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1、第 4 讲盈亏问题教学目标 本讲主要学习三种类型的盈亏问题：1. 理解掌握条件转型盈亏问题：2. 理解掌握关系互换性盈亏问题 ;3. 理解掌握其他类型的盈亏问题， 本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题其本公式的含义， 在通过例 题让学生掌握解答应困问题的其本技巧，培养学生的思维分析能力。 经典精讲 盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配 物品时，经常会产程这种盈亏现象。 盈亏问题的关键是专注两次分配 时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类： “一盈一亏”、“两盈” “两亏”。1. “盈亏”型 例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果， 如果每人分 4 粒就多 9 粒，如
2、果每人分 5 粒则少 6 粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？ 【分析】由题目条件知道， 同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种 分配方案，第一种没人分 4 粒就多 9 粒，第二种每人分 5 粒则少 6 粒，两种不同方案一多一少差 9+6=15（粒），相差原理在于两种方案 分配数不同，两次分配数之差为 15 1 15 （位），糖果的粒数为： 4 15 9 69 （粒）。2. “盈盈”型例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴 10 个桃，就多出 9 个桃，每 只小猴分 11个桃则多出 2 个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子 一共有多少个桃子？分析：老猴子的第一种方案盈 9 个桃子，第二种方案盈 2个，
3、所以盈 亏综合是 9-2=7（个），两次分配之差是 11-10-1（个）有盈亏问题公 式得，有小猴子： 7 1 7 （只），老猴子有 7 10 9 79 （个）桃子。3. “亏亏”型 例如：学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发 10本，还差9本，每人发 9本，还差9本，第二次就只差 2本了呢？ 因为两次分配数量不一样， 第一次分配时每人少发一本， 也就是共有 7 1 7 （人）书有 7 10 9 61（本）。 根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题的基本关系式：（盈 +亏 ） 两次分得之差 =人数或单位 数（盈 -盈） 两次分得之差 =人数或单位数（亏 -亏） 两次分得之差
4、=人数或单位数 条件转化型的盈亏问题 这种类型的题目不能直接计算， 要将其中的一个条件转化， 使之成为 普通盈亏问题。【例1】 军队分配宿舍，如果每间住 3 人，则多出 20 人；如果每间 住 6 人，余下 2 人可以每人住一个房间， 现在每间住 10 人， 可以空出多少个房间？【分析】每间住 6 人，余下 2人可以每人各住一个房间，说明多出两 个房间，同时多出两个人，也就是第二次分配少 6 2 2 10 （人）， 那么两次分配方案人数相差 20+10=30（人），即可以空出 10-50 10 5 （间）房间。【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住 12人，则 34 人没有位置；如果
5、每个房间住 14人，则空出 4 个房间。求学生宿舍 有多少间，住宿学生有多少人？【分析】把“每个房间住 14 人，则空出 4个房间”转化为“每间住 14 人，则少 14 4 56（人）”这样两种方案就可以比较了。 第一种方案多出 34 人，第二种方案少 56 人， 90 2 45（间），学生 数为： 12 45 34 574（人）例 2妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分 4 个，其余人 每人分 2 个，则多出 4 个；如果其中一人分 6 人，其余人每人分 4 个，则缺少 12 个，妈妈买来橘子多少个？全加共有多少人？ 【分析】由“其中两人分 4 个，其余每人分 2个，则多出 4个，”转
6、 化为全家每人都分 2个，这分 4 个的两人每人都拿出 2个，共拿出 4 个，结果就多了 4+4=8个：由“一人分 6个，其余每人分 4 个，则缺 少 12 个”转化为全家每人都分 4 个，分 6 个的人拿出 2 个。结果就 少了 12-2=10 个，转变成了盈亏问题的一半类型 ,则： 全家的人数： 4 2 2 （12 2） （4 2） 18 2 9 （人） 橘子的个数： 2 9 8 26 （个）铺垫】实验小学的少先队员去植树。 如果每人种 5 棵还有 3 棵每人 种；如果其中 2 人各种 4 棵。其余的人各种 6 棵，这些树苗正好种完， 问有多少少先队员参加植树，一共 iozhong 多少课
