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1、134 课题学习最短路径教学设计 一、教材分析 1 1、 地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中 的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。 这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短” ，由于所给的 条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。 初中数学中路径最短问题，体现了 数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。 2 2、 目标和目标解析： （1 1） 目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最 值问题中的作用；感悟转化思想. . （2 2） 目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问
2、题中的“地点” “河”抽象 为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间， 线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中， 体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想 3 3、 教学重、难点 教学重点：禾 I I用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 突破难点的方法：禾 I I用轴对称性质，作任意已知点的对称点， 连接对称点和已知 点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决 二、 教学准备：多媒体课件、导学案 三、 教学过程 教学内容与教师活动 学生活 动 设计意图 一
3、、创设情景引入课题 师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段 最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线 段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活 中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探 究数学史中著名的“将军饮马问题” （板书）课题 学生思 考教师 展示问 题，并观 察图片， 获得感 性认识 从生活中问 题出发， 唤 起学生的学 习兴趣及探 索欲望 二、自主探究合作交流建构新知 追问 1 1:观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动 1 1:思考画图、得出数学问题 将 A A, B B 两地抽象为两个点，将河 I I
4、 抽象为一条直线. B 动手画 直线 追问 2 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识： (1 1)从 A A 地出发，到河边 I I 饮马，然后到 B B 地； (2 2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A,BA,B 连 接起来的两条线段的长度之和，就是从 A A 地 到饮马地点，再回到 B B 地的路程之和；(3 3)现在的问题是怎 样找出使两条线段长度之和为最短的直线 I I 上的点.设 C C 为 直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C C 在 I I 的 什么位置时，ACAC 与 CBC
5、B 的和最小(如图). AV B C 嘩 * / B” 强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动 2 2:尝试解决数学问题 问题 2 2 :如图，点 A A，B B 在直线 I I 的同侧，点 C C 是直线 上的一个动点，当点 C C 在 I I 的什么位置时，ACAC 与 CBCB 的和 最小？ 追问 1 1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条 件的点 BB吗？ 观察口 答 动手连 线 观察口 答 独立思 考 合作交 流 汇报交 流成果, 书写理 由 思考感 悟活动1 1 中的将 军饮马 为 学 生 提 供 参 与 数 学 活 动 的 生 活 情 境， 培养学 生的把生活
6、 问题转化为 数学问题的 能力 经历观察- - 画图- -说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能 力. . 达 到 轴 对 称 知 识 的 学 以 致用 注 意 问 题 解 决 方 法 的 小 结： 抓对称 性来解决 及时进行学 法指导，注 问题 3 3 如图，点 A, BA, B 在直线 I I 的同侧，点 C C 是直线 C 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相 补充 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法： （1 1） 作点 B B 关于直线 I I 的对称点 BB; （2 2） 连接 ABAB，与直线 I I 相交于点 C,C,则点 C C 即为所
7、求. 如图所示： 问题 3 3 你能用所学的知识证明 AC +BCAC +BC 最短吗? 教师展示：证明：如图，在直线 I I 上任取一点 C C （与点 C C 不重合），连接 ACAC，BCBC，B CB C. 由轴对称的性质知， BC =BBC =B C, BC =B C, BC =B CC. AC +BCAC +BC =AC +B =AC +B C = AB C = AB ， AC AC +BC+BC =AC =AC +B+B C .问题， 把 刚学过 的方法 经验迁 移过来 重方法规律 的提炼总 结 上的一个动点，当点 C C 在 I I 的什么位置时, 最小？ ACAC 与 CBC
8、B 的和 学生独 立完成， 集体订 正 学以致用, 及时巩固 学生独 立完成， 集体订 正 注意问题解 决方法的小 结： 抓轴对 称来解决 C C 方法提炼 C C 将最短路径问题抽象为“线段和最小问题 冋题 4 4 练习 如图，一个旅游船*从大桥 ABAB 的 P P 处前往山脚下的 Q Q 处接游客，然后将游客送往河 画出旅游船的最短路径. BCBC 上，再返回 P P 处，请 互相交 流解题 经验 B 大桥 基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ PQ 线段 PQPQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一 条直线 BCBC，这样问题就转化为“点 P P，Q Q 在直线
