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1、2 21.直线y= kX k+ 1与椭圆爲+ = 1的位置关系为（）94A 相交B. 相切C. 相离D 不确定2 .已知以Fi（ 2,0）, F2（2,0）为焦点的椭圆与直线A. 3,23椭圆的焦点为Fi, F2,过x+ ,3y + 4= 0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（C. 2 .7B. 2.6F1的最短弦PQ的长为10， PF2Q的周长为36,则此椭圆的离心率为（D罟B.1C.24y4.已知点P满足-+ y2= 1,Fi（ . 3，0），F2（ .3，0），则 |PFi汁 |PF2与 4 的大小关系为（）A .AB .2 2y5.若AB是过椭圆孑+詁=1（a>b>0）中心
2、的一条弦，M是椭圆上任意一点，且 AM、BM与坐标轴不平行, kAM、kBM分别表示直线 AM、BM的斜率，贝U kAM kBM=（）b2c2B.孑C. b2c2A. a2C.D .无法确定a2 D .孑6.已知点 M( 5,0),2XN(0,5)，P 为椭圆-+1上一动点，则 &mnp的最小值为（）A. 5 ,2B . 52 27.直线4+y= 1与椭圆話+七=1相交于C. 20D. 20 . 2A、B两点，椭圆上的点P使厶ABP的面积等于12,这样的点共有（D. 4个8如图,AB与FC交于D点，则/ BDC的正切1椭圆中心在坐标原点，离心率为2, F为椭圆左焦点，直线值是（3.3A
3、.C. 3 31 1F作弦AB，若AF|= d1，|FB| = d?，那么& +爲的值为2 210. 以椭圆乞+ y = 1内的点M（1,1）为中点的弦所在的直线方程是 .1642 211. 已知椭圆C :+ y2= 1的两焦点为F1, F2,点P（Xo, yo）满足0<冒+ y0< 1，则尸卄|PF2|的取值范围为，直线X0X+ y0y= 1与椭圆C的公共点个数为 .2 212. 已知椭圆?+活=1（a>b>0），以O为圆心，短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为 A、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为 .13. 椭圆
4、mx2 + ny2= 1与直线y= 1 x交于M、N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则2 2i14若椭圆笃+字1的焦点在x轴上，过点(1, 1)作圆X2+ y2= 1的切线，切点分别为 A, B,直线AB恰 a b2好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 215.已知椭圆X2- + y2 = 1及点B(0, 2),过左焦点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，F2为其右焦点，求 CDF2的面积.16已知椭圆1(a> 3)的离心率1e=2直线x= t(t>0)与椭圆E交于不同的两点M, N，以线段MN为直径作圆C,圆心为C.(1)求椭圆E的方程;(2)若圆C与y轴相交于不同
5、的两点 A, 8,求厶ABC的面积的最大值.17.设A、B是椭圆3x2+ y2=入上的两点，点N(1,3)是弦AB的中点，弦AB的垂直平分线与椭圆相交于 C、D两点.(1)求弦AB所在直线的方程，并确定入的取值范围；(2)求以弦CD的中点M为圆心且与直线 AB相切的圆的方程.18在直角坐标系xOy中，点P到两点（0, .3）、（0 , .3）的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y =kx+ 1与C交于A, B两点.写出C的方程；（2）若OA丄OB,求k的值.2 2X y19椭圆孑+乜=1（a> b >0）与直线x+ y = 1交于P、Q两点，且OP丄OQ，其中O为坐标原点. 求
6、右+右的值；若椭圆的离心率e满足 汁 e< -2-，求椭圆长轴的取值范围.20. 已知椭圆C:拿+古=1（a>b>0）的离心率为-3，短轴一个端点到右焦点的距离为3.求椭圆C的方程；（2）设直线I与椭圆C交于A、B两点，坐标原点0到直线I的距离为，求厶AOB面积的最大值.21. 设fi、F2分别是椭圆X-+y2= 1的左、右焦点.4若P是该椭圆上的一个动点，求 PFi PF2的最大值和最小值；(2)设过定点M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点 A、B，且/ AOB为锐角(其中0为坐标原点),求直 线I的斜率的取值范围.222. 在平面直角坐标系 xOy中，经过点(0, ,
