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1、2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题级.指定位置上.(1)当x 0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是()23(A) x o(x ) o(x )(B) o(x) o(x2) o(x3)(C) o(x2) o(x2) o(x2)22(功 o(x) o(x ) o(x )(2)函数f(x)|x|x 1的可去间断点的个数为()x(x 1)ln |x |(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(3 )设Dk是圆域D (x,y)|x2 y2 1位于第
2、k象限的部分，记Ik (y x)dxdy k 1,2,3,4 ，则()Dk(A) I10(B) I2 0(C) I3 0(D) I4 0(4)设aj为正项数列，下列选项正确的是()(A)若 an an1,则(1)n1an 收敛 n 1(B)若(1)n 1an 收敛，则 an an 1(C)若 an收敛，则存在常数P 1,使limnn 1nan存在(D)若存在常数P 1,使limnPan存在，则 n nan收敛 1(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB C,则B可逆，则(A)(B)(0(D)矩阵矩阵矩阵矩阵C的行向量组与矩阵 C的列向量组与矩阵 C的行向量组与矩阵 C的行向量组与矩阵A的行向
3、量组等价 A的列向量组等价 B的行向量组等价 B的列向量组等价(6)矩阵00相似的充分必要条件为0(A)0,b(B)0, b为任意常数(O2,b 0(D)2, b为任意常数(7)设 X1, X2, X3是随机变量，且 X1N(0,1), X2N(0,22) , X3N(5,32),Pj P 2Xj 2( j 1,2,3),则(A)P2P3(B)P2(OP2(D)P3P2(8)设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为, 则 PX Y 2()1 (A)- 12 (B)- 81 (C)-61(D)-2二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸.指定位置上.(9)设曲
4、线y f(x)和y x2 x在点(0,1)处有公共的切线，则lim nf 。n n 2(10)设函数z z(x, y)由方程(z y)x xy确定，则-z(12) 。 x(11)求 "x 2 dx。1 (1 x)(12)微分方程y y 1 y 0通解为y。4(13)设A (aj)是三阶非零矩阵，|A |为A的行列式，Aj为a0的代数余子式，若a。Aj 0(i,j 1,2,3)，则 A (14)设随机变量X服从标准正态分布XN(0,1)，则E(Xe2X) =。三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分1
5、0分)当x 0时，1 cosx cos2x cos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值。(16)(本题满分10分)1设D是由曲线y x3,直线x a(a 0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy 10Vx,求a的值。(17)(本题满分10分)设平面内区域D由直线x 3y,y 3x及x y 8围成.计算 x2dxdy。 D(18)(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P 60 -Q-, (P1000是单价，单位：元，Q是销量，单位：件)，已知产销平衡，求：(1)该商品的边际利润。(2)当P=50
6、时的边际利润，并解释其经济意义。(3)使得利润最大的定价R(19)(本题满分10分)设函数f(x)在0,上可导，f(0) 0且lim f(x) 2,证明 x(1)存在a 0,使得f(a) 1(0,a),使得 f'()(2)对(1)中的a ,存在(20)(本题满分11分)1a0 1设A 1 a ,B 0 1 ,当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC CA B ,并求所有矩阵C1 01 b(21)(本题满分11分)设二次型 f x1, x2, x32 a1x12a2x2a3x3b?x2b3x3 2 ,记a1na2,b2°a3b3(I)证明二次型f对应的矩阵为2 T(II )若，正交
7、且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型222 y1y2。3x2, 0x1, 0, 其他.，在给定0 y x,其他.(22)(本题满分11分)设X，Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fx x3y2x x 0 x 1的条件下，Y的条件概率密度x yxx30,(1)求X,Y的概率密度f x, y ； (2) Y的边缘概率密度fY y .(23)(本题满分11分)x 0,其中 为未知参数且大于零，XX2,L Xn为 其它.2设总体X的概率密度为f x £e0,来自总体X的简单随机样本.(1)求的矩估计量；(2)求 的最大似然估计量.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学
