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1、第三章3-1设有一群粒子按速率分布如下:粒子数N24682速率V (m/s)1.002.003.004.005.00试求(1)平均速率V; (2)方均根速率(3)最可几速率Vp解：(1)平均速率:三 3.18 (m/s)2 1.004 2.006 3.008 4.002 5.00(2)方均根速率'、NM2“ N i三 3.37 (m/s)3-2计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。解：Vp2RT2 8.31 3003：395 m / s32 108RT 8 8.31 300V3 = 446 m /s二口3.14 32 103 8.3130033210=483 m/s
2、3-3计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K 和 10000K解：Vp2RT代入数据则分别为:T=100K时 VP = 2.28 10 2 m / sT=1000K时 VP =7.2110 2m /sT=10000K寸 VP = 2.28 10 3 m/s3-4某种气体分子在温度Ti时的方均根速率等于温度 T2时的平均速率，求T2/T1解：因,V23RTVnN8RT28由题意得:3-5求0c时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可 将dv近似地取为 v=1m/s）解：设1.0cm3氮气中分子数为N,速率在500501m/s之间内的分子数为
3、 N, 由麦氏速率分布律：3_ m V2 N=N 4 二（一）2 e -24V 2 / V2 二 KTVP2= 2KT ,代入上式 N=4N V：4千 V、二VpV =500m/s,因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率一2 8 31273,又VP =. 二 402 m / s AV=1m/s'、28 10vQ *（一 二1.24 ）代入计算得： N=1.86X 10 3N个 Vp3-6 设氮气的温度为300 C ,求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数 N 与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数 N之比。解：取分子速率为V1=3000m/sV 2=
4、1500m/s, »= V>=10m/s由5题计算过程可得:4 N V1=VnVpV 2Vp2Vi2V2-V1 V p N=4NVpv 2V72V2LV2pAN/A(L N>=V-p-(V!Vp)2_(V1)2V / e p4)2 )2e Vp其中Vp=2 8.3157332 103= 2.18 10 m/sV1一=1.375 , Vpvp =0.687 N 1N21.3750.6872e2e-1 .375 2k 三 O.969解法2:若考虑 V产V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求 N,dN=4N 、二 VP工 V2dVVp2 N=V2V1 dNV20 dN
5、V10dN N=V4V3 dNV40 dNV30dN人 Vi令*= ' i=1Vp2、3、4利用16题2果:Vi2dN = N erf (Xi)Xie02-Xi2_x22_x,2 . Ni= N erf (x2)xie - N erf (x1)i= x1e v HV JI(1)2=22_x.2 . N2= N erf (x4) x4e -Nerf (x3) x3eV nv n其中Vp= 2.182 1 03m/sV1 x1 = 1.375VpV3X3 = 0.687Vp查误差函数表得：erf(x i)=0.9482erf(xerf(x 3)=0.6687erf(xx2 = =1.379
6、Vpx4 = V4 =0.6722Vp2)=0.94894)=0.6722将数字代入(1 )、( 2 )计算，再求得NiN2= 0.7033-7试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率:(1) 速率在区间Vp1.0Vp1内(2)速度分量Vx在区间Vp1.0Vp1内(3) 速度分量Vp、Vp、Vp同时在区间Vp1.0Vp1内解：设气体分子总数为N,在三种情况下的分子数分别为 N、/、AN3(1)由麦氏速率分布律:V2V2V1 N=V dN = ° dN - ° dN令 V2=1.01vp, Vi=Vp, X ="，则 x1 =1 , x2 =* =1.01 ,
