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1、第六章样本及抽样分布1.一在总体N (52, 6.32)中随机抽一容量为 36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。解：21.8,636.31.2X -526.3X N (52,),P50.8 :二 X :二 53.8 = P：二366.312-8="D() -：)() =0.8293742.二在总体N (12, 4)中随机抽一容量为5的样本X1,X2, X3,X4, X5.(1)求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。求概率P max (Xi, X2, X3, X4, X5)>15.(3)求概率P min (Xi, X2, X3, X4, X5)>
2、;10.解：(1) P|X -12 >1 = PIIIX 12二2PX -1245, 5=21 - ：，'(一) = 0.26282(2)P max (X1, X2, X3, X4, X5)>15=1 -P max (X1, X2, X3, X4, X5) < 155=1 I P X i 三 15 =1 -应 15 -12 )5 = 0.2923 .i 土2(3)P min ( X1,X2,X3,X4,X5)<10=1 P min ( X1,X2,X3,X4,X5)> 10510 -12515=1 - - P X i _10 =1 -1 -：/()=1 一
3、 'D(1)= 0.5785.2i也4.四10设 X1, X2, , X10为 N (0, 0.32)的一个样本，求 P£ X ' >1.44.解:101022X (10), PXi .1.44 =Pi 1i 1Xi20.32>16 =0.1(查表 5)X , S2分别为样本均值7.设X1, X2, , Xn是来自泊松分布 兀（入）的一个样本, 和样本方差，求 E (X ), D (X ), E (S2 ).解：由Xti（入）知E （X尸入，D（X）=,“.E (X )=E (X )=1 D (X 尸 _DIX1, e(s2) = D(X) = Ln n六
4、 设总体Xb (1,p), X1, X2, , , Xn是来自X的样本。(1)求(XI,X2，Xn)的分布律； n(2)求£ Xi的分布律；i -1Q(3)求 E-(X ), D (X ), E (S 2).解：（1） （X1, , , Xn）的分布律为PX1 =吊 X2 32,，Xn独立=in一二nik1 JkPXk =ik =-： P k (1 - P) 4k 土ik =0或 1, k =1,n.（由第三章习题26二十七知） E (X )=E (X 尸P,D (X ) PD (X )=-= n nE(S2) =D (X ) = P(1 T)八设总体XN ( id., a), X1
5、, , , X10是来自X的样本。(1)写出X1, , , X10的联合概率密度(2)写出X的概率密度。解：(1) (X1 , , , X10)的联合概率密度为1010/(xi )1 一 一-2f (X1,X10) f (Xi) : 11 e 2-i ±i ± 、2 二二nV(xi)2ni上.丁. 一2二(2二)2 ； e 2二（2）由第六章定理一知XN (小)，n =10n即X的概率密度为2 n(z .林):22 b第七章参数估计1.一随机地取8只活塞环，测得它们的直径为(以 mm计)74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674
6、.002求总体均值科及方差° e (X ) = xf (x)dx = Vq-x、9 dx =, 令 - = X，得 0 =()2 X°3 十 1十11 -x的矩估计，并求样本方差S2。n解：科，b 的矩估计是件=X = 74 .002, C?2 = T ( X i x) 2 = 6父10n i426S =6.86 X1Q 。2.二设X1, X1, , , Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布 律中的未知参数的矩估计量。屋 9 -49 +)一HCX . X >C,(1) f(x)=其中c>0为已知，0>1,。为未知参数。0,其它f (X),
7、x "9 ",0 <x <10,其它其中9>0,。为未知参数。(5) P(X =x)=(m px(1 一 p)mi, x =0,1,2,，m,0 < p <1, p 为未知参数。解：(1) E(X) = f 1f(x)dx= -0 c0 x J dx =-c c "+= 0 c ，令一-c = X ,sJc8-19 -19 -1得 9 =XX - c(5) E (X) = mp令mp = X , 解得？ = Xm3.三求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。n解：（1）似然函数 L（e）=n f（Xi）=encne（xiX2 xn
8、）平i -4ln L( 8) =n ln( 8) +n 8nd ln L(9)ln c +(1 0 )X ln xi ,- d。n一、ln xi 二 0i .4n、ln xi - n In ci W（解唯一故为极大似然估计量）d ln L( 9)d 9nL(9) =n f (xi)i 土n_一2,、笆一，、=9 2 (x-Xn), ln L(9)n9)十(JT -1)£ ln Xii Wn-n 11In xi =0,202 Gm2 xi)。（解唯一）故为极大似然估计量。(5)nL(p) =- PX *=i 土nm、£%!pi- (1 -P) ixn /nmn 1 xi一，n