8、三试题答案、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上.(1)当x 0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是(23(A) x o(x ) o(x )(B) o(x) o(x2) o(x3)(C) o(x2) o(x2) o(x2)(D) o(x) o(x2) o(x2)【答案】D【解析】o(x) o(x2) o(x),故D错误。(2)函数 f (x)|x|x 1x(x 1)ln |x |的可去间断点的个数为【解析】由题意可知f(x)的间断点为0, 1。又故f (x)的可去间断点有2个(3
9、 )设Dk是圆域D (x,y)|x2 y2 1位于第k象限的部分，记Ik (y x)dxdy k 1,2,3,4 ，贝U ()Dk(A) I10(B) I2 0(C) I3 0(D) I4 0【答案】B【解析】令x r cos , y r sin ,则有一， 一.2故当k 2时， 一， ，此时有I2 - 0.故正确答案选B。23(4)设小为正项数列，下列选项正确的是(A)若 an ani,则(1)n1an 收敛n 1(B)若(1)n 1an 收敛，则 anan 1n 1(C)若 an收敛，则存在常数P 1,使lim nPan存在 nnn 1(D)若存在常数P 1 ,使lim nPan存在，则a
10、n收敛nn 1【答案】D【解析】根据正项级数的比较判别法，当P 1时，口I敛，且lim nP为存在，则 an与n 1 n Pnn 1同敛散，故 an收敛. pn 1(5)设夕!阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB C,且C可逆，则(A的行向量组等价 A的列向量组等价 B的行向量组等价 B的列向量组等价(A)矩阵C的行向量组与矩阵 (B)矩阵C的列向量组与矩阵 (C)矩阵C的行向量组与矩阵 (D)矩阵C的行向量组与矩阵【答案】(B)【解析】由C AB可知C的列向量组可以由 A的列向量组线性表示，又 B可逆，故有A CB 1,从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确
11、选项为(B)。1a1200(6)矩阵a b a与0 b 0相似的充分必要条件为1 a1000(A) a0,b2(B) a 0, b为任意常数(Qa2,b0(D) a 2,b为任意常数【答案】(B)1 a 1【解析】由于1a 1aba的特征值为2,b,01a 1aba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而2 0 00 b 0相似的充分必要条件为0 0 0a 1b a (b)(2) 2a2,从而a 0, b为任意常数。a 1(7)设 X1, X2, X3 是随机变量,且 XN(0,1), X2N(0,2 2) , X3N(5,32),Pj P 2 Xj 2( j 1,2,3),则()(A) P
12、P2 R(B) P2 R E(C) R P P2(D) P P3 P2【答案】(A)【解析】由 X1 : N 0,1 ,X2 : N 0,22 ,X3 : N 5,32 知，p1P2X12PX1|2221,p2P2X22PIX2I 2211 ,故 PiP2.由根据X3 : N 5,32及概率密度的对称性知，Pi P2 P3,故选(A)(8)设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，则 PX Y 2()(A)112(B)(C)(D)【答案】(C)【解析】P X Y 2 P X 1,Y 1 P X 2,Y 0 P X 3,Y1，又根据题意X,Y独立，故1P X Y 2 P X 1 P Y
13、 1 P X 2 P Y 0 P X 3 P Y 1,选(C)6二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答跳级.指定位置上.(9)设曲线y f(x)和y x2 x在点(0,1)处有公共的切线，则lim nf n n 2【答案】2【解析】y x2 x在(1,0)处的导数是y'(1) 1,故f'(1) 1,f (1) 0,(10)设函数z z(x, y)由方程(z y)x xy确定，则-z。,x【答案】2 2ln 2【解析】原式为exln(z y)xy,左右两边求导得:xyln( z y)x 3 z yy,令 x 1,y 2得 z 0, zx2(1 ln 2)(
14、11)求 ln x 9dx。1 (1 x)2【答案】ln2ln x1 ln x 1, ln x , x【角单析】 2 dx ln xd ( )+ dx+ln (1 x)1 x 1 x x(1 x) 1 x 1 x1 一.(12)微分方程y y - y 0通解为y。41 x【答案】e2 CiX C2【解析】特征方程为 21 1x7 0,2(二重根)，所以通解为y e2 Gxe2(13)设A (aj)是三阶非零矩阵，|A |为A的行列式，Aj为a0的代数余子式，若a。Aj 0(i,j 1,2,3)，则IA 【答案】1【解析】(14)设随机变量X服从标准正态分布XN(0,1)，则E(Xe2X) =。