7、利用 16VpVpVp题结果可得；N 1_ = erf (x2)-N2x?e7 312x1xe查误差函数表：erf (x1)=0.8427 erf(x2)=0.8468:N 1 1 = 0.008 N (2)由麦氏速率分布律：2VxdN x1"VTV p e dVxV2VX 2_( -)2Vpdv,1 pVl上)2 e VpdV xN2V2VpexpVx 2)d(VxV1令Y=.VxVPXivp=1 ，VpVpA：0Vp exp-(Vx 2 Vx)d( )VpVpX2= 1.01VPx2x2dxx1e_x2dx利用误差函数:，、2erf (x) 2、，0 exp( - x )dxer
8、f(x2) - erf (x1)1 0.84682一 0.8427 = 0.21 %(3)令Vx由麦氏速度分布律得:VPvx %2 4VzdN 33Vp e2VpdV xdV vdV z x y zN3二（xx23.0e dx2ox1-x13e dx )3 = (0.002 )3 = 0.8 10 "3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dV为纵坐标，V为横坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。解：由麦氏速率分布律得:dNm=4 N (-3 m 2 VdV2 二 KT)2e 2KT将兀=3.14, N=N=6.02 X 1023T=100Km=
9、32< 10-3代入上式得到常数：m2 KT(1)3A=4 r:N A ()2 e2 二 KTdNBV 2 . . 2二Ae - V dv为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论:由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化,然在最可几速率处取极大值，极大值为：令 y =如=Ae-BV2 V2 则 dv=Ae -BV2 2V V 2 e-V2(-2BV ) = 0 dv又在V=0时，y=0, V-8时,.Ti=100K< T2=400K Vpi <Vp2由此作出草图 13-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值1 o：，f(V)dv解:m2 二
10、 KT)2mv2o eKTVdV"(亲产(KT) mmIKV2d(-2KTv2)m ,=4二()22 KTmV2.(当屋州 m2m1.二KT3-10 容器的器壁上开有一直径为 0.20mm的小圆孔，容器贮有100c的水银， 容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg(1)求容器内水银蒸汽分子的平均速率。(2)每小时有多少克水银从小孔逸出？V _ 8RT _8 8,31373解：(1) 一丫3.14 工 201 m 10、=1.9810 2(m / s)(2)逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸1出的分子数为：N nV st 4其中1 nV =
11、1 .EV是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，s = n (d )2是小孔44 KT2面积，t=3600s,故N = 1 P V与大，代入数据得：4 KTN=4.05 X1019(个)口201 10 219M = m N =N23- 4.05 10N A6.02 10= 1.3510 1g )3-11如图3-11 , 一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分 别为D、m、p2、02o两部分气体的温度相同，都等于 To摩尔质量也相同，均 为小。试证明：如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：2 二 RTA(P1 一 P2)题3-11图A的器壁碰撞的分子数。证明：设P1
12、>P2,通过小孔的分子数相当于和面积为1 一从1跑到2的分子数：Ni = n»i ,A .t4从2跑到1的分子数：N 2 = 1 n/V? A t4实际通过小孔的分子数：(从1转移到2)1 -.N = N1 - N2 At (n 1Vl - n2V 2)4T1=T2=T-1 a 8RT / P1M = m ： n = = Am :(4 '二KTP2KT )(P1 - P2)LZ：2 二 RTA(P1P2)若P2>R,则Mk0,表示分子实际是从2向1转移3-12有N个粒子，其速率分布函数为dNf (v)= d 二C(v0v 0) Ndvf (v)= 0(Vo v)(
