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1、2019-2020年湖南省衡阳市衡山县开云实验中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选 项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线丁 = 一2二在久一1）处的切线方程为y-2= 0D.A. x-y-2=0 b. *户2=口 y+ 2 = 0 参考答案：A. al, b0B.2,则（ab b0C. 0a0D. 0al, b1二（方）指数函数产【解答】解:2单调递减，及 22 可求b的范围.Vlog：a1二1）乙乙1 X*）,由指数函数尸 2 单调递减bVO故选：D【点评】本题主要考查了借助指数函数与对数函数的单调性比较大小求解参数的范围，属
2、 于基础试题3.下列不等式一定成立的是（）2 1lg（z2+-）lg0）（A）4（B）sin x +， 2（x N 后工kw Z） sin x（C）./+lN2|iW&）（D）. 士参考答案：c略4 “算二1”是“炉21：+1=0” 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非不充分不必要条件参考答案：A5 .已知集合/=44工-3。）,西=巾90.若从工区,则实数。的取值范围是（）A, b.na3 c, a-l d. T参考答案：c6 .命题：“若了=1,则元=1”的逆否命题为（）A.若KK1,则或* = 一1C.若元#1,则旦46T参考答案：C7.在 AABC 中，若满足 a
3、cosA=b cosB,A.等腰三角形C.等腰直角三角形参考答案：B.若兀=1,则* = 1或*=TD.若莫=1,则丈=1旦工二-1则ABC的形状为（）B.锐角三角形D.等腰或直角三角形在ABC 中，?acosA=bcosB,.由正弦定理品同 siiB=2R,得 a=2RsinA, b=2RsinB,1 1.-.sinAcosA=sinBcosB2 sin2A= 2 sin2B,兀 A+r -Km2A西2BJ,2A 2B或丛-A B或 2,，氏正。为等腰或直角三角形, 故选D.8 .若函数|(才)=3&+3、与g(x)=3*3i的定义域均为R, 则()A|(x)与g(x)均为偶函数B|(x)为
4、偶函数,g(x)为奇函数C|(x)与g(x)均为奇函数D(x)为奇函数,g(x)为偶函数参考答案：B9 .已知数列湘对任意的犷满足与+广+汽且的二那么等于()A.-165B.-33C.-30D.-21参考答案：C2,6)=出( + 1)_10 .函数元的零点所在的大致区间是2)C. (2, e)D. (3, 4)B. (1 ,A. (0, 1 )参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分11 .三角形ABC中，若闻月正十月十E&*十N万=0,则三角形ABC的形状为参考答案：直角三角形略矛w （Q汽）12 .已知函数/（幻=1 + 21欲1, N,则/。）的单调减区间是.参考答
5、案：13 .己知同叩卜*2*1, /+%参考答案：3略14.已知各项均不为零的数列上，定义向量外二（外道1），瓦二Sd+ 1），。下列命 题中真命题是,若打g总有J_L成立 则数列4）是等比数灾B若以犷总有q/侬成立，则数列工墀等比数列c若飒g犷总有4 _U.成立贝峨列4虎等差数凯n若叱/川.总有 “九成立 则数列上诞等差数列 /若而,五二-3,参考答案：15设P为AABC中线AD的中点，D为边BC中点，旦AD:2,参考答案:0【考点】平面向量数量积的运算.【专题】平面向量及应用. * -【分析】利用向量的三角形法则可得ABA3（ PB - PA） ?（ PC - PA）;PBPC- （PB+
6、PC）?两堂，由数量积运算即可得出结论.【解答】解：由题意可得PA二PD=1,而+近2同，.* * *.1 2. AB AJ（ PB- PA）?（PC - PA）=PB-PC-（ PB+PC）制PA 二.3+2X IX 1+1=0.故答案为0.【点评】本题主要考查向量加减的运算法则及数量积运算等知识，属于基础题.16 .已知球0是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）4一取力的 外接球，死=3,陛=2招，点因在线段如上，旦即=3的，过点因作球0的截 面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是.参考答案：2x17 .现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为
