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1、1.3算法案例,一、三维目标（a）知识与技能 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。（b）过程与方法 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。,案例1 辗转相除法与更相减损术,（c）情感态度与价值观 1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 2.在学习古代数学家解决数学问
2、题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。二、教学重难点 重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。 难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。三、学法 在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法程序框图与算法程序。,3 5,9 15,问题1：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？,创设情景，揭示课题,18 30,2,3,18和30的最大公约数是23=6.,先用两个数公有的质因数连续去除,一直除
3、到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.,问题2:我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数?,研探新知,1.辗转相除法:,例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。,分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.,解：8251610512146,显然8251与6105的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约
4、数也是6105与2146的最大公约数。,研探新知,1.辗转相除法:,例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。,解：8251610512146;,6105214621813;214618131333;18133335148;333148237;1483740.,则37为8251与6105的最大公约数。,以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。,利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：,第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；(m=nq0+r0) 第二步：若r00，则n为m，n的最大公约数；若r00，则
5、用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；(n=r0q1+r1) 第三步：若r10，则r0为m，n的最大公约数；若r10，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；(r0=r1q2+r2) 依次计算直至rn0，此时所得到的rn-1 即为所求的最大公约数。,练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.,(53),20723=40815+318;4081=31812+265;318=2651+53;265=535+0.,2.更相减损术:,我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。,更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母子
6、之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。,例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，,即：986335; 633528; 35287; 28721; 21714; 1477.,所以，98与63的最大公约数是7。,练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。,(12),
7、3.辗转相除法与更相减损术的比较:,（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.,否,4. 辗转相除法的程序框图及程序:,开始,输入两个正数m,n,mn?,r=m MOD n,r0?,输出n,结束,m=x,m=n,n=r,否,是,是,x=n,n=m,作业:课本P35页练习T1;P38页A组T1.,案例2 秦九韶算法,一、三维目标（a）知识与技能了解秦九韶算法的计算过程，
8、并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。（b）过程与方法模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.（c）情感态度与价值观通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。二、教学重难点重点：1.秦九韶算法的特点;难点: 2.秦九韶算法的先进性理解 .,教学设计,问题1设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.,点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.,这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘法运算,5
9、次加法运算.,问题2有没有更高效的算法?,分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,即先计算x2,然后依次计算,的值.,第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.,问题3能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?,f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2v
10、1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.,例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.,解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v
11、5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,2 -5 -4 3 -6 7,x=5,10,5,25,21,105,108,540,534,2670,2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,原多项式的系数,多项式的值.,例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.,解法二:列表,2,2 -5 0 -4 3 -6 0,x=5,10,5,25,25,125,121,605,608,3040,3034,所以,当x=5时,多项式的值是15170.,练一练:用秦九韶算法
12、求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.,解:原多项式先化为: f(x)=2x6-5x5 +0 x4-4x3+3x2-6x+0列表,2,15170,15170,注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.,f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+a1x+a0.,我们可以改写成如下形式:,f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.,求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即,v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,一般地,对于一个n次多项式,v2=v1x+an-2,v3=v2x
13、+an-3, ,vn=vn-1x+a0.,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.,点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法.它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.,v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.,观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值.,若令v0=an,得,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此
14、可用循环结构来实现.,问题画出程序框图,表示用秦九韶算法求5次多项式f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当x=x0 (x0是任意实数)时的值的过程,然后写出程序.,否,程序框图,开始,输入a0,a1,a2,a3,a4,a5,输入x0,n5?,n=1,v=a5,v=vx0+a5-n,n=n+1,输出v,结束,是,作业:课本P35页练习T2;P38页A组T2.,案例3 进位制,一、三维目标（a）知识与技能了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。（b）过程与方法学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各
15、种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。（c）情感态度与价值观领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系.,二、教学重难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计三、学法在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法。,问题1我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有
16、什么联系呢?,进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.,“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.,可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数.,如二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 十进制可使用的数字有0,1,2,8,9等十个数字,基数是10; 十六进制可使用的数字或符号有09等10个数字以及AF等6个字母(规定字母AF对应1015),十六进制的基数是16.,注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数,.,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.,十进制数
17、一般不标注基数.,问题2十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:,3721=3103+7102+2101+1100.,想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什么形式?,1011(2)=123+022+121+120.,同理:,3421(5)=353+452+251+150.,C7A16(16)=12164+7163+10162 +1161+6160.,一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式,anan-1a1a0(k) (0ank,0an-1,a1,a0k),意思是:(1)第一个
18、数字an不能等于0;(2)每一个数字an,an-1,a1,a0都须小于k.,k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即,anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1 +a1k1+a0k0 .,注意这是一个n+1位数.,问题3二进制只用0和1两个数字,这正好与电路的通和断两种状态相对应,因此计算机内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时,先把接受到的数转化成二进制数进行运算,再把运算结果转化为十进制数输出.那么二进制数与十进制数之间是如何转化的呢?,例1:把二进制数110011(2)化为十进制数.,分析:先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按
19、照十进制数的运算规则计算出结果.,解:110011(2) =125+124+023+022+121+120 =132+116+12+1=51.,问题4你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗?,解:10221(3)=134+033+232+231+130 =81+18+6+1=106.,k进制数转化为十进制数的方法,先把k进制的数表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即,anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0 .,再按照十进制数的运算规则计算出结果.,例2:把89化为二进制的数.,分析:把89化为二进制的数,需想办法将89先写成如下形式,89=
20、an2n+an-12n-1+a121+a020 .,89=64+16+8+1=126+025+124 +123+022+021+120 =1011001(2).,但如果数太大,我们是无法这样凑出来的,怎么办?,89=442+1,44=222+0,22=112+0,11=52+1,5=22+1,2=12+0,1=02+1,89=442+1,44=222+0,22=112+0,11=52+1,5=22+1,89=442+1, =(222+0)2+1 =(112+0)2+0)2+1 =(52+1)2+0)2+0)2+1 =(22+1)2+1)2+0) 2+0)2+1 =(12)+0)2+1)2+1)
21、2+0) 2+0)2+1,=126+025+124 +123+022+021+120=1011001(2).,可以用2连续去除89或所得商(一直到商为0为止),然后取余数-除2取余法.,2=12+0,1=02+1,44 1,例2:把89化为二进制的数.,我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:,22 0,11 0,5 1,2 1,1 0,0 1,把算式中各步所得的余数从下到上排列,得到,89=1011001(2).,这种方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.,例3:把89化为五进制的数.,解:以5作为除数,相应的除法算式为:,17 4,3 2,0 3, 89=324(5).,问题5你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?,解:第一步:先把三进制数化为十进制数:10221(3)=134+033+232+231+130 =81+18+6+1=106.,第二步:再把十进制数化为二进制数:,106=1101010(2).,小结,进位制的概念及表示方法;各种进位制之间的相互转化.,anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0 .,作业:1.课本P38页A组T3.2.阅读P36-37页的“割圆术”.,