7、2)且斜率为k的直线I与椭圆乡+ y2= 1有两个不同的交点 P 和Q.(1)求k的取值范围；T T T(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数k,使得向量OP+OQ与AB共 线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.23. 已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过A(0,2)、B(2 .'2).(1) 求椭圆C的方程；T T(2) 设过E(1,0)的直线I与C交于两个不同点 M、N,求EM EN的取值范围.24.设A、B分别为椭圆a + bg= i(a>b>0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1,冷3)在该椭圆上.(1) 求椭圆
8、的方程.(2) 设P为直线x= 4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线 AP与椭圆相交于异于 A的点M，证明： MBP为钝角三角形.2 2X y25.已知 A(1,1)是椭圆 a + b = 1(a>b>0)上一点,Fi、F2是椭圆的两焦点，且满足|AF!|+ |AF2|= 4.(1)求椭圆的标准方程；设点C、D是椭圆上两点，直线 AC、AD的倾斜角互补，求直线 CD的斜率.226.已知椭圆C :笃+ y2= 1(a>1)的上顶点为 A，左、右焦点F1> F2，直线AF2与圆M : x2+ y2- 6x 2y+ 7 a=0相切.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若椭圆内
9、存在动点 P，使|PF1|，|PO|，|PF2成等比数列(O为坐标原点)求PF1 PF2的取值范围.1. 直线y= kX- k+ 1与椭圆+ y = 1的位置关系为()94A 相交B.相切C.相离D 不确定答案 A解析T直线方程可化为y1= k(x- 1)恒过(1,1)定点，而(1,1)在椭圆内部，选 A.2已知以F* -2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+ 3y + 4= 0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为C. 2 7D. 4 2A 3,2B. 2 622答案C解析 设椭圆方程为十書=1, (a>b>0),与直线x+ 3十4= 0联立方程.a b丁有一个交点，= 0,
10、又 c= 2.二 a= .7,二选 C.F1的最短弦PQ的长为10, PF2Q的周长为36,则此椭圆的离心率为D普3椭圆的焦点为Fi, F2,过PQ为过Fi垂直于x轴的弦,则 Q( c,22b2b2), PF2Q 的周长为 36，二 4a = 36, a= 9，由已知-=5,a2 c2即a44.已知点P满足乡+=1 ,A .AC.无法确定22答案 A解析 T 1 = X十y2<务十y2，二点P在椭圆X十y2= 1外部，.选4442 25 .若AB是过椭圆令十器=1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且A.AM、BM与坐标轴不平行,kAM、kBM分别表示直线c2A
11、-孑AM、BM 的斜率，贝U kAM kBM=()b2c2B.- 7C -b2a2 D - ?答案 B 解析解法一(直接法)：设 A(X1, yj, M(Xo, y°),.b2 2,2则 B(-X1, - y1),贝U kAM kBM = y0_ x1 x-1Xo- x1 Xo十 x1-評+ b b22十 b2?X1 十 b-2X2X0- X1=-a；又a = 9,解得c= 6,解得c =2，即e=2.a 33Fi(- .3, 0), FX.3, 0),贝U|PFi汁 |PF2与 4 的大小关系为b2解法二(特值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0), B(-a,0), M(0,
12、 b),可得kAM kBM=-=a2 26.已知点M( 5,0), N(0,5), P为椭圆X + £ = 1上一动点，则Samnp的最小值为()A. 5 .2C. 20D. 20 22答案 B解析 T直线MN的斜率为1，二设直线y= x+ m为椭圆X +七=1的一切线.63y= x 十 m联立 * x2 y2即 3x2十 4mx十 2m2- 6= 0,二= 0, : m= ±3,. m = 3 时，Samnp最小._十丄=1,l.63又y= x+ 3与y= x+ 5两平行线间的距离为 也袒=返，二Sa MNP 最小值为5/2 J2 = 5.寸227直线” 3= 1与椭圆話