7、参考答案：480假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5 个位置，有Ass=120种情况，故不同排列方法种数4*120=480种.故答案为480.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤C:（x-l）2 + jr2 = ix=-18 .已知圆4, 一动圆与直线 2相切且与圆C外切.（1）求动圆圆心产的轨迹的方程；（2）若经过定点创6，）的直线（与曲线T交于4B两点，M是线段的中点，过 M作上轴的平行线与曲线T相交于点耳，试问是否存在直线，使得龙泄，若存 在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.参考答案：附| 一（犬 +
8、 ）二 三 本题考查抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系,（）由题意得2）化简可得J2= ;（2）设直线为算=my + 6,联立方程,套用根与系数的关系得:存在直线3x + V6y -18 = 0或3% - vEy -18 = 0,使得NA 1JVB.（1）设p（”j）,分析可知：动圆的圆心不能在y轴的左侧，故算之,I 一 _ 2动圆与直线- 2相切，且与圆C外切，JC| 一（九 十 0=：.附| =%+ 1,算-1）2+产=, + 1,化简可得产二叔；（2）设a。内），见苑，必），由题意可知，当直线与y轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线!的方程为“二my+6,联立 = my + 6和
9、尸=4%并消去匕 可得y? 4my- 24 = 0,仅n +旷2 = 4 m显然=16+960,由韦达定理可知二-24,乂+= (7n必 + 6)+ (?71%+6), .%1 +如 =4m/+ 12, %工二也4 4, .孙孙= 36,假设存在N(%y。)，使得福丽=0,yQ =11生由题意可知02 ,%= 2血，% =通,由N点在抛物线上可知 4,即税=加：乂而=(%! - xQ,y2 - y0)B = (%2- x0,y2 -y0),若布？菠=0,则1石一/(0+/)+瑞+为七一%&1+旷2)+%二,由代入上式化简可得3裙+ 16n1/ -12 = 0,cm2 = - m = + 即(竹
10、 +6) (3叱_2) = 0,.* 故 一.存在直线3、+ v，r6y - 18 = 0或3% - 18 = 0,使得M4 1JVB./(x)=(2-)ln x+ - +2aDt19 .已知函数上 (1)当夕=0时，求函数的极值：(2)当白|引-刈成 立，求实数上的取值范围.参考答案:解：当1 = 0时，函数(一1117的定义域为(0+5),roo=-IL12jc-1 金3T得A1分K (0 -)(-二函数1I同在区间2上是减函数，在区间24OT)上是增函数.f() =21n + 2= 2-21n2二函数7I叼有极小值是22,无极大值(2r-l)(ax+l)3分当夕=一2时，有函数在定义域(
11、&+皿)内单调递减: 当时，在区间(叼，(一池上rw(。，单调递减：在区间ri k5分5n a上fCO。，今单调递增； 当-2时，在区间 ?占3上/W单调递减；在区间，引上了单调递增； 冏由知当。E(f-2)时，在区间L3上单调递减，所以问题等价于: 对任意小FT),恒有(心山-21tt3mMi加3-16,立, 即”号因为-5所以因产ST,10分所以只需石 2t1,下面用数学归纳法证明：10分当 =1或2时，4=2=1+1,/=3 = 2+1,猜想成立:假设当森W* (fcGfc-2)时，二金#1成立2 fc22 fc 2.亍世钊+无卜壮？猜想成立.13分14分由、可知，对任意正整数，,二+1
12、.所以一 T为常数，所以数列4是等差数列.另解：若=3,由*%=窈%+修，得5=64+22.,3A+/I =-乂 2 ,解得9分由3=2, = 3-2 ,，= 1，代入二十/fl得=4,U HU H+1c c c斗=3=fl-a + O.所以%巴/成等差数列，由. 2、得川2叱_ n+1 _n _两式相减得： =-/+%,即 =所以 工2-一24 = 011分相减得：叫田一迎1kl4伽-2,-2,42=0所以-2+.)+N%-24+)=02好(+2=-(联一2，+3=所以TJ因为4-2%+%=0,所以4H2-2+%=,即数列MJ是等差数列14分21 .某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(
13、含90分)的成绩进行统计，其频率分 布直方图如图所示.若130140分数段的人数为2人.（1）求这组数据的平均数也（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二 组、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组.若选出的两人成绩之差大于20, 则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率.参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图.【专题】计算题：概率与统计.【分析】（I）根据频率分布直方图可知，各个小组的频率，再根据平均数的求法即可解 出这组数据的平均数M.（II）本题是一个等可能事件的概率，可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共
