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1、倍角三角形模型基本结论及其辅助线构造法-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1倍角三角形模型基本结论及其辅助线构造法如果一个三角形的内角等于另一个内角的2倍，那么这样的三角形为“倍角三角形。倍角三角形的辅助线一般构造等腰三角形或作倍角的角平分线。【例 1】如图 1， ABC 中，Z C=a> N B=2a, AB=c, BC=a, AC=b,且(a>b>c) ° 求证：b2 -c2=aco【解析】如图1-1，作N B的角平分线BD,交AC于点D,根据角平分线定理(详见角平分线在三角形中的比例关系)，a ： c=CD： DA, (a+c)
2、： c= (CD+DA) ： DA=b ： DA,DA- (a+c) =bc： RZ ABD=a> Z C=a»/. & ABD- a ACB,J c2=DA-b,DA=c2/bt 代入式：!(a+c) c2/b=bc,整理，得：D卜、b2 -c2=acal我们注意到在【例1】没有限制NA和NB的数量关系，所以当A cbZ A=nZ B ( n>2)时，总有 b2-c2二ac 成立 ©【例 2如图 2, ABC 中，Z C=a, Z B=2a> Z A=4a, AB=c, BC=a, AC=b,且(a> b>c) o求证；Cl)储一炉五
3、A； <2> /yJoc； (3)(4> » -t-p.【解析】由【例11可知，倍角(2a)对边与原角(a)对边的平方差等于第三条边与 原角(a)对边的乘积，可知(1)、(2)是正确的；对于(3),如图 2-1,作N BAD=a,则N CAD=N CDA=3a,Z. CD=b： BAD- 4 BCA, c2=BD a：*. BD=a-bc2=a (ab),化简，得：a2-c2=ab；对于(4),将(1)、(2)结论中得两式相加，得：、a2-c2=(a+b)c,由(3) ： a2-c2=ab>3/)(a+b)c=ab,A C如果【例2】跳过(1) . (2)、(
4、3),直接证明(4)的结论，也可以这样证明:如图2-2,作N BAC的平分线AD.作N ABF二a, BF交 CDA延长线于点F；延长CB至点E,使得NAEC=a,连接 KAE。a则4 ABJ & ACD, c ： AD= a ： b,A Z DBF=3a, Z BDF=3a, 义FD=FB：易知，ABFW&BEA, / /. FB=AE=b,，FD=b, AF=c,八3_z蚁/. AD=bc,/. c ： ( b-c) = a ： b» 化简，得【例 3】如图 3, ABC 中，NC=a, Z B=2a> Z A=6a, AB=c, BC=a, AC=b,且(
5、a> b>c),试探讨a, b, c之间的数量关系。【解析】由【例1】，因为NB=2NC,所以满足b2-c2=ac： 除此之外，我们再来探求其他的关系。显然可求得a=20o, 3a=60o,如图3-1,在BC上找出两点 D、E,满足N CAD=2a, N DAE=3a,则N ADE=3a,: & ADE为等边三角形；Ka CAD4 CBA- 4 ABE,c2=a-BE,b2=a-CD，AD ： c=b ： a,. AD=bc/a；+：b2 +c2=a (BE+CD) =a (a-DE),DE=AD=bc/at b2 +c2=a (a-bc/a),化简，得： b2 +bc+c2=a2.【总结】善于思索和探究是学好一切自然科学的前提。