13、+七=1相交于A、B两点，椭圆上的点P使厶ABP的面积等于12,这样的点P共有()D. 4个A . 1个B . 2个C. 3个答案 B解析 可求出AB|= 5,设P(4cosB, 3sin 9)，所以P点到AB的距离|12 cos 9+ sin 1152459= n或苧，所以这样的点P有两个.8如图，椭圆中心在坐标原点,离心率为1, F为椭圆左焦点，直线 AB与FC交于D点，则/ BDC的正切值是()C解析C. 3.3' e= 1，二 a = 2c. t a2= b2+ c2，. b = Scla.g ABO= a = F，G DFB = S CFO= b= 3.tan/BDC = t
14、an(/ ABO+/DFB) = 3 3，选 C.1-申血9.过椭圆2211拿+古=1(a>b>0)的焦点F作弦AB，若AF|= d1, |FB| = d?,那么+爲的值为答案法二:22:-解析 法一(特殊值法)：令弦AB与x轴垂直d1= d2= 设 AB 的方程为 y= k(x c),. b2x2+ a2k2(x c)2 a2b2= 0,.1,1 2a1= 2d1 d2 ba2k2c2 a2b22 2.(a2k2 + b2)x2 2a2k2cx +a2k2c2 a2b2=0,.X1 + X2=2驚：2,X1x2=2,b2a k十ba k十b2 2c 2a2k2c.1 + 1 =
15、2a+ e(X1 + X2)2a+ a a2k2+?2= 2ad1 d2 a + ex1 a + ex22丄 cx 丄 x cb .- a + c x1 + x2 + -2 x1 x22 210以椭圆注+y = 1内的点m(1,1)为中点的弦所在的直线方程是164答案 x + 4y 5= 0解析 t由点差法知，以 M(1,1)为中点弦的斜率k=4 = 1，二弦的直线方16 14程为 y 1 = 4(x 1).2211.已知椭圆C :+=1的两焦点为F1, F2,点P(xo, yo)满足0<多+ y0< 1，则IPF1I+ |PF2|的取值范围为，直线罗+ y°y= 1与椭
16、圆C的公共点个数为 .答案2,2 2) 0 解析 依题意得点 P位于椭圆C的内部(异于原点O)，因此有|F1F2|W|PF11+ |PFd <2a,即 2 .2 1 < |PF11+ |PFd <2 . 2, 2<|PF1 汁 |PF2< 2. 2, IPF1I + |PF2的取值范围是2,2.2);依题 意，可考虑取特殊点 P( 1,0)，相应的直线为x= 2,显然该直线与椭圆没有公共点，即直线 晋+ y°y= 1 与椭圆的公共点的个数为 0.12.已知椭圆£+器=1(a>b>0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的
17、一端点P作圆O的两条切线，切点为 A、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为答案-2 解析 如图，因为四边形 PAOB为正方形，且PA、PB为圆O的切线，所以 OAP是等腰直角三角形，故a = . 2b,所以e= |=#.13椭圆mx2 + ny2= 1与直线y= 1 x交于M、N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为 誓，则答案由<m的值是y = 1 x2 2 消去 y,得(m+ n)x2 2nx + n 1 = 0,mx + ny = 1.则MN的中点P的坐标为m+ nm 、, m 2匕=m =亍2 2 114.若椭圆 拿+ *= 1的焦点在x轴上，过点(1,)作圆x2+
18、y,21的切线，切点分别为 A, B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,2 2答案X5 +冷=1解析则椭圆方程是由题可设斜率存在的切线的方程为1y = k(x 1)(k为切线的斜率)，即2kx| 2k+ 1|2y 2k+1=0,由萌声1，解得k= 4所以圆x2+ y21的一条切线方程为 3x+ 4y 5= 0，求得切解析/ Fi( 1,0)，二直线CD方程为1634点A(5，5)，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y= 2x+2.令y= 0得右焦点为(1,0)，令x= 0得上2 2顶点为(0,2) . a2= b2+ c2= 5,故得所求椭圆方程为* +计=1.215.已知椭圆
19、冷+ y2 = 1及点B(0， 2)，过左焦点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，F?为其右焦点，求 cdf2的面积.得 9x2 + 16x + 6 = 0,而 厶。，设 C(x1,CD = V1 + k(xi + X2 2 4X!X2，二4| =2.F2到直线DC的距离d = 45_5,故 必CDF2=CD | d= 4 ,10.2 2 116.已知椭圆E:拿+号=1(a> 3)的离心率e=$直线x= t(t>0)与椭圆E交于不同的两点M， N，以线段MN为直径作圆C,圆心为C.求椭圆E的方程;2 2解析 T椭圆E：拿+吕=1(a> 3)的离心率2 2椭圆e的方程为净+ y
