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1、 二次函数零点问题 【探究拓展】探究1：设分别是实系数一元二次方程和的一个根，且求证：方程有且仅有一根介于之间.变式1：已知函数f(x)ax24xb(a<0，a、bR)，设关于x的方程f(x)0的两实根为x1、x2，方程f(x)x的两实根为、.（1）若|1，求a、b的关系式；（2）若a、b均为负整数，且|1，求f(x)的解析式；（3）若<1<<2，求证：(x11)(x21)<7.变式2：二次函数满足且方程有实根.（1）求证：函数在上是增函数.（2）设函数的零点为和，求证：.变式3：设函数f(x)ax2bxc，且f(1)，3a>2c>2b，求证：（1）a
2、>0且3<<；（2）函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；（3）设x1、x2是函数f(x)的两个零点，则|x1x2|<.变式4：设函数且.（1）求证：函数有两个零点；（2）设是函数的两个零点，求的取值范围；（3）求证：函数的零点至少有一个在区间内.探究2：已知方程有两个不相等的实数根.（1）求的取值范围；（2）求证：函数在区间上是单调函数.变式：已知二次函数和（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不相等的实根，当时判断在上的单调性；（3）若方程的两个不相等的实根为，的两实根为，求使得成立的的取值范围.探究3：二次函数，方程的两根和满足（1）求实数的
3、取值范围；（2）试比较与的大小并说明理由变式：已知，是的零点，且，则从小到大的顺序为_探究4：已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围解析1：函数在区间-1，1上有零点，即方程=0在-1，1上有解. a=0时，不符合题意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解<=>或或或或a1.所以实数a的取值范围是或a1.点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题.解析2：a=0时，不符合题意，所以a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，问题转化为求函数-1，1上的值域；设t=3-2x，x-1，1，则，t1,5,，设，时，此函数g(t)单调递减，时
4、，>0,此函数g(t)单调递增，y的取值范围是，=0在-1，1上有解ó或.点评: 将原题中的方程化成的形式, 问题转化为求函数-1，1上的值域的问题,是解析2的思路走向.变式1：已知函数（1）求证：函数y = f(x) 的图象恒过两个定点（2）若y = f(x)在（1，3）内有零点，求a的取值范围（1）设，即令x2 = 4，得x = -2或2则函数y = f(x) 的图象恒过定点（-2，7），（2，-1） （2）f(-2) = 7 > 0，f(2) = -1 < 0，y = f(x)在（-2，2）内有零点1）若a > 0，抛物线开口向上，y = f(x)在（1
5、，3）内有零点，当且仅当f(1) > 0，或f(3) > 0 则，或0 <，或 2）若a < 0，抛物线开口向下，y = f(x)在（1，3）内有零点，当且仅当f(1) > 0即 ，结合a < 0，得a < 0 3）若a = 0，y = f(x)的零点为，在（1，3）内综合1），2），3），得a的取值范围为（-，）（，+）变式2：已知函数（1）若的解集是，求实数的值；（2）若为整数，且函数在上恰有一个零点，求的值探究5：已知函数，若对于任意的实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是_. 变式1：已知函数f (x)2mx22(4m)xl，g(x)
6、mx，若对于任一实数x，f (x)与g (x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 . 分析：问题可转化为数学符号语言：“已知函数f (x)2mx22(4m)xl，g(x)mx，R，或”，求实数m的取值范围. 不难发现，若利用上述解法3，采用对立转化法，即可设命题，或；则命题，. 若命题成立时：首先，当时，存在实数，使得不等式组成立.其次，当时，函数f (x)为开口向下的二次函数，g (x)为上的减函数且值域为，必存在，使得函数且.再者，当时，g(x)为上的增函数且值域为；若存在实数使成立，即要有. 又，解得或；综上，若命题成立时：有或；即可知当命题成立时：.答案错了变式2：设函数，函数
7、，若存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是_ 挖掘题中隐含条件：存在，使得，从而对参数的范围进行局部缩小；解析：由知，又存在，使得知即或，另中恒过，故由函数的图象知：若时, 恒大于0，显然不成立。 若时，若时，另，显然不成立。解法1（分离参数法）时，或者当时，都有.当时，则有：当时，；当时，；因此，若R，使得与同时成立，则由上分析可知：只有当时，不等式成立. 设函数，. 令，易求. 则 解法2（数形结合法）由于；.若存在R，使得，则，即；则：1°当时，由题意可知，. 二次函数对称轴， 在上为减函数，则，即.2°当时，. 而二次函数对称轴，在 上为增函数，又，因此，此情形下
8、.综上，.解法3（对立转化法）命题p：若R，使得与同时成立. 则p：对R，或成立. 下研究若命题p成立时，参数的取值范围：1°当时，R，恒成立，因此，适合题意.2°当时，；则，2.1°，即；2.2°，即；因此有. 3°当时，；则，有，即；因此，.综上，当时，p成立；那么，命题p成立时，.变式3：设函数，函数，若不存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是_评注：（1）含参曲线的特征观察（定点？平行直线系？切线构成的包络线？）（2）充分挖掘题中的隐含条件，从而对参数的范围进行局部缩小；变式4：函数，对有或成立.若，则实数的取值范围是_. 变式5：已
9、知，若同时满足条件： ，或；( -,-4), ，则m的取值范围是_ 分析：对于条件，仍然采用对立转化法，分析命题“，且”. 又当时，函数，则只要存在实数使成立即可.首先，当时，则适合；其次，当时，二次函数开口向上，则总存在实数使成立.再者，当时，二次函数开口向下，即要有；又此时二次函数对称轴方程为，则，解得；因此，命题成立时，或；那么条件成立时，；对于条件，当时，则可知存在，；并且.可分如下两种情形：(1)，解得；(2)，解得；综上可知，当条件都成立时，.探究6：设，方程的两个根是和，且，. 又若，试比较与的大小.【解】因为、是方程的两个根，所以，.因此 .由，及，得. 所以，当时，有.探究7：实数R，函数，且满足. （1）求的取值范围；（2）设为常数，且a > 0，已知函数的两个零点为x1，x2 ，令且，求证：.探究8：设函数（1）当，求函数的零点；（2）当时，求证：函数在内有且仅有一个零点；（3）若函数有四个不同的零点，求实数的取值范围. 变式1：若关于x的方程kx2有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是_变式2：已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是 （0，3）【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？