15、【答案】2e2【解析】由X : N 0,1及随机变量函数的期望公式知x2.1x 2 2 4-E Xe xe e 2 dx xe2 dx 2e2.2 .2三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)当x 0时，1 cosx cos2x cos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值。【解析】因为当x 0时，1 cosx cos2x cos3x与axn为等价无穷小所以limx 0cosx cos2x cos3xnax又因为:即 lim 1x 0cosx cos2x cos3xnax1 cosx cosx(1
16、cos2x) cosx cos2x(1 cos3x)nax149所以n 2且'312 a 2a 2a1设D是由曲线y x3 ,直线x(16)(本题满分10分)a(a 0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴,轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy 10Vx,求a的值。【解析】由题意可得：6 735-因为：Vy10Vx所以6-a310 3a3a 7777 5(17)(本题满分10分)设平面内区域D由直线x 3y,y 3x及x y 8围成.计算 x2dxdy。 D【解析】x2dxdyx2dxdyx2dxdyDDiD2(18)(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为6000元，可
17、变成本为20元/件，价格函数为P 60 -Q-, (P1000是单价，单位：元，Q是销量，单位：件)，已知产销平衡，求：(1)该商品的边际利润。(2)当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。(3)使得利润最大的定价P。2【解析】(I)设利润为l,则l PQ (20Q 6000) 40Q -Q 6000 1000边际利润l' 40 *500(II )当P 50时，边际利润为20,经济意义为：当P 50时，销量每增加一个，利润增加 20(III) 令1' 0,得Q 20000,此时 P 60 -Q- 401000(19)(本题满分10分)设函数f(x)在0,上可导，f (0) 0
18、且lim f (x) 2,证明 x(1)存在a 0 ,使得f (a) 11(2)对(1)中的a,存在 (0,a),使得f'()-. a3【答案】(I)证明：Jim f (x) 2, X,当x X时，有f(x)-,“刈在0,*上连续，根据连续函数介值定理，存在 a 0,X ,使得f(a) 1(II ) f(x)在0,a上连续且可导，根据拉格朗日中值定理,f(a) f(0) f'( )a 1,(0,a),1故 (0,a),使得 f'() a(20)(本题满分11分)1a0 1设A ,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC CA B ,并求所有矩阵C1 01 b【解析】由题
19、意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C x1 x2，则由AC CA B可得线性方程组:x2ax3 0(Da% x2 ax4 1x x3 x4 1x2 ax3 b1,b 0,从而有由于方程组(1)有解，故有1 a 0,b 1 a 0,即a01 a 0 0a 10 a 11011 101 a 0 b1 01011000000100010 拓上,故有00x1k1x2x3x4k1 k1 k2，其中k1、k2任意.从而有Ck1k21k1k1k2（21）（本题满分11分）2设一次型 f x1,x2,x32 a1x1 a2x2 a3x3b1x,b2X2a1b3X3， I 己a2a320b3(II2y；证明二次型f
20、对应的矩阵为2 T T ；）若，正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型.2y2。【答案】（1）则f的矩阵为2a22a a22a1a3b12b也 bh2a1a22a22a2a3b1b2b2b2b322包2a2a32a2bAb2 b32a1a2aa3a1a22a2a2 a3a®a2a32a3bfb1b2b1b2bfb1b3bb3b2b3b；(2)令 A=2 TT - f，则A 22 ,A,则1,2均为A的特征值，又由于r（A） r（2 TT)r(T) r(T)2故0为A的特征值，则三阶矩P$ A的特征值为2,1,0 ,故f在正交变换下的标准形为2y22y2（22）（本
21、题满分11分）设X,Y是二维随机变量X的边缘概率密度为fX3x2,0,0x1, 其他.，在给定X 1的条件下，Y的条件概率密度fYX3y23X0,其他.X,(3)X,Y的概率密度f x, y ；(4)Y的边缘概率密度fY【答案】（1） f x,yyx fX9y2x0,1,0 yX,其他.(2) fY yf x, y dx9y2lny,0,0 y 其他.1,(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为fx3ex 0,其中为未知参数且大于零,Xi,X2,L Xn 为0,其它.来自总体X的简单随机样本.(1)求(2)求的矩估计量；的最大似然估计量(1) EXxf (x)dxdxxd(量为X .(2) L()f (x;2e*3 ex其他2n1-3 exi其他令 dlnL()V d2n0,i 1 xi彳曰 2n所以得极大似然估计量12nnn