20、= 1.43依题意，圆心为 C(t,0)(0<t<2) 由丿"x= t,2 2x + y_i431, 得 y2=吋(2)若圆C与y轴相交于不同的两点 A, 8,求厶ABC的面积的最大值.1 e=-2三?= 1，解得a= 2.21243t -12 =12 7t2.圆C的半径为r = 123圆C与y轴相交于不同的两点 A，B,且圆心C到y轴的距离d = t，-0<t< 12 3t，即 0<t<2-721. 弦长 |ab| = 2 r2 d2 & abc= lt.12 7t2=7 X (.7),12 7t2笃 1 了= 3/当且仅当_7t= 12
21、 712，即t-42时，等号成立.17.设A、B是椭圆3x2+ y2=入上的两点，点N(1,3)是弦AB的中点，弦AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(1)求弦AB所在直线的方程，并确定入的取值范围;(2)求以弦CD的中点M为圆心且与直线 AB相切的圆的方程.解(1)设 AX，y1)，B(X2，y2),则有3x1+ y2=入S 22，整理得 3(x1 x2)(x1 + x2) + (y1 y2)(y1 + y2)= 0.3x2 + y2=入由题意知,X1 工 X2 ,kAB =y1 y23(x1 + x2X1 x2y1 + y2点M到直线AB的距离d =3.22以弦CD的中点M为圆心且与直
22、线AB相切的圆的方程为(x+2 + (y 1)2= |.18在直角坐标系xOy中，点P到两点(0, .3)、(0 , .3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y(2)若OA丄OB,求k的值.=kx+ 1与C交于A , B两点.(1)写出C的方程;解析(1)设P(x, y),由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0, 3), (0,3)为焦点，长半轴为2 2的椭圆.它的短半轴b = 22-32 =1故曲线C的方程为x2+ = 1.2r 2, y 1X 十 =1 ,(2)设A(X1,y”,B(X2,y2),其坐标满足丿 4消去y并整理得(k2十4)x2十2kx3=0.故十j= kx 十 1.X1
23、X23k2 + 4.若OA丄OB,即 X1X2十呵2 = 0.而 y"2= k2X1X2十 k（X1 十 X2）十 1.2 23 k22k23于是 X1X2十 y1y2=严 一 R 一 R卜1 = 0化简得一 4k2十1 = 0所以k= ±1.2 219. 椭圆字十器=1(a> b >0)与直线x十y = 1交于P、Q两点，且0P丄OQ，其中0为坐标原点.(1) 求右十右的值；若椭圆的离心率e满足"33< e< -2，求椭圆长轴的取值范围.解析(1)设 P(x1, y) , Q(X2 , y2),由 OP 丄 OQ? X1X2 + y1y2
24、= 0， y1 = 1 一 X1 , y2= 1 一 X2 ,代入上式得：2 22X1X2 凶十X2)十 1 = 0 又将 y= 1 x 代入 拿十古=1? (a2十 b2)x2 2a2x十 a2(1 b2) = 0,T >0,二 X1 十 X2= a2十P， X1X2=日玄1 十 g 代入化简得 02十右=2.(2) / e2 =学=1 号，二 3 < 1 "2? 詁 a<I，又由(1)知 b2 = 2aa 1，二詁 2a2一 1 三3? 5三日2|?冷5三a益 于，二长轴是 2aE , 5, 6.22©20. 已知椭圆C: %十电=1(a>b&g
25、t;0)的离心率为 2,短轴一个端点到右焦点的距离为.3.(1)求椭圆C的方程;a b3(2) 设直线I与椭圆C交于A、B两点，坐标原点0到直线I的距离为"，求厶AOB面积的最大值.2，二b=1,二所求椭圆方程为 十y2=1.3匕 /6解析(1)设椭圆的半焦距为C,依题意a= 3，、a=>/5设 A(X1, y1), B(X2, y2).当 AB 丄 x轴时，AB|=3.当AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为y= kx十m.由已知 匸/=才，得m2=3(k2十1).把y= kx十m代入椭圆方程，整理得(3k2十1)x2十6kmx十3m2 3= 0,6km3fm 1 222二