9、 BCBC 的同侧, 如何在 BCBC 上找到一点 R,R,使 PRPR 与 QRQR的和最小”. 问题 5 5 造桥选址问题 如图，A A 和 B B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MNMN 乔早在何处才能使从 A A 到 B B 的路径 AMNAMN 最短？（假定河 的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 独立完 成，交流 经验 观察思 考，动手 画图，用 轴对称 知识进 行解决 经历观察- - 画图- -说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能 力. . 提炼思想方 法：轴对称, 线段和最短 体会转化思 想， 体验轴对称 知识的应用 思维分析：1 1、如图假定
10、任选位置造桥MN,连接AM和 BN,从 A A 到 B B的路径是 AM+MN+BAM+MN+B 那么怎样确定什么情况 下最短呢？ 2 2、禾U用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？ 思维点拨：改变 AM+MN+BAM+MN+B 的前提下把桥转化到一侧呢？ 什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法） 1 1、 把 A A 平移到岸边 2 2、 把 B B 平移到岸边. . 3 3、 把桥平移到和 A A 相连. . 4 4、 把桥平移到和 B B 相连. . 教师：上述方法都能做到使 AM+MN+BAM+MN+B 不变呢？请检验. . 1 1、2 2 两种方法改变了 . .怎样调整呢？把
11、A A 或 B B 分别向下或 上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢 ？ 问题解决：如图，平移 A A 到 A1A1,使A A1A1 等于河宽，连接 A1A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM + MN+BN最 短. . 理由；另任作桥MINI,连接AM1,BN1,A INI . . 由平移性质可知，AM=A1N,AA1=MN = M1N1,AM1=A1N1 . AM+MN+B. AM+MN+B 转化为 AA1 +A1B,而AM1+M1N1+BN1 转化为AA1+ A1N1+BN1 . . 在A1N1B中，由线段公理知 A1N1+BNA1N1+BNA A1B A1B 因此 AM1+M1N1 +
12、 BN1 AM+MN+BNAM+MN+BN 如0 图所示： A各抒己 动手体验 合作与 交流 动手作图 1 、性 方法是炼 J M、-Mi 将最短路径问题转化为“线段和最爪问题” 性、牡I 交流体 会 体验转化思 想 教学内容与教师活动 N 1 学生活 动 设计意图 三、巩固训练 1 、 （一）基础训练：1 1 最短路径问题 （i i）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只 要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点 A A, B B 分别是直线 l l 异侧的两个点，在 1 1 上找一个点 C C,使 CA CA + CBCB 最短，这时点 C C 是直线 1 1
13、与 ABAB 的交点. A （2 2）求直线冋侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只 要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点， 则与该直线的交点即为所求. 如图所示，点 A A, B B 分别是直线 l l 同侧的两个点，在 1 1 上找一个点 C C,使CA CA + CBCB 最短，这时先作点 B B 关于直线 l l 的对称点 B B,则点 C C 是直线 1 1 与 ABAB的交点. jtB 学生独 立思考 解决问 题 巩固所学知 识， 增强学 生应用知识 的能力，渗 透转化思 想. . C C 疋 1 2.如图，A A 和 B B 两地之间有两条河，现要
14、在两条河上各造一 座桥 MNMN 和PQPQ 桥分别建在何处才能使从 A A 到 B B 的路径最短？ （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） A A B 如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQB AM+MN+NP+PQB .桥 MNMN 和 PQPQ 在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线 段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧 先走桥长. .平移的方法有三种：两个桥长都平移到 A A 点处、都 独立思 考，合 作交 流 提炼方法， 为课本例题 奠定基础. . 平移到 B B 点处、MNMN 平移到 A A 点处，PQPQ 平移到 B B 点处 B
15、 B，要在河边建一自来水厂向 (1)(1) 若要使厂部到 A A，B B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)(2) 若要使厂部到 A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ (三)综合训练： 茅坪民族中学八(2)(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a a 所示两直排 ( (图中的 AOAO，BO)BO)，AOAO 桌面上摆满了橘子， OBOB 桌面上摆满了糖果, 站在 C C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果， 然后到 助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 图 b b 四、反思小结布置作业 小结反思 (1) 本节课研究问题的基本过程是什么？ (2) 轴对称在所研究问题中起什么作用？ 解决
16、问题中，我们应用了哪些数学思想方法？ 你还有哪些收获？ 作业布置、课后延伸 必做题：课本 P93P93- -1515 题；选做题：生活中，你发现那些需要 用到本课知识解决的最短路径问题 发相借自评 rH , 自言互鉴我你 总 结 回 顾 学 习内容， 帮 助学生归纳 反思所学知 识及思想方 法. . 关注学生的 个体差异 D D 处座位上，请你帮 (二)变式训练： 板书设计： 13.413.4 最短路径问题 两点的所有连线中，线段最短”、 “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的 问题，我们称它们为最短路径问题. 方法提炼： 将最短路径问题转化为“线段和最小问题” 教学反思: