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1、1、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n（a1 an）等差数列求和公式:Snna1n(n 1)d2、等比数列求和公式:Snna1 a1(1(q 1)3、Sn2n(n1)5、Snnk3k 11尹n1)2例1已知log3 xlog2 3，求解：由log3 xlog2 3由等比数列求和公式得a.q(q1)4、Snnk21気 1)(2n61)x2x3的前n项和.log3 xlog3 2Snx x2x3（利用常用公式）例 2设 Sn= 1+2+3+ +n, n N*,求 f(n)解:由等差数列求和公式得 SnSnf(n) (n 32) Sn 1n 341 64
2、In 命，即题1.等比数列的前n项和x(1 Xn)1 xid11Sn(n 32)Sn 10 1)，2n 34n 64(n2 50的最大值.Sn50n= 8 时，f (n)maxS n = 2 n_,贝y+(ac2(n1)(n2)（利用常用公式）1.11答案：-0?- !)«- L)说-S 5解：原式=-二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3（2n 1）xn 1 解：由题可知，（2n 1）xn1的通项是等差数列2n 1的通
3、项与等比数列xn1的通项之积设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n-得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3再利用等比数列的求和公式得：(1 x)Sn1）xn （设制错位）2x42xn 1 （2n 1）xn（错位相减）n 11 x1 2x(2n1)xn1 xSn(2n 1)xn1 (2n 1)xn (1 x)(1 x)2例4求数列,甲， 前n项的和.2 2 2 2练习题12n的通项与等比数列12n的通项之积设Sn2462n222232n1 c2462n2Sn2223242* 1解：由题可知,乍的通项是等差数列2一得（12)SnSn2歹1盯n 22* 12 22 22n盯2 2nnn
4、12 2（设制错位）（错位相减）c 1已知求数列 an的前项和Sn.S =-l*2°-2l-2R_1-2+1答案：1 35练习题2；、炸甘2«+3答案：的前n项和为三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1an ).例 5求证：C0 3c： 5C2(2n 1)C：(n 1)2n证明：设Sn C0 3C15C；(2n1)C：把式右边倒转过来得Sn(2n1)Cn (2n1)C； 13C1c0（反序）C： m可得Sn(2n1)C(2n1)C：3C：1+得 2&(2n 2)(C；
5、 CnC：Cnn)2(n 1) 2n（反序相加）Sn(n 1)2n例 6求sin21 sin2 2sin2 3sin2 88sin2 89的值解：设 S sin21sin2 2sin2 3sin 2 88sin2 89将式右边反序得2S sin 89sin 2 882 2sin 3 sin 2sin21（反序）又因为 si nxcos(90x),s in2 x2 cos+得（反序相加）2S (si n212 2cos 1 ) (sin 2cos2 22 2(sin 89 cos 89 ) = 89S= 44.5题1 已知函数'（1）证明：_ 一；f 一 + f HJ 一 + J 一（2
6、）求11。丿丿丿丿的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知，(1、+ +/110丿而两式相加得:f/+ / k血丿丿S=-所以.练习、求值:L2（|_"一 f十1出十2°十记十号十計亠3212+ 107+?四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可a（Aa例7求数列的前n项和：11,丄a7,1n 1 a3n1 解：设 Sn（1 1）（a将其每一项拆开再重新组合得1Sn （1-a当a= 1时,Sn4)7)(丄n
7、1 a3n 2)1n 1a(3n1)n)(13n 2)丄na1 1a例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.当a 1时,(3n1)n2（分组）（分组求和）1(3n 1)n a a2 a 1(3n 1)n232解：设 akk(k 1)(2k 1) 2k 3k kSnk(k 1)(2k 1) =(2k3 3k2 k)k 1k 1将其每一项拆开再重新组合得nSn= 2k 1k3 3knk21nkk 1（分组）=2(13233 n)3(12 22n2)(1 2n)n2(n1)2n(n1)(2 n 1) n(n1)（分组求和）22 2n(n1)2(n2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和
8、中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sinlcosn cos(n 1)tan(n 1) tann(3)an1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 丄2 2n 12n 1)(5)ann(n 1)( n 2)12n(n 1)(n1)(n 2)ann 21n(n 1) 2n2(n 1) nn(n1)12n1n 2n 11(n 1)2n,则 Sn11(n 1)2n(7)(8)an(An B)(A n C)C B( An BAn C)an-,n、百 n例
9、9求数列1223' n 、一 n 1的前n项和.解：设an"1 n.n n 1（裂项）例 10例 11解:则 Sn / 223=(2 1)在数列an中,解:an bn求证:（裂项求和）anbn，求数列b n的前n项的和.an an 1n n 12 2n n1i的前n项和2) (21)(334)丄n nn 1)=8nn 111=8(11cos1 cos 2cos88 cos891)数列b n1 、Sn8(1cosO cos1cos1sin21（裂项）（裂项求和）cosO cos1cos1 cos 2cos88 cos89sin1cos n cos(n 1)tan(n 1)tan
10、n（裂项） S cos0 cos11= (tan 1sin 1cos1 cos 2cos88 cos89（裂项求和）tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3tan 2 ) tan 89 tan 88 -(ta n 89sin 1tan 0 )=丄sin 1cos1cot1 = y-sin21 原等式成立1 1+ 亦，1丈44y7练习题1 .答案：11L11十十十十练习题2。2-43-5 46仗十1)仗十3)1(1 J 答案.223冷+2料+3六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后
11、再求Sn.cosncos(180 n )例 12 求 cosl° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.解：设 Sn= cosl° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179°-Sn =(cos1°+ (cos890+ cos179°广 + cos91)+ ( cos2°° ) + cos90°+ cos178° ) +(cos3°+ cos177O)+
12、 (合并求和)数列an:a 1,a23, a32,an 2an 1an ,求 S2002.解：设 S2002= aia2 直a2002由a11,a23, a32, an :2an1 an可得a41, a53, a62,a71,a8 3a92,a101, a13, a122,a6k 11, a6k 23, a6k3 2,k 41, a6k 53,6 2a6k1a6k 2a6k 34a6k 5a6k 60（找特殊性质项）S2002 = a1i82a3a2002（合并求和）=(a1a?a3a6)7a8a12)(a6k1a6k :2a6k 6 )1993Q994a1998)a1999a2000a200
13、1a2002=a1999a2000a2001a2002=a6k 1a6k 2a6k 3k 4=5（找特殊性质项）例 13解：设 Snlog3 ai Iog3a?logsdo由等比数列的性质 m n p qaman apaq和对数的运算性质loga M loga N log a M NSn(log3 a1log3ai0) (logsa?log3 a?)=(log3 aiai0) (log3 a2 a?)(log3 a5（找特殊性质项） 得（log3 a5 log3a6）（合并求和）a6）=log3 9 log39 log3 9设 = -1 + 3-5 + 7- -+(-!)*(2w-l)，则实=
14、练习、求和:=10练习题i答案:2"ll：练习题 2 .若 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1 n，贝y S17+S33 + S 50 等于 ()A.1B.-1C.0D .2解：对前n项和要分奇偶分别解决，即:Sn =答案：A练习题 31002-99 2+98 2-97 2+ +22-12 的值是A.5000B.5050C.10100D.20200解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的
15、方法例 15求 111 1111111之和.n个111解：由于 11119999(10k 1)（找通项及特征）1 11 111111 1n个1111213=-(101 1)-(1021) -(103 1)9991(10n 1)9（分组求和）1123=6(10 10 10110n)(1 1 1 1)9n个1_ 1 10(10n 1) n910 19=丄(10n1 10 9n) 81例16已知数列an: an(n3），求 n(n1)(anan 1)的值.解：t (n 1)(anan 1 )8(n3)1(n 2)(n4)（找通项及特征）(n 2)(n4)(n（设制分组）(n=)8(n4）（裂项）提高
16、练习：(n 1)(an an J1（分组、裂项求和）1114 (-)8 -344133n1.已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn 14an2(n1,2,)，印 1,设数列 bnan1 2an(n 1,2,），求证：数列 bn是等比数列;设数列cn），求证：数列Cn是等差数列;k个 19k个 192.设二次方程 anx -an +ix+1=0(n N)有两根 a 和 B，且满足 6 a -2 a3 +6 3 =3 .(1)试用an表示a n 1 ;2求证：数列见是等比数列！7当幻=£时.求数列佝的通项公式.Q3数列an中，a18,a42 且满足 an 22an1ann N求数列an的通项公式;设Sn丨印|& |an 1，求Sn ； 说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列” 一章的学习。