7、树苗？ 【分析】这是一道较难的盈亏问题， 主要难在对第二个已知条件的理 解上：如果其中 2人各种 4 棵，其余的人各种 6棵，就恰好种完，这 组条件中包含着两种种树的情况 2 人各种 4 棵，其余的人各种 6 棵。如果我们把他们统一成一种情况，让每人种六棵，那么，就可以 多种树（ 6-4） 2 4 （棵）。因此，原问题就转化为：如果每人各种 5 棵树苗，还有 3 棵没人种 ;如果每人种 6 棵数树苗，还缺 4 棵。问有 多少少先队员，一共种多少树苗？ 人数： 3+（6-4） 2 （6 5） 7（人）， 棵树： 5 7 3 38 （棵）或 6 7 4 38（棵） 【小结】盈亏问题必须是将一定数量
8、的物体平均分给固定对象， 而本 题中两次分橘子均不是每人分别的橘子数相同。碰到此类似情况时， 不需将其调整成两次都是平均分，然后解答。【例2】 学校规定上午 8时到校，小明去上学， 如果每分钟走 60 米， 可提早 10 分钟到校； 如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到 校，求小明几时几分离家刚好 8 时到校？由家到学校的路程 是多少？【分析】小明每分钟走 60米，可提早 10分钟到校， 即到校后还可多 走 60 10 600 米，如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校， 即到校后还可多走 50 8=400（米），第一种情况比第二种情况 每分钟多走 60-50=10（米），就可以夺
9、走 600-400=200（米）， 从而可以求出小明由家道校所需时间。1）10 分钟走多少米？ 60 10 600 （米），2）8 分钟走多少米？ 50 8 400 （米）3）需要时间：（600-400） （60 50） 20 （分钟），所以小明 7时 40 分离家刚好 8 时到校。4）由家到校的路程： 60 （20 10） 600（米）或 50 （20 8） 600（米）.铺垫】童童从家到学校，如果每分钟走 50 米，上课就要迟到 3 分 钟；如果每分钟 60 米，就可以比上课时间提前 2 分钟夺走 60-50=10（米），就可以夺走 150+120=270（米），童童从家到 学校所用时间是
10、： 270 10 27 （分钟），加到学校的距离是： 50 （27 3） 50 30 1500 （米）。例 4 】（第二届“华杯赛”试题）有一个半同学去划船。他们计算 以下，如果增加一条船，正好每条船作 6 人；跑如果减少一条 船，正好每条船坐 6人。如果减少一条船， 正好每条船坐 9人。 问：这个班共有多少学生分析】先增加一条船，那么正好每条船坐 6 人。然后去掉两条船， 就会余下 6 2 12 （名）同学。改为每条船 9 人，也就是说， 每条船增加 9-6=3（人），正好可以把余下的 12 名同学全部安 排上去，所以现在还有 12 3 4 （条）船，而全班同学的人数 是 9 4 36 （人
11、）。【巩固】增加两条船，正好每条船坐 6 人，然后去掉四条船，就会余 下6 4 24（人），改为每只船 9 人 ，即每条船增加 9-6=3（人）， 正好可以把余下的 24 人全部安排上去，所以现在船数为 24 3 8 （条），这个班的人数为 9 8 72（人）。【小结】这部分的题目不能直接运用公式计算， 首先需要将一定的条 件转化，使之成为跟第一步分相似的题型，在运用公式计算。关系互换型的盈亏问题这种题型中会出现两种物品， 一半两者之间还存在数量关系， 如和差 关系、倍数关系等， 我们应该先利用数量关系将已知条件转化 为一种物品的盈亏关系，再根据盈亏问题的 解法计算。【例 5】（2004“走进
12、美妙的数学花园”数学邀请赛） 幼儿园老师把一袋糖果分给下朋友。如果分给打扮的小朋友，每人 5 粒就缺 6粒。如果分给小班的小朋友，每人 4 粒。已知大班比 小班少 2 个小朋友这袋糖果共有多少粒？【分析】如果大班增加 2个小朋友，大、小班人数就相等了， 变为“每 人 5 粒缺 16 粒，每人 4 粒多 4 粒”的盈亏问题。小班有 （16 4） （5 4） 20 （人）。这袋糖果有 4 20 4 84 （粒）。【拓展】（2007 年湖北省“创新杯”决赛） 四（2）班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱取买糖果。如果买芒果 13 千克，还差 4元;如果买奶糖 15千克，则还剩 2 元。已知每
13、千克芒果比奶糖贵 2 元，那么，辅导员老师带了 元钱.分析这笔钱买了 13千克芒果还差 4元,若把 13千克芒果换成奶糖就 会多出 13 2 26元，所以这笔钱买 13 千克奶糖会多出 26-4=22 元。而这笔钱埋 15千克奶糖会多出 2 元，所以每千克奶糖的 价 格 为 ：（ 22-2 ） （15 13） 10 （ 元 ）。 辅 导 老 师 共 带 了 10 15 2 152（元）【例 6】（2004 南京市少年数学智力冬令营）甲、 乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信封与相同数量 的信封，甲每封信用 2 张信纸信纸，乙每封信用 3 张信纸，一段 时间后，甲用完了所有的信封还剩 20
