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1、,第十一章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区 间 平面域 空间域,曲线积分,曲线弧,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,d111对弧长曲线积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,第十一章,d111对弧长曲线积分,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,可得,为计算此构件的质量,: 曲线形构件的质量,采用,d111对弧长曲线积分,设 是空间中一条有限长的光滑曲线
2、,义在 上的一个有界函数,都存在, 上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,局部的任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，, 称为积分弧段 .,曲线形构件的质量,和对,d111对弧长曲线积分,如果 L 是 xOy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,d111对弧长曲线积分,3. 性质,（, 为常数),( 由 组成),( l 为曲线弧 的长度),d111对弧长曲线积分,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,1),且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,
3、d111对弧长曲线积分,2)如果曲线 L 的方程为,则有,3)如果方程为极坐标形式:,则,4) 设空间曲线弧的参数方程为,则,d111对弧长曲线积分,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),d111对弧长曲线积分,例2. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,d111对弧长曲线积分,例3. 计算曲线积分,其中 为螺旋,的一段弧.,解:,线,d111对弧长曲线积分,B,d111对弧长曲线积分,11.1.2、设C为从A(0，0)到B(4，3)的直线段，则,D,解：直线方程为,d111对弧长曲线
4、积分,11.1.15、有一铁丝弯成半圆形 x=acost, y=asint, 0t，其上每一点的密度等于该点的纵坐标的平方，则铁丝的质量为,D,d111对弧长曲线积分,11.2.1、设L为xoy面上有质量的曲线，在曲线L上的点(x,y)处的质量线密度为(x,y)。则这条曲线L的质量的计算表达式为_.,d111对弧长曲线积分,11.2.4、设是母线平行于oz轴的柱面的部分，它的底是位于xoy平面上的光滑曲线L，它的高z是x, y的非负函数z=f(x,y), 用曲线积 分表示柱面的面积A=_.,d111对弧长曲线积分,11.2.7、,解： 根据对称性,d111对弧长曲线积分,11.3.2、,d11
5、1对弧长曲线积分,11.3.9、计算,其中L是直线,上从点(0，-2)到点(4，0)之间的一段。,d111对弧长曲线积分,11.3.10、计算,其中r是螺线：x=tcost, y=tsint, z=t. (0tt0),d111对弧长曲线积分,11.3.13、计算曲线积分,，其中L为连接点A(3,0)及B(0,2)的直线段。,即,故,解：AB直线方程为：,d111对弧长曲线积分,11.3.18、计算,其中L为圆周x2+y2=ax. (a0),d111对弧长曲线积分,11.3.19、计算,，其中L是圆螺旋线：,d111对弧长曲线积分,11.3.38、,段。,d111对弧长曲线积分,11.3.39、计算曲线积分,，其中C是从点(1，0，1)到点(0，3，6)的线段。,，0t1,解：因为C：,故,d111对弧长曲线积分,d111对弧长曲线积分,d111对弧长曲线积分,d111对弧长曲线积分,d111对弧长曲线积分,