26、 X1 十 x2 =，X1X2=-3k2 十.二 AB|2 = （1 十 k2）（X2 x1）2= （1 十2 236k m3k2+ 112 m2 1厂 “2 1 "'3k2 十 1212k23 ,12、3十1（心0）9k2 十;12 十 612 k2十 1 3k2十 1 m2 3 k2十 1 9k2十 1,（3$ 十 1j（3k2 十 1j 3十 9k4+ 6k2 + 1当 k= 0时，AB|= . 3,综上所述AB|max系3十忌 =4.当且仅当9k2= k2,即k=F时等号成立.2. 二当|AB|最大时， AOB面积取最大值.S= 1 X|AB|maxX,21. 设Fi
27、、F2分别是椭圆X4 + y= 1的左、右焦点.若P是该椭圆上的一个动点，求 PF1PF2的最大值和最小值；(2)设过定点M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点 A、B,且/ AOB为锐角(其中0为坐标原点)，求直线I的斜率的取值范围.T T解析(1)易知a= 2,b=1 , c= 3,所以Fi( 3, 0),F2(.3,0),设 P(x,y)，则 PFi PF2=(-,3 x,x21y) ( 3 x, y) = x2 + y2 3 = x2 + 1 4 3= *3x2- 8) 因为 x 2,2，故当 x= 0，即点 P 为椭圆短轴 端点时，PF1 PF2有最小值2.当x=i2，即点P为椭圆
28、长轴端点时,PF1 PF2有最大值1.B(X2, y2),"y= kx+ 2,I十=11，消去 y,整理得：(k2+ 4)x2 + 4kx + 3= 0,.x?=+ 44kX1X2=台.由厶=(4k)2*+ 4) X 3= 43 >0解得kV-子或心字又 0° / AOB V 90°cos/ AOB> 0? OA OB(2)显然直线x= 0不满足题设条件，可设直线I: y= kx+ 2, A(X1, %),> 0. OA OB = X1X2+ yy2> 0.又 yy2= (kx + 2)( kx： + 2) = k2xx2+ 2k(x +
29、X2)+ 43k2 8 k2 k2 + 13 k2 + 12= + + 4= 二 + >0.即 k2 V4, 2< kv 2.2|12|1 2|1，2|1 2|1k + 4 k + 4 k + 4 k + 4 k+ 4故由，得一2< k< #或k< 2.1有两个不同的交点 P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存T T T在常数k,使得向量OP + OQ与AB共线？如果存在，求 k值；如果不存在，请说明理由.解析(1)由已知条件，直线I的方程为y= kx+,2，代入椭圆方程得2 +曲+ 2)2 = 1,整理得 (
30、| + k2)x2+2 .2kx + 1 = 0 直线I与椭圆有两个不同的交点 P和Q等价于= 8k2 4(g+ k2) =4k2 2>0,解得k<或k2即k的取值范围为(宁)U (卡,+® )(2)设 P(X1, y1) , Q(X2, y2)，则 OP + OQ = (x1 + x2, y1+ y2)，由方程,X1 + X2 =4,2k21 + 2k2又 y1 + y2 = k(X1 + X2)+ 2 . 2T T所以 OP + OQ与 AB 共线等价于 X1 + X2= 2(y1 + y2),将代入上式，解得 k2.由(1)知k< 今或©宁，故没有符
31、合题意的常数k.123.已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过A(0,2)、B(-, 2).(1)求椭圆C的方程;(2)设过E(1,0)的直线I与C交于两个不同点 M、N,求EM EN的取值范围.解析设椭圆C的方程为mx2+ ny2= 1,1由椭圆 C 过 A(0,2)、B(2，.2)得:"m = 21n = 4椭圆C的方程为：8x2+=4.当过E(1,0)的直线I与x轴垂直时，I与曲线C无交点，不合题意，设直线I的方程为：y= k(x-1)，I与曲线C交于M(xy1), N(x2，y2)，y= k x 18x2+ y2= 4? (8+ k2)x2 2k2x+ k2 4= 0,
32、.= 4k4 4 8+ k2 k2 4 >0? k2$ ,2k2.x1 + X2=亓k2k2 4x1x2=8T7EM = (X1 1，y1)，EN = (X2 1，y2)，2.EM EN= (x1 1， y1)(X2 1， y2)= X1X2 x1 x2+ 1+ y1y2 = x1x2 x1 x2+ 1 + k(X1X2 x1 x2+ 1)=(1 + 灼(汨命十 1) = 4命二 *<8，. EMEN的取值范围是1，-9).2 224.设A、B分别为椭圆拿+古=1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1，于)在该椭圆上.(1)求椭圆的方程.(2)设P为直线