14、张信封，乙用完所有信纸还 剩下 10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【分析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺 30 张信纸。这是 盈亏问题，盈亏总额为（ 20+30）张信纸，两次分配的差为（ 3-2）张 信纸，所有的信封（ 20+30） （3 2） 50 （个），有信纸 2 50 20 120） （张）【巩固】甲、乙两人的信纸一样多，信封也一样多，甲写一封信用一 张信纸，乙写一封信用 3 张信纸。结果甲的信封用完时还剩 50 张信 纸，乙的信纸用完时还剩 50 个信封，原来他们 各自有信封多少个？信纸多少张？ 【分析】乙要想用完剩余的 50 个信封，还需再多 50 3=150张信纸，
15、 也就是要用完同样多的信封，甲多 50张信纸，乙少 150 张信纸。信封的个数： （50 3 50） （3 1） 100 （个）信纸的张数： 100+50=150（张）【小结】不同的人，相同的物品，假设都用完同样多的信封，这就是 “盈亏”的关联点，问题便于解决了。【例 7】体育中心将一些乒乓球分给若干人，每人 5 个还多余 10 个 乒乓球，如果人数增加到 3 倍，那么每人分 2 个乒乓球还缺少 8 个， 问有乒乓球多少个？【分析】考虑人数增加 3 倍后，相当于按原人数每人给 2 3 6（个）， 每人给 5 个与给 6 个，总数相差 10+8=18（个），所以原有人数 18 （6 5） 18
16、（人），乒乓球总数是 5 18 10 100（个）【拓展】卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫， 每只 大熊猫分 5个还多余 10棵竹子，如果大熊猫数增加到 3倍还少 5只 大熊猫，那么每只大熊猫分 2 个还缺 8 棵竹子，问有大熊猫多少只， 竹子多少课？注意】以上题型中会出现两种物品， 一般两者之间还存在数量关系，如和差关系、倍数关系等， 我们应该先利用数量关系将已知条件转化 为一种物品的盈亏关系，再根据普通盈亏问题的解法计算。【例 8】幼儿园阿姨拿来水果糖和奶糖分给小朋友，且水果糖的个数 是奶糖的 2倍。如果每个小朋友分 2个奶糖，就多余 4个奶糖；如果 每个小朋友分 5个水果糖
17、，则少 2个水果糖。阿姨拿来了水果糖和奶 糖个多少个？【分析】水果糖和奶糖的个数不相等，不能将两者直接比较，如果本 题中水果糖和奶糖一样多就好了。 所以，我们可以假设水果糖和奶糖 一样多，也就是假设奶糖是实际数量的 2 倍，那么，分给同样多的小 朋友后，每个小朋友可以分到 2 2=4 个，而多余的奶糖是 4 2 8（个）、 分到太奶糖和水果糖相差 8+2=10 个，原因是每个小朋友多分了 5-4=1 个，这样就可以求出小朋友的人数， 然后根据太烫和水果糖的实际分 配情况，分别求出奶糖和水果糖的个数， 然后根据奶糖和水果糖的实 际分配情况，分别求出奶糖和水果糖的个数，即：（4 2 2） （5 2
18、 2） 10 1 10 （个）小朋友的人数10 2 4 24（个） 奶糖的个数10 5 2 48 （个）水果糖的个数【注意】本题的解题关键在于通过假设， 使两种糖的个数变得同样多 在解答其他类型的盈亏问题 盈亏问题有的题型不想普通的盈亏问题那么标准， 它是经过普通盈亏 问题的变形和拓展，解答这类问题也要利用其本盈亏问题解答方法， 根据不同的题型作出相应的应对。【例 9】幼儿园老师给小朋友分糖果。若每人分 8快，还剩 10 快； 若没人分 9 块，左后一人分不到 9 块，但至少可分到一块。那么糖果 最多有多少块？【分析】最后一人分不到 9 块，那么最多可以分到 8 块，即若每人分9 块，还差 1
19、 块。根据盈亏计算公式， 人数有（ 1+10）（ 9-8）=11（人）， 糖果最多有 9 11 1 98 （块）；最后一人分不到 9 块，但至少可分到 一块，即最少是最后一人差 8块，根据盈亏计算公式， 人数有（8+10） （9 8） 18 （人），糖果最多有 9 18 8 154（块）；所以，这批糖果最 多有 154 块。【拓展】有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些 小朋友，如果只分一盒， 每人均至少可得 7张，但若都分 8 张则缺少 5 张。现在把所有卡片都分完，每人都分到 60 张，而且还多出 4 张。 问共有小朋友多少人？【分析】60 7 84,60 8 74，说明卡片