9、nnln L（ p） ='、. ln mixi ln p （mn .二 x。ln（ 1 - p）, i ±i zii -4nmn xixid ln L（ p） i - dppnV xi解得 p = 士，（解唯一）故为极大似然估计量。mn m4 .四（2）设X1, X，Xn是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求入的极大似然估计量及矩估计量。解：（1）矩估计 X 兀（入），E （X ）=入故？=X为矩估计量。（2）极大似然估计 l （入）=口 P（xi;入）=e，:Xi !X2 ! . Xn!ln L（入）=£ Xi ln 入£ In xj n入-i 3
10、d In L（入）d入n Xi i X入=0 ,解得2? = X为极大似然估计量。入Xi. .（其中 p（Xi ;入）=P X =Xi =e , Xi =0,1，）Xi!5 .六一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取 100个样品，每个样品有 10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这 100次观察 相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10, P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石白概率。求 p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数0 12345678g 10观察到石灰石的样品个数0 16 7 23 26 21 12 310解：
11、入的极大似然估计值为 ?= X =0.499四(1)设总体X具有分布律X123Pk22 6（1 - 0）（1-9） 2其中0(0族1)为未知参数。已知取得了样本值X1=1, X2=2, X3=1,试求。的矩估计值和最大似然估计值。解：(1)求。的矩估计值22E(X)=1M。 +2 如(1一。)+ 3(1-。) =9 +3(1 - 9) 9 +(1 -9) =3 2 8令 E(X ) =3 2。=X121-3 则得到0的矩估计值为?=3T=3一=-226(2)求。的最大似然估计值3似然函数 L(e) =- PXi =xi =PX1 =1PX2 =2pX3 =1i卫22=82 9(1-9) -95
12、=28 (1 -0)ln L( 8)=ln2+5ln 什ln(1 0)求导 d 1nL_0d 961 - 9得到唯一解为?=-68.九(1) 设总体X N (白 /), X1，X1， Xn是来自X的一个样本。试确定n常数C使c£ (Xi+Xi)2为b 2的无偏估计。i 土解：由于n -1n -1n -1-2_2_22Ec" (Xi 1 Xi) =cr E (Xi 1 Xi) = 9 D(Xi 1 Xi) (E (X i - - X i )i ±i ±i 3n -1n -1一2_222=八D (Xi 1) - D (X i ) - (EX i 1 - EX
13、 1 )户八(2 b 0 ) =c(2n -1)ai丑i丑2(n -1)时，cZ (X i + - X i)2为仃2的无偏估计。十设X1, X2, X3, X4是来自均值为。的指数分布总体的样本，其中。未知,设有估计量11T1 = 一(X1 X2) - 一(X3 X4) 63T2 =(X12 X 23 X 34 X 4 )/5T3 =(X1 X2 X3 X4)(1)指出，T2, T3哪几个是。的无偏估计量；(2)在上述。的无偏估计中指出哪一个较为有效。解：(1)由于Xi服从均值为。的指数分布，所以E (Xi )= Q D (Xi )= 02,i=1,2,3,4由数学期望的性质 2 , 3。有1
14、1E(一)= E(X，+E(X2) +-E(X3)+E(X4) =8631E(T2)= E(Xi)十2E(X2)+3E(X3)+ 4E(X4) =2 851E(T3)= E(X1)十E(X2)+E(X3)+E(X4)=。4即T2是。的无偏估计量(2)由方差的性质 2 , 3°并注意到X1，X2, X3, X4独立，知D(T1)= D(X1) +D(X2) +1D(X3)+D(X4) =92 369181_12D(T2)= D(X1)+ D(X2)+ D(X3)+D(X4) = 8 164D (r)> D (T2)所以T2较为有效。14.十四设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小
15、时计)分别为 6.0 5.7 5.86.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N (的力，求科的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知（=0.6 （小时）（2）若b为未知。解：（1）科的置信度为0.95的置信区间为（X ±z”），- n 7计算得 X =6.0，查表 z0 025 =1.96, b =0.6，即为（6.0 土竿 X 1.96） =（5.608 ,6.392 ）9（2）科的置信度为0.95的置信区间为（X 土一j=t“（n 1）,计算得X =6.0,查nn 表 to.o25(8)=2.3060.21 /- 21.0.33S =一
16、£ (xi x)= 一 父 2.64 = 0.33.故为(6.0±M 2.3060 ) =(5.558 ,6.442 )898316 .十六 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为 s=11（m/s）。设炮口速度服从正态分布。 求这种炮弹的炮口速度的标准差 b的置信度为0.95 的置信区间。解：（T的置信度为0.95的置信区间为_ 2, (n - 1)S(2：(n -* 1 2)-2(n -1)S2)-.(n -1)12.8 11.8 11=(，)=(7.4,21.1),17.5352.18其中 o=0.05, n=9查表知 -025(8)=17.535,
