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1、传球问题的统一解法及染色问题刘克让1. 传球问题很多高中数学复习资料中常见有关传球和染色类型的问题.请看:例 1 甲、乙、丙三人相互传球, 甲首先发球作为第一次传球 ,传球 5 次, 球在甲手中的不同方法有多少种 ?分析此类问题解法很多，有的从传球方向分析；有的从中间持球人分析，但传球次数一多， 则分类复杂， 不易算对， 且方法难以掌握 . 本人以遇难则返的思想,直接用树图求解, 不但简单明快 , 还能找到一般的解题规律。解: 由于持球人只能传球给其他2人, 所以:甲(传 1次)乙丙(传 2次)甲丙甲乙(传 3次 )乙丙甲乙乙丙甲丙(传 4次 )甲丙甲乙乙丙甲丙甲丙甲乙乙丙甲乙容易看出 , 若
2、要第5 次传球到甲手中 , 只要乙丙二人传出即可。所以 ,传球 5次,球在甲手中的不同方法有10 种。此种方法有一般性：例 2 a1 ,a2 , am ,m (m3) 个人相互传球 ,a1 首先发球作为第一次传球,传球n (n 3) 次 , 球在 a1 手中的不同方法有多少种? 球在甲手中的概率是多少？分析 1次传球 a1 传 (m1) 种，其中 a1 ：0（ a1 手中无球），传给其余人共： (m1) 种；2 次传球 (m1)2 种，其中 a ： (m1)1种，传给其余人共：(m1)2(m1)种； 3 次传1球 (m 1)3 种，其中 a1 ： (m1)2(m1) 种 ，传给其余人： (m1
3、)3(m1)2(m1)种； n 次传球 (m 1)n 种，其中a1 ：(m1)n 1(m 1)n 2(1)n (m 1)种，（即 n1次传给其余人的种数）设 S = (m 1)n 1 (m 1)n2(1)n (m1)S = ( 1)n (m 1)1(1)n 1( m 1)n 1 = ( 1)n (m 1)(1)2 n (m 1)n1m1mn n= (m 1) ( 1) (m 1) . m用数学归纳法容易证得：定理 1m (m 3) 个人相互传球 ,确定某人首先发球作为第一次传球, 传球n (n 3) 次 ,球在此人手中的不同方法有S(m 1)n( 1)n (m 1) 种；球在甲手中的概m率 P
4、S.1)n(m由此定理计算例1： m 3, n 5 ,(3 1)5( 1)5 (3 1)S10 （种）32. 传球问题与染色问题的关系仍以例 1 为例.若把甲、乙、丙三人看成“三种颜色”， 5次传球到甲手中看成“染5个区域，相邻区域不同染色，甲选定某色”. ，求染法种数 .则两种提法实质是相同的 .例 3现有三种不同颜色供选择染如图5 个区域，且相邻区域不同色，求不同的染法种数.分析由于 1 号区有三种染法，由定理1 知：23S 3(3551)30.1不同染法种数1) ( 1)(334于是我们得到如下的（无心）染色定理:5定理 2 有 m 种不同颜色供选择， 染如图 n 个区域（把图中5 改为 n, n 3, m 3 ），并且相邻区域不同色，则不同染法有( m1)n( 1)n (m 1)种 .例 4甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由拿球者传给其他三人中任一人，这样共传了4 次，则第 4 次球仍回到甲的方法有多少种？回到甲的概率是多少？（21；p= 7 ）27此类问题还有研究空间，欢迎有兴趣的读者积极探索。