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1、二阶线性微分方程解结构与通解性质,6 二阶线性微分方程解的性质与通解结构,二阶线性微分方程的概念二阶线性齐次微分方程解的性质与通解的结构二阶线性非齐次微分方程解的性质与通解结构常数变易法,二阶线性微分方程解结构与通解性质,一. 二阶线性微分方程的概念,定义1：,二阶线性微分方程解结构与通解性质,二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构,设有二阶线性齐次微分方程,(2),关于(2)的解，我们有：,二阶线性微分方程解结构与通解性质,定理1,都是方程(2)的解，,线性齐次方程的解具有可叠加性。,二阶线性微分方程解结构与通解性质,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也
2、是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,二阶线性微分方程解结构与通解性质,定义2,成立，则称此 n 个函数在 I 内线性相关，否则线性无关。,二阶线性微分方程解结构与通解性质,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,特别地:,二阶线性微分方程解结构与通解性质,两个函数在区间 I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则
3、,必线性,相关,(证明略),线性无关,二阶线性微分方程解结构与通解性质,Dec.15 Wed. Review,1. 二阶线性微分方程,二阶线性微分方程解结构与通解性质,(2),定理1 若,是方程(2)的解，,则它们的任意组合：,都是方程(2)的解，其中,为任意常数。,2. 线性齐次方程的解具有可叠加性,二阶线性微分方程解结构与通解性质,3. 线性相关与线性无关,成立，则称此 n 个函数在 I 内线性相关，否则线性无关。,二阶线性微分方程解结构与通解性质,定理2,二阶线性微分方程解结构与通解性质,对高阶线性齐次方程，有类似定理：,定理3 若,是n阶线性齐次方程,其中,为任意常数。,的n个线性无关
4、的特解，则它的通解为：,二阶线性微分方程解结构与通解性质,三. 二阶线性非齐次微分方程 解的性质与通解的结构,定理4 设 是非齐次方程,的一个特解，,为对应的齐次方程的通解，则,为非齐次方程的通解。,二阶线性微分方程解结构与通解性质,证明：,由假设知：,二阶线性微分方程解结构与通解性质,例,已知,是对应齐次方程的通解，,容易验证：,故该方程的通解为，,为该方程的一个特解.,二阶线性微分方程解结构与通解性质,例1 证明：如果 和 是 的两个线性无关解，则 是对应齐次方程的解。已知二阶线性非齐次方程的3个特解为 求该方程满足初始条件 的特解。,二阶线性微分方程解结构与通解性质,证明：,二阶线性微分
5、方程解结构与通解性质,要求出非齐次方程的通解，须先构造齐次方程的通解.,只有零解。,二阶线性微分方程解结构与通解性质,故得齐次方程的两个线性无关的特解，非齐方程的通解为：,二阶线性微分方程解结构与通解性质,例2.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,二阶线性微分方程解结构与通解性质,解的叠加原理,二阶线性微分方程解结构与通解性质,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特
6、解,二阶线性微分方程解结构与通解性质,四、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程的通解:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1. 已知对应齐次方程通解:,设的解为,由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:,二阶线性微分方程解结构与通解性质,令,于是,将以上结果代入方程 :,得,故, 的系数行列式,二阶线性微分方程解结构与通解性质,积分得:,代入 即得非齐次方程的通解:,于是得,说明:,将的解设为,只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一,个条件,方程的引入是为了简化计算.,二阶线性微分方程解结构与通解性质,情形2.,仅知的齐次方程的一个非零特解,代入 化简得,设其通解为,积分得,(一阶线性方程),由此得原方程的通解:,二阶线性微分方程解结构与通解性质,例5.,的通解为,的通解.,解: 将所给方程化为:,已知齐次方程,求,利用,建立方程组:,积分得,故所求通解为,二阶线性微分方程解结构与通解性质,例6.,的通解.,解:,对应齐次方程为,已知对应的齐次方程有特解:,令,代入非齐次方程后化简得,此题不需再作变换.,特征根:,设的特解为,于是得的通解:,故原方程通解为,(二阶常系数非齐次方程),代入可得:,