17、丁975(8) =2.18019 .十九研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且 已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为n = n2=20.得燃烧率的样本均值分别为x1 =18cm/s,x2 =24 cm / s.设两样本独立，求两燃烧率总体均值差岗一化的置信度为0.99的置信区间。解：国一国的置信度为0.99的置信区间为122B1灯20.05(X 1 -X 2 ±z + )=(18 -24 +2.58 JX 2 ) = (-6.04 , -5.96).2 n1n2. 20其中 o(=0.01 , z0.005 =2.58,n=n2=20,
18、0-1 =(y2=0.05 ,X1=18,X2=2420.二十设两位化验员 A , B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为 SA =0.5419 , S； =0.6065 .设屋，屋分别为A, B所测 定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比bA/bB的置信度为0.95的置信区间。解：bA/屋的置信度为0.95的置信区间2A2SbFJI -1,n2 -1)20.54194.030.6065)=(0.222, 3.601).,0.5419二(0.60654.03一 4.03其中 n=n2=10,0=0.05, Fo.025(9,9)=
19、4.03, Fo 975(9,9)=Fo.025 (9,9)第八章假设检验1.一某批矿砂的5个样品中的馍含量，经测定为(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在 a = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含馍量的均值 为 3.25.解：设测定值总体 XN (丛/), 11, b均未知步骤：(1)提出假设检验 H0:斤3.25; Hi: 产3.25(2)选取检验统计量为t = X二3.25t(n _1)S、n(3) H0 的拒绝域为 | t |>t /(n _1). 0；2(4) n= 5, a = 0.01 ,由计算知 x =3.252 , S
20、 = 工(X i X )2 =。.01304 - n-1 i.本主 + /八 / cc/d3.252 3.25查表 3005(4)=4.6041,|t |= =0.343 <t”. (n -1)0.01304 /,2(5)故在a = 0.01下，接受假设 H0(2) 二如果一个矩形的宽度3与长度l的比3/1= 1 (& -1)0.618 ,这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件(如窗架)、工艺品(如图片镜框)、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下 面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的
21、宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为内试检验假设(取 a = 0.05)H0: 尸 0.618 H1： 产 0.6180.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.628 0.6680.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933.解：步骤：(1) H0： 产 0.618; Hr 产 0.618(2)选取检验统计量为t二X0.618t(n -1) SJ(3) H0 的拒绝域为 11 |Rt(n -1).(4) n=20a= 0.05 ,计算知t.；(n -1) =2.0930 ,|t| 二0.660
22、5 .0.618= 2.055 <%(n -1)0.0925 /而1_ _12=y Xi =0.6605 ,S = y (Xi _x) =0.0925 ,n ian -1 i(5)故在a = 0.05下，接受H°,认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183.三要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为b =100小时的正态分布。试在显著水平a = 0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为 仲即需检验假设 H0：科匀000, H1：41000。解：步骤：(1) H 0 ：科高000
23、; H1：四1000; (t=100 已知)(2) H0的拒绝域为x-1000 士一0厂n n(3) n=25, a = 0.05 , X =950 ,计算知 X二1000 .二2.5 :二 _z°°5 =1 .645 100 25(4)故在a = 0.05下，拒绝H0,即认为这批元件不合格。12.十一一个小学校长在报纸上看到这样的报导：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此 她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间X =6.5小时，样本标准差为 s=2小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？取a
