布的集 中或分散程度;3 .惯性矩：图形的面积相对F指定坐标轴之间分布的集中或分 散程度：4 .惯性积：图形面枳相对指定的对1E交坐标轴之间分布的 集中或分散程度。