20、的盒数是8盒，“若都分8 张则还缺少 5张”，即如果我们每盒中加 5张（8盒共加 40张），每 人就可以得到 8 8 64 （张）,现在时机每人得到 60 张,即每人需要 退 4 张，其中要有 4 张式每人 60 张后多下来的， 还有 40 张我们一开 始借来的要还出去，即要退出 44张，44 4 11（人），说明有 11 人。【例 10 】妈妈给了红红一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年 卡，甲种卡每张 1 元，丙种卡片每张 2 元。用完这些钱买甲种卡要 比乙种卡多买 8 张，买乙种卡要比买丙种卡多买 6 张。妈妈给了红红 多少钱？乙种卡每张多少钱？【分析】“用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多
21、买 8 张，买乙种要比买 丙种卡多买 6 张”所以盈亏总额是： 1 8 2 6 20 （元），单价相加 2-1=1（元），所以工可以买衣种卡 20 1 20 （张），妈妈给红红的钱 数是：（20+8） 1=28（元），乙种卡每张： 28 20=1元 4角。【拓展】乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中 2 分币比 5 分币 多22个;按钱数算，5分币比 2分币多 4角；另外，还有36个1分币。 乐乐共花了多少钱？【分析】假设去掉 22个2分币，那么按钱数算， 5分币比 2分币多 8 角4分，一个 5分币比一个二分币多 3分，所以5分币有：84 （5-2）=28 个2 分币有： 28+22=50
22、（个）所以乐乐共存钱： 5 28 2 50 1 36 140 100 36 276 （分）。巩固精炼1. 小明读一本书，如果每天读 6 页，还剩 20页没有读完，如果每天 读 10 也，书还少 24 页，这本书共有多少页， 小明打算几天读完？【分析】在两种方法中，数的页数和打算读的天数没有改变，而第一 种读法，书没读完，还剩 20 页；第二种读法，不仅可将余下的 29 页 读完，如果书还有 24 页也能恰好读完。两种不同读法总页数相差 20+24=44页，造成这个差异的原因就是每天多读天了 10-6=4 页。每 天多读 4页就要多读 44 页，因此打算毒的天数是 44 4 11天，即：20+2
23、4）（ 10-6）=44 4=11（天）6 114 20 86 （页）2. 阳光小学学生乘汽车到香山春游。如果每车坐 65人，则有 5 人不 能乘上车；如果没车多坐 5 人，恰好多于一辆车，问一共有几辆 汽车，有多少学生 ?分析每车多坐 5 人，实际是每车可坐 5+65=70（人），恰好多余一辆 车，也就是还差一辆汽车的人，即 70 人，因而原因问题转化为：如 果没车坐 65 人，则多出 5 人无人乘坐；如果每车坐 70 人，还少 70 人，求有多少人和多少辆车？车数是（ 5+5+65） 5 15 （辆）人数是 65 15 5 980（人）或（ 5+65） （15 1） 980 （人）3. 王
24、老师由家里到学校，如果骑车每分钟每分钟 500 米，上课就要 迟到 3 分钟；如果骑车每分钟 600 米，就可以比上课时间提前 2 分钟到校。王老师家到学校的路程是多少米？【分析】迟到 3 分钟转化成米数： 500 3=1500（米），提前两分钟到 校转化成米数： 600 2=1200（米），（1500+1200） （ 600-500）=27 （分钟） 500 （27 3） 15000 （米）4. 王阿姨去买水果。如果买 5 千克橙子，就差 10元钱；如果买 6 千 克葡萄，则余 2 元钱。已知每千克橙子比每千克葡萄贵 4 元，每 千克橙子和每千克葡萄个多少元？【分析】本题涉及到两种水果，较难
25、入手。但题中告诉我们每千克橙 子比每千克葡萄贵 4 元，所以可以设法把两种水果转化为一种水果。因为每千克橙子比每千克葡萄贵 4 元，所以将买 5 千克橙子换成买 5 千克葡萄，就要少用 4 5=20（元），于是，“买 5千克橙子差 10 元钱” 就可以变成“买 5 千克葡萄余 20-10=10元”，则题目乘为：王阿姨买 水果，如果买 5 千克葡萄，就余下 10 元钱；如果买 6 千克葡萄就余 2 元钱，而每千克橙子比每千克葡萄贵 4 元，求每千克橙子和葡萄各 多少元？解答这个问题就不难了。每千克葡萄的价钱： （5 4 10 2） （6 5） 8 1 8 （元）每千克橙子的价钱： 8+4=12（
26、元）5. 妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为 8元和 10元，妈 妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买 3 袋，并且没有剩 余的钱。问：妈妈带了多少钱？【分析】（法一）“多买 3 袋，”这三袋洗衣粉多花 8 3 24（元）又因 为花的钱总数一样多多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补 上，而碧浪比雕牌每袋贵 2 元，所以要买碧浪洗衣粉袋数 24 2 12 （袋。）这样妈妈带的钱数是 10 12 120 （元）。（法 2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后 还剩 3 8 24（元），买碧浪洗衣粉的数量是： 24 （10 8） 24 2 12（袋） 所以妈妈带的钱数是 12 10 120 （元）