24、= 0.05。(注：这是大样本检验问题。由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当n充分大时工近似地服从正态分布。)s . n解：(1)提出假设 H0：H玄；H1:庐8(2)当n充分大时， 干声近似地服从N (0, 1)分布 s - n(3) H0的拒绝域近似为(4) n=100, a = 0.05 , X=6.5, S=2,由计算知= 7.5 AZ。, =1.645(5)故在a = 0.05下，拒绝H。，即认为校长的看法是不对的。14.十三某种导线，要求其电阻的标准差不得超过 0.005(欧姆)。今在生产的一批 导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体
25、为正态分布。问在水平 a = 0.05能否认 为这批导线的标准差显著地偏大？解：(1)提出 H0：0.005 Hi： Q0.005H°的拒绝域为2%，”)(3) n=9, a = 0.05 , S=0.007,由计算知(n -1)S8 0.007 220.0052= 15.68 >Xa (n -1)查表 x：.05(8) =15.507(4)故在a = 0.05下，拒绝H0,认为这批导线的标准差显著地偏大。15.十四在题2中记总体的标准差为Ob试检验假设(取 a = 0.05)H0： b2 =0.112, H1：(T2W0.12。解：步骤(1) H0: (r2=0.112; H
26、1: (r2w0.122(2)选取检验统计量为: J>1)SJ(n -1)0.11(3) H0的拒绝域为 J之/(n 1)或J Wj Jn 1) 叱。1 (4) n=20, a = 0.05 ,由计算知 S 2=0.0925 2,(n -1)S220.11= 13.437,.,22查表知0.025 (19) =32.852,10.975(19)=8.907(5)故在a = 0.05,接受H0,认为总体的标准差。为0.11.16.十五测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%,设测定值总体为正态分布，J为总体方差。试在水平a = 0.05下检验假设H0:(r>0.%;
27、H1：(r<0.04%。解：(1) H0: (t2>(0.4%)2; H1: (t2 < (0.04%)2H0 的拒绝域为(n -1)S /2<J (n_1)(0.04 %)1(3)2n=10, a = O.05, * S=0.037%,查表知，0.95(9) =3.325(4)22由计算知(n 1)S9 0.037 )442442(0.04 %)(0.04%)故在a = 0.05下，接受H0,认为_ 7.701>/0.95(9).b大于0.04%b；和o-2 。试检验假设(取 a17.十六在第6五题中分别记两个总体的方差为0.05) H0：仃；和 仃:以说在第6
28、五题中我们假设2 = b；是合理的。解：(1) H°： b； =V, H2 丰62选取检验统计量为2/ F (n1 - 1, n2 -1)2(3)H0的拒绝域为F之F(n1-1, n2 1)或 F <F “(n1 -1, n2 -1)1 °2(4)n1=8, n2=10, a = 0.05 ,查表知 F0.025(7,9)= 4.201 F0.975 (7,9)=F0.025 (9,7)21221 =0.207 , F 4.820.00025F0.975(7,9)<F< F 0.025(7,9)(5)故在=0.05下，接受H0,认为218.十七在第8题七中
29、分别记两个总体的方差为2和b：。试检验假设(取 a =0.05) H0： 2=b；,H1 :2以说明在第8七题中我们假设2丁是合理的。解：(1) H0： =£, H 1(2)选取检验统计量FS2S2(3) n1 = n2=12, a = 0.05 ,查表知F0.025(11,11)= 3.34 , F0.975 (11,11)1一 =0.299由计算知 S12 =0.932, S2 =1,0.299F 0.025 (11,11)3.34：- S1 - 2 = 0.932 :3.34S2(4)故在a = 0.05下，接受H0,认为_262含fi个错误的页数36 40192问能否认为一页
30、的印刷错误个数服从泊松分布（取a = 0.05)。解：（1） H0：总体XM入）；Hi： X不服从泊松布;（入未知）(3)(4)对于当H0成立时,H0的拒绝域为n=100PcP2P3P4P5P6P7=P X=P X=P X=P X=P X=P X=P X=P Xj>3, nPj=0=1=2=3=4-5=6=7：二5入的最大似然估计为 R=X?23n?i=0.3679 0!= 0.36791!2!3!4!5!6!= 0.18397= 0.06132= 0.01533= 0.003066= 0.000511=1 J Pi= 0.000083-1.24.二十三检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为6 >7错误个数fi（5）故在a = 0.05下，接受H0,认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。76将其合并得nPj =8.023j =s合并后，K=4, Y=1查表知'(LG -1 -1)= 5.99136 236.79.40236 .79.19218.397528.023100 =1.444732SbF (n1 -1, n2 -1)1 一=0.2980.00084