33、x= 4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线 AP与椭圆相交于异于的点M，证明：MBP为钝角三角形.解析(1)由题意得2a =4，所以2 2a = 2，所求椭圆方程为 号+ 2= 1.又点(1，三3)在椭圆上，可得b221.所求椭圆方程为乡+ y2 = 1.(2)由 (1)知 A( 2,0)，B(2,0).设P(4, t)(t工0)，M(XM，yM) 则直线PA的方程为:y=6(x+2).r t严歇+ 2)得(9 +12)加 4y2= 4IX2 + 4t2x + 4t2 36 = 0.因为直线AP与椭圆相交于异于A的点M，4t2 2t2 + 18t口6t所以-2+xM=芦所以 xM=9+12
34、.由 yM=6(xm+2)，得 yM=9+?.所以M(2t2 + 186t4t29+12，9Z?).从而 BM=(k，6t齐?)，BP = (2，t).所以BMB，P三点不共线，所以/ MBP为钝角.所以 MBP为钝角三角形.2 2X y25已知 A(1,1)是椭圆 a + b = 1(a>b>0)上一点,Fi、F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+ |AF2|= 4.(1)求椭圆的标准方程;设点C、D是椭圆上两点，直线 AC、AD解析 由椭圆定义知AFi汁AF2|= 2a = 4,的倾斜角互补，求直线 CD的斜率.2 2荃+爲一14十 b2= 1.所以a= 2,即椭圆方程为把A(
35、1,1)代入式得4+ b= 1 ,所以b2=4所以椭圆的标准方程为2y431.(2)由题意知，AC的倾斜角不为90°故设直线 AC的方程为y = k(x 1)+ 1,联立方程得*y=年1 ” 1,4 4y2=1消去 y, 得 (1 + 3k2)x2 6k(k 1)x + 3k2 6k 1 = 0.226k 6 k 3 k 6k 1 T 点 A、C 在椭圆上， 1 + XC=才./. xC= 2TC 1 + 3k2C3k2+ 1t直线AC、AD的倾斜角互补，二直线 AD的方程为y= k(x 1)+ 1.3k2+ 6k 112k6k2 2同理 xD=2_- /. XCXD = 2_- ,
36、 XC + XD= 2_-D3k2+ 1 .D 3k2+ 1 C D 3k2 +1.yc yD 1 又 yC= k(XC- 1)+ 1 yD=- k(XD- 1)+ 1," yC-yD= k(XC+ XD) 2k =3.1直线CD的斜率为1.226 已知椭圆拿+ y2= 1(a>1)的上顶点为 A,左、右焦点F1> F2,直线AF2与圆M : x2+ y2 6x 2y+ 70相切.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆内存在动点P,使|PF1| , |PO| , |PF2成等比数列(O为坐标原点)求 PF1 PF2的取值范围.解析 将圆M的一般方程x2+ y2 6x 2y+
37、7 = 0化为标准方程(x 3)2 + (y 1)2 = 3,则圆 M 的圆心为 M(3,1),半径 r = 3 由 A(0,1), F2(c,0)(c= .a2 1),得直线AF2：y= 1,即x+ cy c= 0.由直线AF?与圆M相切，得 卑2解得c= _2或c= .2(舍去).则a = c2+ 1 = 3,故椭圆C的方程为：3 + y2= 1.3(2)由 (1)知 F1( 2, 0)、F2( ,2, 0),设 P(x, y)，由题意知 |P0f = |PF1| |PF2|, 即(,X2+ y2)2 = . X + .'2 2+ y2 . x ?2 2 +，化简得：X2 y2 =
38、 1,则 x2= y2+ 1> 1.T T2因为点 P 在椭圆内，故 冷 + y2<1，即 x2v|. 1 <x2<|.又PF1 PF2 = x2 2+ y2= 2x2 3,3 22T T K PF1 PF2<0.V N(1,3)是弦AB的中点， x1 + x2 = 2, y1 + y2 = 6,. kAB= 1, 弦 AB 所在直线的方程为 y 3= (x 1)，即 x+ y 4 = 0. 又 N(1,3)在椭圆内，.>3 X 12+ 32= 12,入的取值范围是(12, + 8)./弦CD垂直平分弦AB，弦CD所在直线的方程为 y 3= x 1,即x y+ 2 = 0, 将其代入椭圆的方程，整理得 4x2 + 4x+ 4 >= 0.设Cg, ya), D(X4,4)，弦CD的中点为M(xo, y°), _则X3、X4是方程的两根，1131 3 V * * * * X3 + X4 = 1,. X0= 2(X3 + X4)= 2, y0= x0 + 2 = 2，即卩 M( -, 2).22. 在平面直角坐标系 xOy中，经过点(0,. 2)且斜率为k的直线I与椭圆 二+屮2 2 2BP= 9?7+9+?= 9+?<°.又 M，