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1、常微分方程知识的应用1研究电容器的充电和放电规律，应用一阶微分方程知识此问题主要出现在机电一体化专业的 电工学、电工电子技术等课程中， 主要应用于研究电工电子技术中电容器充电及放电时电容电压Uc、电流ic、电阻元件的端电压Ur分别随时间t的变化规律。所谓电容器是指电学中能储存电 荷的装置，电容器是常见的电路元件和电工设备。它的品种和规格很多，但是， 就其基本原理而言，都是由两片金属板被绝缘物质隔离而成， 并在金属板上引出 两根端线。若在电容器二端接上直流电源 E,就在金属板上分别聚集等量的正、 负电荷Q.当电源撤除之后，电荷仍然积聚在极板上，此时电容器两端有电压 Uc. 因此，电容器有储存电荷
2、的作用。同时在两极板之间建立电场、并储存电场能量。 若电容元件储存的电荷量为 Q,其两端电压为Uc,则Q与Uc之比称为电容元 件的电容量C,即C=Q/Uc (F).电容器能反复的充电与放电，电容器的充电与 放电有着重要的实用意义，如电子电路中的滤波电路、振荡电路、微分及积分电 路等都是以电容的充、放电为基础进行工作的(如图所示)。u小i实例1如图所示的RC电路，已知在开关K合上前电容C上没有电荷,电容C两端的电场为零，电源的电动势为 E。把开关K合上，电源对电容C充 电，电容C上的电压Uc逐渐升高，求电压Uc随时间t变化的规律。TEc分析：首先建立微分方程。根据回路电压定律可知，电容C上的电压
3、Uc与电阻R上的电压Ur之和等于电源电动势 E,即Uc+Ur=E.电容充电时，电容上 电量Q逐渐增加，根据电容性质，Q与Uc有关系式Q=CUc.于是，i-dQndQUcXCdUJ代入Uc+Ri=E中，得到Uc （t）所满足的微分方程为 dt dtdtRCdUC+Uc =E.然后，求此微分方程的通解与特解，便可得出电容器的充电规 dt律。解答：（计算过程略） tUc =E（1 -e十）.实例2已知如图所示的RC电路中，电容C的初始电压为U0,当开关K闭合时电容就开始放电，求开关 K闭合后电路中的电流强度i的变化规律。解答：（计算过程略）U 0"Re2研究机械振动现象，应用二阶线性常系数
4、微分方程知识此问题主要出现在机电一体化专业的机械设计基础课程中，主要应用于 研究无阻尼简谐振动、阻尼振动、有阻尼强迫振动、共振等现象和规律。在机电 工程技术领域中，振动现象比比皆是。例如，机床和刀具在加工时的振动，各种 动力机械的振动，控制系统中的自激振动等。随着机械化工业的大力发展，当前 不断出现机械振动的新设备和振动新工艺，如振动传输（振动传输机），振动筛选（共筛机），振动研磨，振动抛光，振动沉桩，振动消除内应力等，利用振动 原理工作的机械设备，应能产生预期的振动。但是，振动也会给物体带来一定的 危害，主要表现为：振动会引起工程结构的变形破坏， 会影响精密仪器设备的功 能，降低加工精度和光
5、洁度，加剧构件的疲劳和磨损，从而影响机器和结构物的 工作性能，并缩短其使用寿命。随着现代化机械结构日益复杂， 运转速度日益提 高，振动可能造成的危害将更加突出。为此，在机械设计时，必须充分考虑并研 究机械的振动现象。实例运用二阶线性微分方程知识，分析、研究阻尼振动现象及特点。分析：把空气阻力的影响考虑进去。由实验可知，空气阻力Fi与物体的运动速度成正比： = -ki dx ,其中ki为比例系数（ki>0）,称为阻尼系数，负号表示,2.,出 m dt m阻力与运动方向相反。这时，物体的运动方程为 d等+显,以+Kx = 0,这是二阶常系数线性齐次方程，其特征方程为片+匕九+K = o ,特
6、征根为 m m, 2k1 _ ki 14km222%2=.然后，分 k1 - 4km >0、 k1 -4km=0、 k1 -4km <0 二种2m解的情况进行讨论。最后，分析得出阻尼振动现象及特点。解答：(计算过程略)当ki2 -4km <0时，脑、九2为一对共腕复数，其微分方程的通解为 ki tki tx(t) =e 2m (ci cosoM+c2sin st),或改写为 x(t) = e 2m Ai sinQit+Q).此解含有周期函数，因而物体产生振动，振动角频率 弗=.km-ki .但是随着时间的延2m续，振幅越来越小，最后位移消失、物体停止振动。这种振幅随时间而减小
7、的振 动，称之为阻尼振动。阻尼振动现象在实际应用中很有意义。3研究电学中的振荡现象，应用二阶线性常系数微分方程知识此问题主要出现在机电一体化专业的电工电子技术课程中，应用于研究 电磁振荡现象和规律。与机械振荡相仿，在有些电路中电荷和电流也会作周期性 变化，这称为电磁振荡，能产生电磁振荡的电路称为振荡电路。 如图所示的电路， 它包括电阻R,电容C,电感L及电动势E=Eocos0t ,则根据电学知识可建立关 于电容器上储存的电量 Q=Q ( t)的微分方程：d2QdQ iL2- R Q = Eocos t (i) dt2dt C电磁振荡也分为阻尼振荡、受迫振荡、电共振等几种形式。例如共振现象，当方 程(i)中电动势的频率切等于LRC回路的固有频率时，也会使电路出现共振现 象。含有电动势 E的LRC回路实例电路由路端电压为V的直流电源、电阻R、自感L和在t=0时接通的开关串联而成，求出电流强度对时间的依赖关系（当 t>0时）。分析：运用二阶线性常系数微分方程知识求解。解答：（计算过程略）I 二Vd-e'.R