14、有 下列15种选法，满足条件的事件是两人成绩之差大于20,则两人分别来自于第一组和第 五组，共有8种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果.【解答】解：（I）由频率分布直方图可知：90100分的频率为0.1, 100110分的频 率为0.25, 110120分的频率为0.45, 120130分的频率为0. 15, 130140分的频率 为 0. 05；J这组数据的平均数 M=95 X 0. 1+105 X 0. 25+115 X 0. 45+125 X 0. 15+135 X 0. 05=113 （分）（II）第五组130140分数段的人数为2人，频率为0.05；故参加的总人数为2 0 0.
15、05=40人.第一组共有40X0. 01X10=4人，记作A八九、4、A；：第五组共有2人，记作风、B二从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：As, &、4, AJ、Ai, Ai As, %、Ac, Ai 、 As, A： ； A：, BJ、As, BJ、4, Bj、 An BJ； Ax, B/、&, a、4, Bj、Ah BJ； Bl, B：.共有 15 种结果, 设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”.若两人成绩之差大于20,则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法,故 P (A)12分【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，考查等可能事件的概率，考查 用列举法来
16、数出事件数，这是一个概率与统计的综合题目.22 .已知函数工卜丁-克小卜右置）（1）若（今是在定义域内的增函数，求仁的取值范围:若函数一*算）2 （其中为的导函数）存在三个零点, 求仁的取值范围.参考答案:2；试题分析：求函数，出的导数到=2尤-1-3 ;由,之在无 上恒成立可得 2,构造函数 2,求函数义的最小值即可;巩今=。=小、一升”构造函数I 2）,研究函数钢的单调单调性，作出函数及后与函数9二,的图象，数形结合，观察两函数图象可求得 的取值范围.试题解析：（1）因为/（*）=三一元+仪产卜置）, 所以函数今的定义域为七旦）= 2T2产由r（*）得2乂一1一处一”之。，即对于一切实数都
17、成再令g(x)=；(2x-l)/，则/(力=21 令/( = 0得x = 0,而当x0时，gx)0时，g (x)0 ,所以当x = 0时，g(x)取得极小值也是最小值，即g(x)181ft = 8()=-； ,所以C的取值范围是 5分(2)由知/=2%-1-230,所以由F(x) = O得x2 x+c-2j +(2x1 2celx) = ，整理得 c = (d+x A(x)=L2 + x-|V 则”() = 2(/ + 2“一3)/ = 2(%+3)(%1)0左，令 a)=,解得 *=一3 或 *=i,列表得：XE-3)-3(-3J)1(LM)鹏”)+十M其)增减增由表可知当天=一3时，M4取
18、得极大值2 ；9分a当*=1时，M*)取得极小值2e .7cx2 + r-oe3r 0乂当k-3时，2,所以此时自日故结合图像得C的取值范围是考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值：2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值与函数与方程，属难题；在解函 数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类 问题的根本，从本质入手，进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不 等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证 明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意,(的与 /(月2(以皿不等价，/口猛2(4皿只是/(*)而的特例，但是也可以利用它 来证明，导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象， 这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续.