13、1)作速率分布曲线。(2)由N和vo求常数C(3)求粒子的平均速率。解：(D f f (v) =C(v0)v)0)- f (v) = 0(Vo v)得速率分布曲线如图示NfB),、-V0.0 f(v)dv =° cdv =1即 cv 0 = 1vo(3) oOv = 0 vf (v)dv121Cv。 = vo223-13 N个假想的气体分子，其速率分布如图 3-13所示(当v>v。时，粒子数为 零)。(1)由N和V0求a。(2)求速率在1.5V。到2.0V。之间的分子数。(3)求分子的平均速率。解：由图得分子的速率分布函数：f(v)=VaVoN(0 V Vo )(V 0 V 2
14、 V 0 )( V 2V0 )(1)dN = Nf (V ) dv(V ) dVVadVadvaV2 Na 二3V0(2)速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数2 V oN =1.5V0 Nf (V .1.5VadVo=a ( 2V 0 - 1 .5V0 )3-14证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作:dNdx=F (x2)其中x2 KTvpF(x2)e2x证明:dN = Nf (v)dv23 mv4 二 N ( 一m一)2 e 2 KT v2 dv2 二 KT一 2-3vP 2 .v p e v dv2vv p2 d (4N 飞 :ex 2 e x dxx2 = F ( x2)vx的分子数3
15、-15设气体分子的总数为 N,试证明速度的x分量大于某一给定值为：N vx ,： - ”1 - erf (x)(提示：速度的x分量在0到电之间的分子数为证明：由于速度的x分量在区间vxvx +dvx内的分子数为:dNvN j、二 vp e2vx-2"v pdv x故在vx0范围内的分子数为:dNVxvxdNVx0 dNdNVxoO0 dN7T利用误差函数得:Vx0 dNVxerf(x)Vxdvdx2erf (x)1 - erf (x)3-16设气体分子的总数为N,试证明速率在0到任一给定值v之间的分子数为:0-.v=N erf (x)2-x其中提示:d (xe_x2证明:0.v4二（
16、4N4N为最可几速率-xdx - 2x2e_x2dx 0 f (v)dv2 二 KT- 2 vp2KT2 .v dvv 2dvdv令 X = -v-，则 dv = v p dx pv pe -x2x 2dx2122由提示得：xe - dx =e- dx - d (xe _ )x2N 0 ,v-4N - xe 3x 一二 2 0xV20 d (xe )2x2=N erf (x)e 3-17求速度分量vx大于2 Vp的分子数占总分子数的比率。解：设总分子数N,速度分量Vx大于2 Vp的分子数由15题结果得: N .N2vx .： - 2-1 - erf （x）其中 x = v = 2Vp = 2V
17、p Vp可直接查误差函数表得：erf (2) =0.9952也可由误差函数：369.erf (z) =2=z- -z +- - -z十、,二1! 33! 74! 95! 11将z=2代入计算得: erf (2) =0.9752N 2Vp 二 _ 1 - 0.9952N2=0.24 %1 ) V=Vp3-18设气体分子的总数为N,求速率大于某一给定值的分子数，设（ （2） V=2Vp,具体算出结果来。解：（1） V=Vp时，速率大于Vp的分子数：二二VN 1 = N “ f（V）dV = N ° f（V）dV - ° f（V）dV利用16题结果：22N = N 1 - erf
18、 （x）xe ' 这里x =工=1V p. . . ：N 1= N 1 _ 0.84270.41 = 0.57 N(2) v=2vp时，x = v =2 ,则速率大于2vp的分子数为: vp22) , N2 = N 1 - erf (2)e = 0.046 N3-19求速率大于任一给定值v的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。解：由18题结果可得单位体积中速率大于 v的分子数为：nvo = n1 - ef (x) +-2=xe3, (n = 口) 二V在垂直x轴向取器壁面积dA,则速率大于v能与dA相碰的分子，其vx仍在 0g问，由热学P30例题，每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于 v
19、的分子 数为：一 二 一、，1 一N = 0 nv_.； f (vx)vxdvx = - vnv >:-2 _x12=-n v1 - erf (x)xe4二3-20在图3-20所示的实验装置中，设钿蒸汽的温度为T=827K转筒的直径为D=10cm转速为=200冗l/s ,试求钿原子Bi和Bi 2分子的沉积点P'至ij P 点(正对着狭缝S3)的距离s,设钿原子Bi和Bi2分子都以平均速率运动。解：钿蒸汽通过S3到达P'处的时间为:t = D在此时间里R转过的弧长为： v2vBi = 209/8, 2 = 418. cD 2 D 2 :二Bi, SBi 二二2v 2 8 R
20、T代入数据得：S Bi"L、Bi1., 8RT-1 .53 (cm )3-21收音机的起飞前机舱中的压力计批示为I.Oatm,温度为270C;起飞后压力计指示为 0.80atm,温度仍为27 0C ,试计算飞机距地面的 高度。解：根据等温气压公式：P=P0e -有 In =-H = - In ?其中In =In = -0.223 ,空气的平均分子量 u=29.H= 0.223 X =2.0X 103(m)3-22上升到什么高度处大气压强减为地面的75% ?设空气的温度为 0 0C.解：由题意知：=0.75 故H = -In ?代入数据得：H =2.3 X 103(m)3-23设地球大
21、气是等温的，温度为t=5.0 0C,海平 面上的气压为P0=750mmHg,令测得某山顶的气 压P=590mmHg,求山高。已知空气的平均分子量 为 28.97.解：H = - In ?代入数据得：H=2.0X103(m)3-24根据麦克斯韦速度分布律，求气体分子速度 分量vx的平均值，并由此推出气体分子每一个 平动自由度所具有的平动能。解：1 1) x=/0° -8vx2f(vx)dv x=2 f0° 0vx2( ) e - vx2dv x=v -1p 0vx2 e -vx2dv x查热学附录3-1表得:x= Vp-1( )3/2=同理可得：y= x=(2)分子总的平动能
22、：2= 2= m x=同理得：= =可见，气体分子的平均动能按自由度均分，都等于 KT.3-25令&= mv2表示气体分子的平动能， 试根据 麦克斯韦速率分布律证明，平动能在区间££+d £内的分子数占总分子数的比率为：f( £ )d £ (KT) -3/2 £ ?e /KT?d £根据上式求分子平动能 £的最可几值。证明：(1) f(v)dv =4 n ( )3/2?e v2v2dv= (KT)-3/2?( v2)1/2?e-mv2/2KT?d( )= mv2故上式可写作：F( £ )d
23、63; (KT) -3/2? £ ?e /KT?d £(2)求£最可几值即f( £ )为极大值时对应的£值。=(KT) - 3/2 £ -?e /KT( )+e- ? -£=(KT) -3/2e - ( -£- £ /KT)=0£ - - £ =0彳导:£ p = £ =3-26 温度为 27 0C 时， 一摩尔氧气具有多少平动动能？多少转动动能？解： 氧气为双原子气体，在 T=300K 下有三个平动自由度，两个转动自由度。由能均分定理得：£ = RT =
24、 X 8.31 X 300 = 3.74 X 103 (J)=RT = 8.31 300 = 2.49 103(J)3-27 在室温 300K 下，一摩托车尔氢和一摩尔氮的内能各是多少？一克氢和一克氮的内能各是 多少？解：U 氢=RT =6.23 X 103(J)U 氮=RT =6.23 X 103(J)可见，一摩气体内能只与其自由度(这里t=3,r=2,s=0)和温度有关。一克氧和一克氮的内能：U=.-U 氢=3.12 X 103(J)U 氮=2.23 X 103(J)3-28 求常温下质量为M=3.00g 的水蒸气与M=3.00g 的氢气的混合气体的定容比热解：设 Cv1 、 Cv2 分别
25、为水蒸气和氢气的定容比热，Cv1 、 Cv2 分别为水蒸气和氢气的定容摩尔热容量。在常温下可忽略振动自由 度，则有：Cv1= R =3R：Cv1 '=Cv2= R =2.5RCv2 = =Cv = = ( + )= 5.9 (J/gK)3-29 气体分子的质量可以由定容比热算出来，试推导由定容比热计算分子质量的公式。设氩的定容比热 Cv = 75Cal ?Kg-1 ?K-1, 求氩原子的质量和氩的原子量.解： ( 1 ) 一摩尔物质定容热容量为：Cv =ucv,对理想气体来说：Cv = (t+r+2s)R分子质量m = = ?= (t+r+2s)R?= (t+r+2s) ? (Cv=7
26、5cal/kg?k)(2) 氩是单原子分子，故Cv = R=3(Cal/mol ?K)故瀛的原子量u= = 4.0 X 10-2(Kg/mol)分子质量 m= = 6.6 X 10-26(Kg)3-30 某种气体的分子由四个原子组成，它们分别处在正四面体的四个顶点：( 1)求这种分子的平动、转动和振动自由 度数。( 2)根据能均分定理求这种气体的定容摩尔热容量。解：(1 )因 n 个原子组成的分子最多有3n个自由度。其中3 个平动自由度，3 个转动自由度，3n-1个是振动自由度。这里 n=4,故有12个自由度。其中3 个平动、个转动自由度，6 个振动自由度。(2) 定容摩尔热容量：Cv= (t+r+2s)R = X18X2= 18( Cal/mol?K)